6.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理 同步练习（含解析）

6.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（ ）
A．30个 B．42个 C．41个 D．39个
2．用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ）
A．120 B．72 C．48 D．24
3．小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明一共有（ ）种练习的方案.
A．31 B．18 C．21 D．33
4．有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（ ）
A．462 B．630 C．672 D．882
5．我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造.算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空.纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”.现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（ ）
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式
横式
A． B． C． D．
6．已知集合，从集合M中选一个元素作为点的横坐标，从集合N中选一个元素作为点的纵坐标，则落在第三、第四象限内点的个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．阅读课上，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（ ）
A．50 B．60 C．125 D．243
8．踢球时甲 乙 丙三人互相传递，由甲开始传球，经过3次传递后，球又被传回到甲，则不同的传递方式共有（ ）
A．6种 B．8种 C．2种 D．4种
二、多选题
9．在的红色表格中，有一只会染红黄蓝三种颜色的电子蛐蛐从A区域出发，每次跳动都等可能的跳往相邻区域，当它落下时会将该区域染成新的颜色（既与该区域原来的颜色不同，也与蛐蛐起跳时区域的颜色不同）．记蛐蛐第跳后表格中的不同染色情况种数为，（第一次跳后有如图四种情况，即），则（ ）
A． B．，恒成立
C．蛐蛐能将表格中的三块染成蓝色 D．蛐蛐能将表格中的四块染成黄色
10．某校高二年级安排甲 乙 丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有（ ）
A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D．如果甲 乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
11．商场某区域的行走路线图可以抽象为一个的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从，两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，为止，下列说法正确的是（ ）

A．甲从必须经过到达的方法数共有9种
B．甲从到的方法数共有180种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
12．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（ ）
A．四位回文数有90个
B．四位回文数有45个
C．（）位回文数有个
D．（）位回文数有个
三、填空题
13．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“客醉花间花醉客”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中是奇数的个数是 ．
14．某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有 种.
15．大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有 种．
16．数字波是由0和1组成的脉冲信号序列，某类信号序列包含有个数字0和个数字1，且每个数字0之前1的个数多于0的个数.当等于3时，这样的信号序列有 种；当等于5时，这样的信号序列有 种.
四、解答题
17．某商场在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“禄”“寿”“喜”卡各两张，“财”卡三张.每位顾客从卡箱中随机抽取5张卡片，其中抽到“财”卡获得3分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡片各一张，则额外获得4分.
(1)求顾客甲最终获得7分的不同的抽法种数；
(2)求顾客乙最终获得11分的不同的抽法种数.
18．荆城小理论能力很强，计划高考后参加机动车驾驶证考试.了解到某平驾校学费4000元，包含各科目第一场考试费用（若第一场考试不合格，补考费需学员自己通过交管12123另缴）.现通过随机抽样调查了解到本校已毕业的100名学长参加驾驶证考试所花费用，将数据分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图.小汽车驾驶证考试通俗的讲分为理论考试：科目一、科目四；实际操作考试：科目二、科目三（路考）.认为自己理论无敌，科一、科四逢考必过，不在此题研究范围内.只略微担心实际操作考试，现了解到考试规则如下：科目二通过才能进行科目三的考试预约，且科目二每场两次机会，每次通过概率为，补考费150元每场；科目三补考费200元每场，每场也是两次机会，每次通过概率为；以上两科目均可补考4场，即每科最多考试10次.（根据《机动车驾驶证申领和使用规定》第三十七条：在驾驶技能准考证明有效期内，科目二和科目三道路驾驶技能考试预约考试的次数不得超过五次.第五次预约考试仍不合格的，已考试合格的其他科目成绩作废.）
(1)试求样本中费用的平均数和中位数（中位数结果取整数）；
(2)若同一科目第五次预约考试不合格，则需要重新缴纳学费4000元.求同学出现重新缴纳学费从头再来的概率；（，，用含有，的式子表示结果）
(3)求小同学预估自己所花学费和补考费不超过4300元的概率.
19．某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目．
(1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？
(2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？
20．如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．那么，从甲地到丁地，如果每条路至多走一次，且每个地点至多经过一次，有多少种不同的走法？

21．某人需要在一天的上午乘车从A地到B地再转车赶到C地，现已知A地至B地以及B地至C地的汽车时刻表如下：
从A地到B地的汽车时刻表 从B地到C地的汽车时刻表
车次发车到站16:308:0027:309:0038:3010:0049:3011:00
车次发车到站17:208:4028:209:4039:2010:40410:2011:40
问此人在这天从A地到达C地有多少种不同的乘车方案？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】分是否取两类，当不取时，排除重复的即可得解.
【详解】当取时，则只能为真数，此时这个对数值为，
当不取时，底数有种，真数有种，
其中，
故此时有个，
所以共有个.
故选：D.
