6.3二项式定理 同步练习（含解析）

6.3二项式定理同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．60 C． D．80
2．若，则（ ）
A．6 B．16 C．26 D．36
3．已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
4．若二项式的展开式中项的系数是,则实数的值为（　　）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
5．已知的展开式中含的项的系数是，则（ ）
A． B．
C． D．
6．将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（n为正整数），则下列结论中正确的是（ ）
第0行
第1行
第2行
第3行
…… ……
A．当时，中间的两项相等，且同时取得最大值
B．当时，中间一项为
C．第6行第5个数是
D．
7．，则（ ）
A． B．0 C．32 D．64
8．已知的展开式中所有奇数项的二项式系数的和为，则展开式中有理项共有（ ）项
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
9．已知二项式的展开式，则（　　）
A．常数项是 B．系数为有理数的项共有4项
C．第5项和第6项的二项式系数相等 D．奇数项的二项式系数和为256
10．已知二项式，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则展开式中的常数项为15
B．展开式中有理项的个数为4
C．若展开式中各项系数之和为64，则
D．展开式中二项式系数最大的项为第3项
11．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ）
A． B．只有第4项的二项式系数最大
C．各项系数之和为1 D．的系数为560
12．已知的展开式中所有项的系数之和为1，则（ ）
A．展开式的常数项为
B．
C．展开式中系数最大的项的系数为80
D．所有幂指数为非负数的项的系数和为
三、填空题
13．的展开式中的常数项为 .
14．已知，且，则 .
15．设，则 ．
16．上初三的小芳看到读高三的姐姐在解一道高考题：“已知，则 ”姐姐做不出，正在苦思闷想，小芳凑上去说：这个题我会做，并随口说出了答案，这个答案是 .
四、解答题
17．在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.
在的展开式中， .
(1)求n；
(2)证明：能被6整除.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
18．已知二项式，其中，且此二项式的项的系数是．
(1)求实数a的值；
(2)求的值（结果可保留幂的形式）．
19．请用二项式定理解决下列问题，写出必要的过程：
(1)求除以100的余数；
(2)证明：（，且）．
20．已知，是正整数，的展开式中的系数为15.
(1)求展开式中的系数的最小值；
(2)已知展开式中的二项式系数的最大值为，项的系数的最大值为，求.
21．把称为的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中是正整数．
(1)若的所有项的二项式系数的和为，求展开式的常数项；
(2)若展开式中第项系数为，求的展开式中的系数．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】求出的通项公式，从而得到含的项，得到答案.
【详解】展开式的通项为，
∴原式的展开式中含的项为，
∴的系数为．
故选：C．
2．D
【分析】由，由二项式定理，利用展开式的通项求的值.
【详解】因为，展开式的通项为，
令，可得，
所以.
故选：D.
3．C
【分析】利用二项展开式的通项求出展开式前三项的系数，列出方程求出的值，由二项式系数的性质求出答案.
【详解】展开式中的第项为，
所以前三项的系数依次为，
依题意，有，即，
整理得，解得（舍去）或.
由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，
即.
故选：C.
4．C
【分析】分别求出和展开式中项的系数，即可求出的值.
【详解】，
的展开式的通项公式为，，
所以展开式中项的系数是，
展开式中项的系数是，
所以，解得，
故选：C.
5．A
【分析】由二项式定理求出通项公式，得到展开式中含的项的系数，求解即可.
【详解】由题意，得，
的展开式的通项为，
令，得，则；
令，得，则，
所以展开式中含的项的系数为，
即，所以．
故选：A．
6．C
【分析】根据莱布尼茨三角形的数的排列规律，明确每行的数的个数，以及数的分布规律，即可判断A，B，C；结合从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，即可判断D.
【详解】对于A，由莱布尼茨三角形知，当n为奇数时，中间两项相等，且同时取到最小值，
为奇数，故A错误；
对于B，当时，这一行有2025个数，最中间为第1013个数，
即，B错误；
对于C，第6行有7个数，第5个数是，C正确；
对于D，由于从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，
故，D错误，
故选：C
7．C
【分析】利用赋值法即可得解.
【详解】因为，
令，可得，
令，可得，
所以.
故选：C
8．C
【分析】由奇数项二项式系数和得，由展开通项是有理项得能被整除，由此即可得解.
【详解】由题意得，所以，解得，
所以的展开通项为，
若为有理项，则能被整除，即满足题意的可以是：共四个.
故选：C.
9．ACD
【分析】首先得二项式展开通项，由此即可逐一判断每一选项.
