2024年湖南省中考数学全真模拟试卷（含解析)

湖南省2024年初中学业水平考试模拟试卷
数 学
温馨提示：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
4.本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．《九章算术》中著有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若把气温为零上记作，则表示气温为（ ）
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如下表：
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 5 7 10 16 12
则本次调查中视力的众数和中位数分别是（ ）
A．4.9和4.8 B．4.9和4.9 C．4.8和4.8 D．4.8和4.9
5．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．五星红旗是中华人民共和国国旗，旗上的五颗五角星及其相互关系象征着中国共产党领导下的革命人民大团结．五角星是由五个每个顶角为的等腰三角形组成，既美观又蕴含着数学知识，如图将五角星绕其旋转中心按顺时针旋转一定角度，线段恰好与线段重合，则该旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．将正偶数按下表排成5列：
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
第一行 2 4 6 8
第二行 16 14 12 10
第三行 18 20 22 24
第四行 32 30 28 26
……
根据上面规律，2024应在（ ）
A．125行，3列 B．125行，2列 C．253行，5列 D．253行，3列
8．函数的图象与过原点的直线l交于A、B两点，现过A、B分别作x、y轴的平行线，相交于C点．则的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
9．动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ）
A．2 B． C． D．
10．若关于的方程恰有三个根，则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若函数有意义，则自变量取值范围为 ．
12．已知点的坐标为，则关于原点对称的点的坐标为 ．
13．如图，有一个亭子地基是半径为8米的正六边形，则地基的面积为 平方米．
14．中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审美的艺术价值．如图，一件扇形艺术品完全打开后，测得，则由线段，弧，线段，弧围成扇面的面积是 （结果保留）．
15．如图，顺次连接四边形各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷到四边形上，则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
16．2022年卡塔尔世界场馆建设：“中国造”闪耀世界杯．世界最大的饮用水池卡塔尔饮用水蓄水池，由中国能建、葛州坝集团参与建造，王师傅检修一条长600米的自来水管道．计划用若干小时完成．在实际检修过程中，每小时检修管道的长度是原计划的1．2倍，结果提前2小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？设王师傅原计划每小时检修管道米，根据题意可列方程为： ．
17．如图，由小正方形构成的网格，小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点，用无刻度的直尺，在上找一点，使点平分（保留画图痕迹）．
18．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是4和3，则重叠部分的四边形ABCD中的对角线BD的长是 ．

三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在八年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本这次调查的总人数为________人，请补全条形统计图；
(2)A组人数占本次调查人数的百分比是________；
(3)在扇形统计图中，B组所对应的圆心角度数为________度．
22．某小区在进行老旧小区改造的过程中，为了方便老人行走，决定对一段斜坡进行改造．如图，，测得米，米，现将斜坡的坡角改为，即（此时点B、C、D在同一直线上）．（参考数据：，，，结果精确到），求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到米）．