2．A
【分析】利用两个计数原理，先分类再分步即可求解．
【详解】先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择，
① 当,颜色相同时涂色方法数是：，
② 当,颜色不相同时涂色方法数是：，
满足题意的涂色方法总数是：．
故选：A．
3．B
【分析】根据练习唱歌的课间个数进行分类讨论，利用列举法来求得正确答案.
【详解】七个课间编号为，
如果仅有一个课间练习，则每个课间都可以，有7种方案，
若有两个课间练习，选法有，
共种方案，
三个课间练习，选法为，共种，
故总数为种.
故选：B
4．C
【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.
【详解】根据题意，分两种情况讨论：
若用两种颜色涂色，有种涂色方法；
若用三种颜色涂色，有种涂色方法；
所以有种不同的涂色方法.
故选：C.
5．A
【分析】分类讨论，利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由题意可知，共有4根算筹，
当十位1根，个位3根，共有2个两位数13、17；
当十位2根，个位2根，共有4个两位数22，26，62，66；
当十位3根，个位1根，共有2个两位数31，71；
当十位4根，个位0根，共有2个两位数40，80；
其中质数有13、17、31、71，
所以取到的数字为质数的概率为，
故选：A
6．A
【分析】依题意，找到点的坐标即可解决.
【详解】依题意，可得点的坐标有：
其中落在第三、第四象限内点有
共6个.
故选：A
7．D
【分析】根据题意，每名同学都有3种不同的选法，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】由题意，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，
其中，每名同学都有3种不同的选法，所以不同的选法种数是种.
故选：D.
8．C
【分析】根据题意，经过2次传到乙有“甲一丙一乙”1种方式，经过2次传到丙有“甲一乙一丙”1种方式，进而得到3次传给甲的情况，得到答案.
【详解】经过3次传到甲，必定经过2次传到乙或丙，且经过2次传到乙或丙的方式种数相等，
经过2次传到乙有“甲一丙一乙”1种方式，经过2次传到丙有“甲一乙一丙”1种方式，
所以经过3次传到甲共有2种传递方式.
故选：C.
9．AC
【分析】根据分步乘法计数原理可知AB正误；通过距离例子可知C正确；根据染色原则可知D错误.
【详解】对于A，当时，对第一个表格往左跳，区域染成蓝色；或往下跳，区域染成蓝色；
共两种情况；其他表格亦如此，
，A正确；
对于B，表格最多不超过种不同的染色情况，不可能恒成立，B错误；
对于C,若蛐蛐按照如下顺序跳，即可将三个区域染成蓝色；
情况一：
情况二：
C正确；
对于D，三块都是黄色也可能，但当三块染成黄色后，不可能第四块还是黄色，因为要和起跳时区域不一样，D错误．
故选：AC．
10．AC
【分析】对于A，根据社区A必须有同学选择，由甲 乙 丙三名同学都有5种选择减去有4种选择求解；对于B，根据同学甲必须选择社区A，有乙丙都有5种选择求解；对于C，根据三名同学选择的社区各不相同求解；对于D，由甲 乙两名同学必须在同一个社区，捆绑再选择求解；
【详解】对于A，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），故A正确；
对于B，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），故B错误；
对于C，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种），故C正确；
对于D，甲 乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲 乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，则不同的安排方法共有（种），故D错误.
故选：AC.
11．ACD
【分析】利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可判断A选项；分析可知从点到点，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，结合分步乘法计数原理可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；找出两人相遇的位置，求出两人相遇的概率，可判断D选项．
【详解】对于A，从点到点，需要向上走2步，向前走1步，
从点到点，需要向右走2步，向前走1步，
所以，甲从必须经过到达的方法数为种，A正确；
对于B,从点到点，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，
所以，甲从到的方法数为种，B错误；
对于C，甲从点运动到点，需要向上、前、右各走一步，
再从点运动到点，也需要向上、前、右各走一步，
所以，甲从点运动到点，且经过点，不同的走法种数为种，
乙从点运动到点，且经过点，不同的走法种数也为36种，
所以，甲、乙两人在处相遇的概率为，C正确；
对于D，若甲、乙两人相遇，则甲、乙两人只能在点、、、、、、，

甲从点运动到点，需要向上走2步，向前走1步，再从点运动到点，需要向前走1步，向右走2步，
所以甲从点运动到点且经过点的走法种数为，
所以甲、乙两人在点处相遇的走法种数为，
同理可知，甲、乙两人在点、、、、处相遇的走法种数都为，
因此，甲、乙两人相遇的概率为，D正确．
故选：ACD．
【点睛】解答本题的关键在于利用组合数去计算对应的方法数，将从到的路线转变为六步，其中每一条路线向上步数确定后，则对应向右的步数也能确定，因此可以考虑从六步中选取向上或向右的步数，由此得到的组合数可表示对应路线的方法数．
12．AC
【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】根据题意，对于四位回文数，
有1001、1111、1221、……、1991、
2002、2112、2222、……、2992、
……、
9009、9119、9229、……、9999，
其首位和个位有种选法，第二为和第三位有种选法，故共有个，则A正确，B错误；
对于位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，
第个数字，即最中间的数字有10种选法，
则共有种选法，
即（）位回文数有个，故C正确，D错误.
