辽宁省沈阳市2023—2024学年下学期开学初限时作业训练九年数学卷(含答案)

辽宁省沈阳市2023—2024学年（下）开学初限时作业训练卷
数学
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下面计算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2a2）3＝﹣8a6
C．a9÷a3＝a3 D．2a2+a2＝3a4
2．下列变形正确的是（　　）
A．如果x＝y，那么x+5＝y﹣5 B．如果x＝y，那么﹣2x＝﹣2y
C．如果x＝y，那么 D．如果 ，那么x＝3
3．在平面直角坐标系中，点（0，﹣3）在（　　）
A．x轴的正半轴 B．y轴的负半轴
C．x轴的负半轴 D．y轴的正半轴
4．抛物线y＝x2﹣4x+9的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（2，﹣5） D．（﹣2，﹣5）
5．在反比例函数y（k为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
6．正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（　　）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
7．下列表格是某公司员工情况表，你在了解这家公司的员工的平均工资时，你最应该关注的数据是（　　）
职位 普工 文员 经理 董事长
人数 3 10 2 1
工资（元） 1200 1500 1600 8000
A．平均数 B．众数与中位数
C．方差 D．最小数
8．古希腊数学家埃拉托色尼是第一个测算地球周长的人，他在当时的城市塞恩（图中的点A）竖立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大（图中的点B）竖立杆子的影子却偏离垂直方向约7°（∠α≈7°），由此他得出∠α＝∠β，那么∠β的度数也就是360°的，所以从亚历山大到塞恩的距离也就等于地球周长的．其中“∠α＝∠β”所依据的数学定理是（　　）
A．两直线平行，内错角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．两直线平行，同旁内角互补 D．内错角相等，两直线平行
9．如图，△ABC外接圆的圆心坐标是（　　）
A．（5，2） B．（2，3） C．（1，4） D．（0，0）
8题 9题 10题
10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°到矩形AGFE的位置，H是对角线AF的中点，则线段DH的长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．面对新冠肺炎疫情对经济运行的冲击，中国人民银行营业管理部（中国人民银行总行在京派驻机构）与相关部门多方动员，截至2020年4月2日，已发放优惠利率贷款573笔，金额280亿元．将280亿元用科学记数法表示应为　 　元．
12．|﹣2021|＝　 　．
13．掷一枚质地均匀的硬币，前8次都是正面朝上，则掷第9次正面朝上的概率是 　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线 上，则k的值为 　 　．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为　 　．
14题 15题
三．解答题（共8小题，共75分）
16．（每小题5分，共10分）
（1）解不等式4（x﹣1）+3≤2x+5，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）计算：（）﹣2﹣（π﹣2020）0﹣|3|+2cos30°．
17．（9分）某校为了解学生对偶像崇拜的情况，从本校学生中随机抽取60名学生，进行问卷调查，并将调查结果收集整理如下：
调查问卷2023年6月你崇拜的偶像是（　　）（单选）A．娱乐明星 B．英雄人物C．科学家 D．其他
收集数据：
ADCCA DBBAC DBDAC ACCCC DCADB BCAAC ACAAC ACCCB BDBDD
整理数据：
崇拜偶像人数统计表
偶像类型 划记 人数 百分比
A．娱乐明星 正正正 15 25%
B．英雄人物 正正下
C．科学家 正正正正正 24 40%
D．其他 9 15%
描述数据：
请根据所统计信息，解答下列问题：
（1）请补全统计表和条形统计图并填空n＝　 　；
（2）若该校共有1600名学生，其中崇拜英雄人物和科学家的共约多少人？
（3）请你针对中学生崇拜偶像问题．提出积极的合理化的建议．
18．（8分）欧城物业为美化小区，要对面积为9600平方米的区域进行绿化，计划安排甲、乙两个园林队完成，已知甲园林队每天绿化面积是乙园林队每天绿化面积的2倍，并且甲、乙两园林队独立完成面积为800平方米区域的绿化时，甲园林队比乙园林队少用2天．求甲、乙两园林队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米．
19．（8分）如图，一条公路的两侧互相平行，某课外兴趣小组在公路一侧AE的点A处测得公路对面的点C与AE的夹角∠CAE＝30°，沿着AE方向前进15米到点B处测得∠CBE＝45°，求公路的宽度．（结果精确到0.1米，参考数据：1.73）
20．（8分）某电脑销售公司在5月份售出甲、乙、丙三种型号的电脑若干台，每种型号的电脑不少于10台．这个月的支出包括以下三项：这批产品的进货总成本850000元，人员工资和其他支出．这三种电脑的进价和售价如表所示，人员工资y1（元）与总销售量x（台）的关系式为y1＝400x+12000，其他支出y2（元）与总销售量x（台）的函数图象如图所示．
型号 甲 乙 丙
进价（元/台） 4500 6000 5500
售价（元/台） 6000 8000 6500
（1）求其他支出y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式；
（2）如果该公司5月份的人员工资和其他支出共90000元，求该公司5月份共售出甲、乙、丙三种型号的电脑多少台？
（3）在（2）的条件下，求该公司5月份销售甲、乙、丙三种产品总利润W的最大值，并求出此时三种电脑各销售了多少台？（利润＝售价﹣进价﹣人员工资﹣其他支出）
21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AD与弦BC相交于点E，BE＝EC，过点D的切线交AC的延长线于点F．
（1）求证：BC∥DF；
（2）若sin∠BAD，AB＝4，求AF的长．
22．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（12分）小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：
