江西省宜春市丰城市重点中学2023-2024学年下学期开学考试七年级数学试题(含答案)

丰城重点中学2023-2024学年度下学期初一入学质量监测试卷
数 学
考试范围：第3—6章
一、选择题（本大题共6小题，共18分）
1．若ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是（　　）
A．a＝b B．ma﹣6＝mb﹣6
C．﹣ma+8＝﹣mb+8 D．ma+2＝mb+2
2．下列现象中，（　　）是平移．
A．“天问”探测器绕火星运动 B．篮球在空中飞行
C．电梯的上下移动 D．将一张纸对折
3．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（　　）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
C．连接直线外一点与直线上各点的所有直线中，垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
4．已知≈0.5981，≈1.289，≈2.776，则≈（　　）
A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981
5．OB是∠AOC内部一条射线，OM是∠AOB平分线，ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，OQ是∠MOA平分线，则∠POQ：∠BOC＝（　　）
A．1：2 B．1：3 C．2：5 D．1：4
6．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内CD上方的一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β中，∠AEC的度数可能是（　　）
A．①②③ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
7．的算术平方根是 　 　．
8．父子二人今年的年龄和为44岁，已知两年前父亲的年龄是儿子的4倍，那么今年儿子的年龄是　 　．
9．若∠a＝73°30'，则∠α的补角的度数是 　 　．
10．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m为　 　．
11．如图，C岛在A岛的北偏东54°的方向上，C岛在B岛的北偏西38°的方向上，则从C岛看A，B两岛的视角∠C的度数是 　 　．
12．今年3月，“烂漫樱花地，最美英雄城”长江主题灯光秀在武汉展演，有两条笔直且平行的景观道AB、CD上放置P、Q两盏激光灯（如图所示），若光线PB按顺时针方向以每秒6°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；光线QC按顺时针方向每秒2°的速度旋转至QD边就停止旋转，若光线QC先转5秒，光线PB才开始转动，当光线PB旋转时间为 　 　秒时，PB1∥QC1．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．计算：
（1）+﹣； （2）﹣+（）2+．
14．解下列方程：（1）； （2）8（x﹣1）3＝﹣．
15.已知4a﹣11的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是1，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求﹣2a+b﹣c的立方根．
16．小芳同学在解关于x的一元一次方程时，误将x﹣a抄成x+a，求得方程的解为x＝2，请帮小芳求出原方程正确的解．
17．如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，F在线段CD上，且∠1+∠2＝180°，DE∥BC．
（1）求证：∠3＝∠B；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.如图，点C为∠AOB外一点，先按要求在下图中作图，再回答问题：
（1）作图：①先过点C作直线OA的平行线交直线OB于点D，再过点C作直线OB的平行线交直线OA于点E；
②过点A作直线OB的垂线段，垂足为F，再过点A作直线OA的垂线，交射线OB于点G；
（2）线段　 　的长度是点A到直线OB的距离；
（3）结合作图，直接写出∠AOB与∠DCE的数量关系．
19．（1）已知+2＝x，且与互为相反数，求x，y的值．
（2）已知5+的小数部分为a，5﹣的小数部分为b，求a+b．
20．某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）
甲 乙
进价（元/件） 20 30
售价（元/件） 26 40
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.已知x＝﹣3是关于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解．
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是线段AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长．
（3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为﹣2，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有PD＝2QD？
22．阅读下列解题过程：
＝＝＝；＝＝＝；＝＝＝；…
（1）＝　 　，＝　 　．
（2）观察上面的解题过程，则＝　 　（n为自然数）
（3）利用这一规律计算：．
六、（本大题共12分）
23. 将一副直角三角尺的直角顶点C按照如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），并能绕C点自由旋转．
（1）写出∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（2）当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，固定直角三角尺ACD，将直角三角尺ECB绕C点自由旋转．
①当EB∥AC时，∠ACE＝　 　°；
②要使CB∥AD，则∠ACE的度数为 　 　°，请说明理由；
③直接写出分别使得CE∥AD，EB∥DC，EB∥AD的∠ACE的度数，在备用图中画出相应的草图，不必写出理由．
参考答案
A 2.C 3.A 4.A 5.D 6.D
7.　2　． 8.　10． 9.　106°30′． 10. 　1或﹣3　． 11. 　92°． 12. 　2.5或43.75　
13.（1）4； （2）．
14.(1)y＝﹣1．(2)x＝﹣．