【详解】由题意二项式的展开式通项为，
对于A，令，得，所以常数项是，故A正确；
对于B，当且仅当时，这些项的系数为有理数，即系数为有理数的项共有5项，故B错误；
对于C，第5项和第6项的二项式系数满足，故C正确；
对于D，奇数项的二项式系数和为，故D正确.
故选：ACD.
10．AB
【分析】先将利用二项式定理展开并化简，根据展开式可判断AB；利用赋值法求得的值判断C；利用的二项式系数的性质判断D.
【详解】因为
.
对于A：若，则展开式中的常数项为，故A正确；
对于B：展开式中有理项的个数为4，故B正确；
对于C：若展开式中各项系数之和为64，
则令，有，或，故C错误；
对于D：展开式中的二项式系数最大的为，对应第4项，故D错误；
故选：AB.
11．AD
【分析】根据二项式系数之和为运算求解，进而判断A；根据二项式系数的性质分析判断B；令，求各项系数之和，进而判断C；对于D：结合二项式系数的通项分析判断.
【详解】对于A：由题意可知：各项的二项式系数之和为，解得，故A正确；
可得，
对于B：因为，则第4项和第5项的二项式系数最大，故B错误；
对于C：令，可得各项系数之和为，故C错误；
对于D：因为二项展开式的通项为，
令，解得，
所以的系数为，故D正确；
故选：AD.
12．ACD
【分析】令，根据系数可得，根据二项式定理展开，进而逐项分析判断.
【详解】令，得，解得，B错误；
因为的展开式的通项公式为，
可得，
则，则有：
展开式的常数项为，A正确；
展开式中系数最大的项的系数为80，C正确；
所有幂指数为非负数的项的系数和为，D正确．
故选：ACD.
13．240
【分析】先求出的展开式，然后赋值求得，即可求解常数项.
【详解】展开式的通项公式为，
令或，解得（舍去）或，
故所求常数项为.
故答案为：240
14．2
【分析】利用二项展开式的通项公式，分析含项的构成，求出a.
【详解】由题意，为中的系数.
因为的二项展开式的通项公式为，
所以的展开式中含项的系数为：，解得：.
故答案为：
15．
【分析】利用赋值法求得正确答案.
【详解】由，
令，得，
令，得，
所以.
故答案为：
16．
【分析】运用赋值法求解.
【详解】令，则，，
令，则，；
故答案为：；.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由所选条件，利用展开式系数与系数和的性质，列方程求n；
（2），利用二项式定理，证明数据是6的倍数.
【详解】（1）选条件①各项系数之和为，取，则，解得；
选条件②常数项为，由，则常数项为，解得；
选条件③各项系数的绝对值之和为1536，即的各项系数之和为1536，取，则，解得.
（2）
，
所以能被6整除.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据二项式的项的系数是解得的值；
（2）运用赋值法解决问题，先对已知的二项式中的赋值，再对已知的二项式中的赋值，得到两个方程，联立方程组求解得出答案.
【详解】（1）解：（1）二项式的展开式中含的项为，
∴，
则，
又，解得．
（2）由（1）可得，
令，则①，
令，则②，
∴由① ＋② 可得：；
由① －② 可得：．
∴.
19．(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）利用二项展开式得到被100除余数为，再将写成，展开后被100除即得余数为1；
（2）先考虑的展开式，利用放缩法得到，从而得到结论.
【详解】（1），
由展开式可知，前100项都能被100整除，最后一项是，
而
其展开式的前100项都能被100整除，最后一项是，
所以除以100的余数是1；
（2）因为
，
即，故，即原不等式成立．
20．(1)49
(2)
【分析】（1）根据题意得，从而可得，结合二次函数的性质即可求解；
（2）由（1）可得，从而可得，令，求得，从而问题可解.
【详解】（1）根据题意得，即，所以，
所以展开式中的的系数为，
故当或时，的系数的最小值为49.
（2）由（1）知，则，，
因为的展开式的通项为，
令（*）即，因为，所以.
因为成立，所以，
所以.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据有项的二项式系数的和求得，根据二项式展开式的通项公式求得常数项.
（2）根据展开式中第项的系数求得，根据二项式展开式的通项公式求得的系数.
【详解】（1）若的所有项的二项式系数的和为，
则，展开式的通项公式为，
令，所以，展开式的常数项为.
（2）展开式的通项公式为，
若展开式中第项系数为，
即，
则，
含的项为
，
所以的系数为.
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