23．第一届茶博会在海丝公园举行，全国各地客商齐聚于此，此届茶博会主题“精彩闽茶 全球共享”．一采购商看中了铁观音和大红袍这两种优质茶叶，并得到如表信息：
铁观音 大红袍 总价/元
质变/Akg 2 5 1800
3 1 1270
(1)求每千克铁观音和大红袍的进价；
(2)若铁观音和大红袍这两种茶叶的销售单价分别为450元/kg、260元/kg，该采购商准备购进这两种茶叶共30kg，进价总支出不超过1万元，全部售完后，总利润不低于2660元，该采购商共有几种进货方案？（均购进整千克数）（利润＝售价﹣进价）
24．如图，在中，交于点，点在上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若求证：四边形是菱形．
25．如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，连接交于点．
(1)如果，求证：四边形为平行四边形；
(2)如图（2）所示，连接，如果，求边的长；
(3)连接，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．
26．我们约定：关于x的反比例函数称为一次函数的“次生函数”，关于x的二次函数称为一次函数的“再生函数”．
(1)按此规定：一次函数的“次生函数”为：______，“再生函数”为：______；
(2)若关于x的一次函数的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标；
(3)若一次函数与其“次生函数”交于点、两点，其“再生函数”与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
①若点，求的正切值；
②若点E在直线上，且在x轴的下方，当时，求点E的坐标．
参考答案与解析
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项 D D A B D A D C C B
1．D
【详解】解：气温为零上记作，则表示气温为零下，故选：D．
2．D
【详解】解：A. ，计算错误；
B. ，计算错误；
C. ，计算错误；
D. ，计算正确；故选D．
3．A
【详解】解：，故选：A．
4．B
【详解】解：视力为的出现人数为，最多，
∴众数是，
∵样本容量为，
∴中位数是第名同学的视力数据和的一半，
∴中位数是，
∴众数是，中位数是，故选：B．
5．D
【详解】解：，
（两直线平行，内错角相等），
，，
．故选：．
6．A
【详解】如图，
∵五角星为轴对称图形，
∴，，
∴，
∵将五角星绕其旋转中心按顺时针旋转一定角度，线段AB恰好与线段CD重合，
∴∠BOD为旋转角，
即旋转角为144°．故选：A．
7．D
【详解】正偶数依次排列，2024是第1012个数
根据分析中的规律，每个循环是8个数字，则1012÷8=126
因此，第1012个数（即2024）是完成126个循环后，再往后数4个数的位置
一个循环是2行，故126个循环是第252行
再往后4个数字，故是253行，第5列数字（第一个数字空缺），故选D
8．C
【详解】解：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，
的面积等于两个三角形加上一个矩形的面积和，
则的面积．故选：C．
9．C
【详解】解：如图，分别连接，，作，交的延长线于，
和是等边三角形，
，，，
．
在和中，，
，
，，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
．
在和中，，
，
，
，
点为中点，
，
，
，
，，，四点共圆，
当取最大值时，则等于直径，
为直径，
，
四边形为矩形，
，
，
点在上，
于，
，两点重合，
此时为中点，，
．
，
．
故选：C．
10．B
【详解】，
或，
整理得①或②，
设方程①的判别式为，方程②的判别式为，
若原方程恰有三个根，则有三种可能：
（1），，
，此时，，
或，
解得，或，满足题意的t的值是；
（2），，，
当时，，
或，
解得，或，
，
，但，不满足题意，舍去；
（3），且两方程恰有一个相同的根，，
，
设相同的根为，则，解得，，
当时，，
解得或或，符合题意；
当时，，
解得或或，但此时，三个解均不合题意，舍去；
综上所述，的值为或．故选B．
二、填空题
11．且/且
【详解】∵函数有意义，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
12．
【详解】解：关于原点对称的点的坐标特征为横、纵坐标全变为相反数，
故点的坐标为，则关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
13．
【详解】解：由题意可得：，米，
∴是等边三角形，∴米，
∵，
∴米，
∴（米），
正六边形的面积为（平方米）．
故答案为：．
14．
【详解】解：，
扇面的面积为：
．故答案为：．
15．/
【详解】解：．，
∴，，
，
，
，
同法可证，，，，
，
则飞镖落在阴影区域的概率为．故答案为：．
16．
【详解】解：设王师傅原计划每小时检修管道x米，根据题意可列方程为：
，故答案为：．
17．如图，取点E，画直线与相交，则交点为所找的点D．
易证E为中点，由垂径定理推论可知，直线平分弧
18．
【详解】解：如图，连接AC，由题意得：矩形矩形，
∴，，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴的面积，
∴，
∴是菱形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴菱形的面积，
即BD的长是：，故答案为：．
三、解答题
19．【详解】解：原式=
20．【详解】解：
当时，原式
21．【详解】（1）解：这次调查的学生人数是：（人）
如图，D组的人数为：（人）．
（2）A所占的百分比为：．
（3）B组所占的圆心角是：．
22．【详解】解：∵在中，，，
∴（米），
∴（米），
答：斜坡改进后的起点与原起点距离约为米．
23．【详解】（1）解：设每千克铁观音的进价是x元，每千克大红袍的进价是y元，
根据题意得：，解得：，
答：每千克铁观音的进价是350元，每千克大红袍的进价是220元；
（2）设购进m千克铁观音，则购进千克大红袍，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为25，26，
∴该采购商共有2种进货方案．
24．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形ABCD为菱形，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
25．【详解】（1）证明：∵
∴
∵
∴,
∴
∴，
∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，点边中点，
设，，则
由（1）可得
∴，
∴，
又∵
∴,
∴
即，
∵，
在中，，
∴，
∴
解得：或（舍去）
∴；
（3）解：①当时，点与点重合，舍去；
②当时，如图所示，延长交于点P，
∵点是的中点，，
∴，
设 ，
∵
∴，
∴，
设，
∵
∴， ∴，
∴，
∴，
连接交于点，
∵，
∴∴，
∴，
在与中，，，
∴，
又，
∴，∴，
∴，
∴，
，
∴．
26．【详解】（1））∵一次函数y=x-3的a=1，b=-3，
∴y=x-3的“次生函数”为y＝，
∴y=x-3的“再生函数”为y=x2-3x+2，
（2）∵y=x+b的“再生函数”为：y=x2+bx-（1+b），
又∵y=x2+bx-（1+b）的顶点在x轴上，
∴b2+4（1+b）=0，
∴解得：b1=b2=-2，
∴y=x2-2x+1=（x-1）2，
∴顶点坐标为：（1，0）；
（3）①∵y=ax+b与其“次生函数”的交点为：（1，-2）、（4， ），
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为y＝，
∴y＝的“再生函数”为：y＝
令y=0，则
解得：x1=1，x2=4，
∴A（1，0），B（4，0），C（0，2），
如图，过点C作CH∥x轴交直线x=1于点H，
∵D（1，3），C（0，2），
∴CH=DH=1，
∴∠CDH=45°，
又∵AD=AB=3，
∴∠ADB=45°，
∴∠CDB=90°，
∵CD=，BD=，
∴；
②如图，∵∠CBE=∠ABD=45°，
∴∠ABE=∠CBD，
又∵∠EAB=∠CDB=90°，
∴△CBD∽△EBA，
∴，
∴＝，
∴AE=1
∴E（1，-1）.
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