15.a＝5，b＝﹣13；c＝4．
16.x＝14．
17.（1）∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠2＝∠DFE，∴AB∥EF，∴∠3＝∠ADE，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∴∠3＝∠B．
（2）∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠EDC＝∠B，
∵∠2＝3∠B，∠2+∠ADE+∠EDC＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，
又∵∠3＝∠B，∴∠1＝∠3+∠EDC＝36°+36°＝72°．
18（1）①如图，直线CD，CE即为所求作．②如图，线段AF，线段AF，直线AG即为所求作．
（2）AF（3）∠AOB+∠DCE＝180°．理由：∵CE∥BD，∴∠CEO＝∠AOB，
∵CD∥OE，∴∠DCE+∠CEO＝180°，∴∠AOB+∠DCE＝180°．
19.（1）x＝2时，y＝；当x＝3时，y＝2；当x＝1时，y＝．
（2）a+b＝﹣2+3﹣＝1．
20.（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（x+25）件，得：20x+30（x+25）＝6000，解得：x＝150，∴x+25＝100．答：该超市购进甲种商品150件、乙种商品100件（2）（26﹣20）×150+（40﹣30）×90＝1900（元）．答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1900元．（3）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，
根据题意得：（26﹣20）×150+（40×﹣30）×100×3＝1900+800，解得：y＝9．
答：第二次乙商品是按原价打9折销售．
21.（1）把x＝﹣3代入方程（k+3）x+2＝3x﹣2k得：﹣3（k+3）+2＝﹣9﹣2k，解得：k＝2；（2）当k＝2时，BC＝2AC，AB＝6cm，∴AC＝2cm，BC＝4cm，当C在线段AB上时，如图，
∵D为AC的中点，∴CD＝AC＝1cm．即线段CD的长为1cm；
（3）在（2）的条件下，∵点A所表示的数为﹣2，AD＝CD＝1，AB＝6，∴D点表示的数为﹣1，B点表示的数为4．设经过x秒时，有PD＝2QD，则此时P与Q在数轴上表示的数分别是﹣2﹣2x，4﹣4x．分两种情况：
①当点D在PQ之间时，∵PD＝2QD，∴﹣1﹣（﹣2﹣2x）＝2[4﹣4x﹣（﹣1）]，解得x＝；②当点Q在PD之间时，∵PD＝2QD，∴﹣1﹣（﹣2﹣2x）＝2[﹣1﹣（4﹣4x）]，解得x＝．答：当时间为或秒时，有PD＝2QD．
22.（1）＝，＝，故答案为：，．
（2）观察上面的解题过程，则＝＝，故答案为：；
（3）原式＝＝＝．
23.（1）∠ACB与∠DCE的数量关系是：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，∴∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB，∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+90°﹣∠DCB＝180°；
（2）①当EB∥AC时，有以下两种情况：（ⅰ）当BE在AC的上方时，如图1所示：∵EB∥AC，∠E＝45°，∴∠ACE＝∠E＝45°，
（ⅱ）当BE在AC下方时，如图2所示：∵EB∥AC，∠B＝45°，
∴∠ACB＝∠B＝45°，∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝45°+90°＝135°，综上所述：∠ACE＝45°或135°，
②要使CB∥AD，则∠ACE的度数为60°或150°，理由如下：有以下两种情况：
（ⅰ）当CB在AC的上方时，如图3所示：
∵CB∥AD，∠D＝30°，∴∠DCB＝∠D＝30°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝90°﹣60°＝30°；
（ⅱ）当CB在AC的下方时，如图4所示：
∵CB∥AD，∠A＝60°，∴∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝60°+90°＝150°，
综上所述：∠ACE的度数为30°或150°；
故答案为：60°或150°．
③当CE∥AD时，有以下两种情况：
（ⅰ）当CE在AC上方时，如图5所示：
∵CE∥AD，∠D＝30°，∴∠DCE＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+30°＝120°；
（ⅱ）当CE在AC下方时，如图6所示：
∵CE∥AD，∠A＝60°，∴∠ACE＝∠A＝60°，
综上所述：当CE∥AD时，∠ACE的度数为120°或60°；
当EB∥DC时，有以下两种情况：
（ⅰ）当BE在CD的左侧时，如图7所示：
∵EB∥DC，∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°，
（ⅱ）当BE在CD的右侧时，如图8所示：
∵EB∥DC，∠E＝45°，∴∠DCE＝∠E＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+45°＝135°，
综上所述：当EB∥DC时，∠ACE的度数为45°或135°；
当EB∥AD时，有以下两种情况：
（ⅰ）当EB在AD的左侧时，如图9所示：设BC与AD交于点T，
∵EB∥AD，∠B＝45°，∴∠ATC＝∠B＝45°，∴∠ACT＝180°﹣（∠ATC+∠A）＝180°﹣（45°+60°）＝75°，∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACT＝90°﹣75°＝15°，
（ⅱ）当EB在AD的右侧时，如图10所示：
延长AC交EB于点H，∵EB∥AD，∠A＝60°，∴∠CHE＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECH＝180°﹣（CHE+∠E）＝180°﹣（120°+45°）＝15°，
∵∠ACD＝90°，∴∠DCH＝90°，∴∠DCE＝∠DCH﹣∠ECH＝90°﹣15°＝75°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+75°＝165°，综上所述：当EB∥AD时，∠ACE的度数为15°或165°．
∴当CE∥AD时，∠ACE的度数为120°或60°；当EB∥DC时，∠ACE的度数为45°或135°；当EB∥AD时，∠ACE的度数为15°或165°