故选：AC.
13．50
【分析】设三位数的回文数为ABA，先分析A的可能取值，再分析B的取值，然后由分步乘法计数原理求解即可
【详解】设三位数的回文数为ABA，A有1到9，共9种可能，即1B1、2B2、3B3、9B9.
其中奇数共5种可能，即1B1，3B3，5B5，7B7，9B9；
B有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、A9A.
所以符合题意的有5×10=50个.
故答案为：50
14．60
【分析】先选菜品，再选饮品，结合分步计数原理可得答案.
【详解】由题意可知凉菜选择方案共有种，饮品选择方案共有种，
因此该套餐的供餐方案共有种.
故答案为：60
15．84
【分析】分去生物且生物只去一人、去生物且生物只去两人、去影视且生物只去一人、去影视且生物只去两人四种情况讨论求出，注意特殊的先讨论.
【详解】去生物且生物只去一人：种，
去生物且生物只去两人：种，
去影视且生物只去一人：种，
去影视且生物只去两人：种，
一共种，
故答案为：84
16． 5 42
【分析】利用计数原理、插空法和列举法即可得出答案.
【详解】当时，只有：一种；
当时，有、两种；
当时，说明有个、个，
且最后一位只能是，即_ _ _ _ _，
可得、、、、五种；
当时，根据卡特兰数的模型可得，
总排法为，不符合题意的排法为，
符合题意的排法，
所以时，共有种.
故答案为：5；42
17．(1)162
(2)76
【分析】(1) 根据排列组合，结合分类和分步计数原理即可求解.
(2) 根据排列组合，结合分类和分步计数原理即可求解.
【详解】（1）顾客甲最终获得7分，则需抽中1张“财”卡和4张其他卡，且不能抽齐“福”“禄”“寿”“喜”“财”，则不同的抽法种数为.
（2）顾客乙最终获得11分的情况有2种：一种是抽中3张“财”卡和2张其他卡，另一种是抽齐“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡，
不同的抽法种数为.
18．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图中的信息，运用平均数公式和中位数计算方法即得；
（2）缴纳学费从头再来分两类情况计算概率，即科目二五场10次均未通过的概率和科目二通过但科目三五场10次考试均未通过，运用独立事件的乘法公式和概率加法公式计算；
（3）分五类补考科目场次情况分别计算概率，再运用概率的加法公式计算即得.
【详解】（1）样本中费用的平均数为：，
由前两组频率和为：，
第三组频率为：，所以中位数在第三组，则
中位数；
（2）由题，分两种情况考虑：
①科目二预约五场共10次均未通过：；
②科目二通过，科目三预约五场共10次均未通过：；
所以同学出现重新缴纳学费从头再来的概率为：
；
（3）由补考费150元每场，科目三补考费200元每场，故可分类如下：
①无补考费，总费用4000元，概率为：
②补考科目二一次，总费用4150元，概率为：；
③补考科目三一次，总费用4200元，概率为：；
④补考科目二两次，总费用4300元，概率为：；
故小同学预估自己所花学费和补考费不超过4300元的概率为：．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查频率分布直方图的信息读取，积事件的概率以及概率加法公式的运用.关键在于对图形信息的处理和对相关事件的分析，将题设问题分成若干类具体的事件分别求概率，再运用概率的加法公式计算即可.
19．(1)68
(2)66
【分析】利用分类加法计数原理进行求解
【详解】（1）当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类：
第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目；
第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目；
第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目．
根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看个不同的节目．
（2）因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个，
而其余频道共有个正在播放互不相同的节目，
所以一台电视机共可以选看个不同的节目．
20．种
【分析】根据分类加法原理以及分步乘法原理得出结果即可.
【详解】从甲地到丁地的走法可以分成两类：
第一类：从甲地经由乙地到丁地．这类走法可以分成两个步骤：先从甲地到乙地，有2种走法；再从乙地到丁地，有3种走法．根据乘法原理，这一类走法的种数为．
第二类：从甲地经由丙地到丁地．这类走法可以分成两个步骤：先从甲地到丙地，有4种走法；再从丙地到丁地，有2种走法．根据乘法原理，这一类走法的种数为．
根据加法原理，从甲地到丁地共有种不同的走法．
21．
【分析】分别讨论地到到站的时间，然后判断从地到乘坐的车次，结合分类计数原理，即可求解.
【详解】若乘坐从地到的第1班汽车，到站，则从地到有3辆汽车可以乘坐；
若乘坐从地到的第2班汽车，到站，则从地到有2辆汽车可以乘坐；
若乘坐从地到的第3班汽车，到站，则从地到有1辆汽车可以乘坐；
若乘坐从地到的第4班汽车，到站，则从地到没有汽车可以乘坐，
由分类计数原理，可得种不同的乘坐方式.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页