【习题回顾】：如图，在等边三角形ABC的AC、BC边上各取一点P，Q使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，求∠BOQ的度数．请你解答该习题．
【拓展延伸】：（1）如图1，在等腰Rt△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，BP平分∠ABC，，∠BAC＝90°，求BP的长．小明的思路：过点A作AG∥BC交BP延长线于点G，证明△AQC≌△GPA，…
（2）如图2，在Rt△ABC的AC、BC边上各取一点P、Q，使CQ＝2AP，BP平分∠ABC，，∠BAC＝90°，求AQ，BP的数量关系，请你解答小明提出的问题．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．B．2．B．3．B．4．B．5．C．6．D．7．B．8．A．9．A．10．A．
二．填空题（共5小题）
11．2.8×1010．12．2021．13．．14．﹣3．15．4；
三．解答题（共8小题）
16．（1）x≤3，
其解集在数轴上表示如下，
．
（2）6．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/28 15:04:31；17．解：（1）由题意得，样本容量为：15÷25%＝60，
故B的人数为：60﹣15﹣24﹣9＝12，
补全统计表和条形统计图如下：
n°＝360°×（1﹣25%﹣15%﹣40%）＝72°，故n＝72，
故答案为：72；
（2）1600×（40%）＝960（人），
答：其中崇拜英雄人物和科学家的共约960人；
（3）由统计图可知，崇拜英雄人物的比例比崇拜娱乐明星的比例还低，学校要帮助学生树立正确的人生观和价值观，让更多的学生崇拜英雄人物和科学家．
18．解：设乙园林队每天能完成绿化的面积为x平方米，则甲园林队每天能完成绿化的面积为2x平方米，
根据题意得：2，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×200＝400，
答：甲园林队每天能完成绿化的面积是400平方米，乙园林队每天能完成绿化的面积是200平方米．
19．解：如图，过点C作CD⊥AE于点D，
设公路的宽CD＝x米，
∵∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝x，
在Rt△ACD中，∵∠CAE＝30°，
∴tan∠CAD，即，
解得：x20.5（米），
答：公路的宽为20.5米．
20．解：（1）设y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式为y2＝kx+b，
根据题意得：，
解得：
∴y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式为y2＝100x+3000；
（2）由题意得：y1+y2＝90000，
∴400x+12000+100x+3000＝90000，
解得：x＝150
该公司5月份共售出甲、乙、丙三种型号的电脑150台；
（3）设该公司5月份销售甲种电脑t台，乙种电脑p台，则售出丙种电脑（150﹣t﹣p）台，
由题意得：4500t+6000p+5500（150﹣t﹣p）＝850000，
解得：p＝2t+50，
∵每种型号的电脑不少于10台，
∴
∴10≤t≤30，
∴W＝6000t+8000（2t+50）+6500（150﹣t﹣2t﹣50）﹣850000﹣90000＝2500t+110000（10≤t≤30）．
∴当t＝30时，W有最大值，最大值为：2500×30+110000＝185000（元）．
∴2t+50＝110（台），150﹣t﹣2t﹣50＝10（台）．
∴该公司5月份销售甲、乙、丙三种产品总利润W的最大值为185000元，此时甲种电脑销售了30台，乙种电脑销售了110台，丙种电脑销售了10台．
21．（1）证明：∵AD为⊙O的直径，BE＝CE，
∴AD⊥BC，
∵DF是⊙O的切线，
∴AD⊥DF，
∴BC∥DF；
（2）解：连接CD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵BE＝CE，AD⊥BC，
∴AB＝AC＝4，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵sin∠CAD＝∠sin∠BAD，AB＝4，
∴CE＝BE＝4，
∴AE8，
∵cos∠CAD，
∴，
∴AD＝10，
∵tan∠CAD，
∴，
∴DF＝5，
∴AF5．
22．解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
如图，过点P作y轴的平行线交CB于点H，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHBPH×OB（﹣x2+2x+x﹣3）（x）2，
即△PBC的面积的最大值为，此时点P（，）；
（3）存在，理由：
∵B（3，0），C（0，3），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为：x＝1，
设点M（1，t），N（x，y），
若BC为菱形的边长，菱形BCMN，
则BC2＝CM2，即18＝12+（t﹣3）2，
解得：t13，t23，
∵，
∴x＝4，y＝t﹣3，
∴N1（4，），N2（4，）；
若BC为菱形的边长，菱形BCNM，
则BC2＝BM2，即18＝（3﹣1）2+t2，
解得：t3，t4，
∵，
∴x＝﹣2，y＝3+t，
∴N3（﹣2，），N4（﹣2，）；
即点N的坐标为：（4，）或（4，）或（﹣2，3）或（﹣2，3）．
23．【习题回顾】：在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAP＝∠C＝60°，AP＝CQ，
∴△ABP≌△CAQ（SAS），
∴∠ABP＝∠CAQ．
∵∠BOQ＝∠BAO+∠ABP，
∴∠BOQ＝∠BAO+∠CAQ＝∠BAC＝60°；
【拓展延伸】：（1）过点A作AG∥BC交BP的延长线于点G，
∴∠PAG＝∠C，∠PBC＝∠G，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABP，
∴∠G＝∠ABP，
∴AG＝AB，
∵AC＝AB，
∴AG＝AC，
∵AP＝CQ，
∴△CAQ≌△AGP（SAS），
∴．
∵AG∥BC，
∴△APG∽△CPB，
∴，
而，
∴，
∴，
∵，
∴BP＝2；
（2）如图2，过点A作AG∥BC交BP的延长线于点G，
由（1）知∠PAG＝∠C，AG＝AB，
∵，
∴，
∵CQ＝2AP，
∴，
∴△APG∽△CQA，
∴，
∴，
Rt△ABC中，，
∴，
∴，
∵AG∥BC，
∴△APG∽△CPB，
∴，
∴，
∴，
∴2BPAQ．