(共29张PPT)
2.1.1两条直线的位置关系（2）
北师大版 七年级 下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
学习目标
1.了解垂线的有关概念、性质及画法，了解点到直线的距离的概念；(重点)
2.能够运用垂线的有关性质进行运算，并解决实际问题.（难点)
新知导入
同一平面上的两条直线有哪些位置关系
a
b
平行
a
b
相交
新知讲解
合作学习
请同学们观察下列图片，图中的线段所在的直线呈现的位置关系是什么？
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足.
垂直是两直线相交的一种特例。
O
D
C
B
A
l
m
O
通常用“⊥”表示两直线垂直，如图，如果用AB，CD表示两条互相垂直的直线，可以记作AB⊥CD；如果直线l与直线m互相垂直，记作l⊥m，其中，点O是垂足．
提炼概念
两条直线互相垂直是两条直线相交的一种特殊情况
特殊性1：相交所成的四个角都等于90°
特殊性4：记作：AB⊥CD（或 CD⊥AB），垂足为O
读作：直线AB垂直于直线CD，垂足为O
特殊性2：交点有专有名字：垂足
特殊性3：画图表示方法独特
b
a
O
动手画一画1：
工具1:三角尺或者量角器
在一张白纸上画出两条互相垂直的直线
90
120
150
180
60
30
0
0
10
20
50
40
30
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
10
20
40
50
70
80
100
110
130
140
160
170
垂线的画法及基本事实
工具2:只有直尺
在方格纸上画出两条互相垂直的直线
工具3:用折纸的方法折出互相垂直的直线
垂线的画法：经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线，步骤如下：
(1)靠线：让直角三角板的一条直角边与已知直线重合；
(2)过点：沿直线移动，使直角三角板的另一条直角边经过已知点；
(3)画线：沿直角边画线，则这条直线就是经过这个点的已知直线的垂线．如图
问题1：若点A在直线m上，请你过点A作直线m的垂线，你能作多少条？
A
A
m
m
问题2：若点A在直线m外，你能作多少条？
o
n
n
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
直线上或外
存在
唯一
l
l
P
P
C
D
E
l
点到直线的距离
1.线段AB, AC, AD , AE谁最短？
2.你能用一句话表示这个结论吗？
说一说：
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
B
A
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.简单说成：垂线段最短
D
l
A
典例精讲
例 图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下面的结论中，正确的个数为( )
①AB与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直；
③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到
BC的距离是线段AB；⑤线段AB的长度是
点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到BC的距离．
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：根据垂直定义，可知①正确，②错误；点C到AB的垂线段应是线段AC，故③错误；点到直线的距离是线段的长度而不是线段，故④⑥错误；⑤符合定义，正确．
【议一议】你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的吗？你能说说其中的道理吗
2 垂线段最短。
A
B
1 线段AB的长度即为所求。
课堂练习
必做题
1.下列说法中正确的是（ ）
A.过直线m外一点A和直线m上一点B，一定可以画一条直线与直线m垂直。
B.过直线外两点一定可以画这条直线的垂线。
C.过射线外一点，可以画这条射线的垂线。
D.同一平面内的两直线，如果不相交，那么这两条直线有可能互相垂直。
C
选做题
2.如图，AB⊥AC，AD⊥BC，如果AB=4㎝，AC=3㎝，AD=2.4㎝，BC=5㎝，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线BC的距离为 ，点C到直线AB的距离为 。
A
B
D
C
4㎝
2.4㎝
3㎝
综合拓展题
C
A
3.如图,画出
（1）从村庄A到货场B怎样走最近？为什么？
（2）从货场B到铁道怎样走最近？为什么？
课堂总结
两条直线相交
一般情况
垂线
相交
平行
垂线的存在性和唯一性
特殊情况
相交成直角
垂线段最短
点到直线的距离
作业布置
必做题
1.点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线m的距离( )
A．等于4 cm B．等于2 cm
C．小于2 cm D．不大于2 cm
D
选做题
2.如图，点C在直线 AB上,过点C 引两条射线CE、CD，∠ACE=32°，∠DCB=58° ，那么CE、CD有何位置关系关系？为什么？
A
C
B
E
D
因为∠ACE=32°∠DCB=58°
所以∠ ACE+ DCB=900
又因为A、C、B共线
所以∠ECD=1800-900=900
所以CE⊥CD
综合拓展题
3.如图，直线AB，CD，EF都经过点O，且AB⊥CD。∠COE=35°，求∠DOF，∠BOF的度数.
解：因为∠DOF与∠COE是对顶角，
所以∠DOF=∠COE=35°，
又因为AB⊥CD，
所以∠BOD=90°，
所以∠BOF=∠DOF+∠BOD=35°+90°=125°.
谢谢
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 七年级下册 第2章
课标要求 经历对本章所学知识回顾与思考的过程,将本章内容条理化,系统化．综合运用相交线和平行线的知识解决相关的问题；能熟练运用平行线的性质与判定进行推理．3．使学生进一步学会识图，学会添辅助线将复杂图形分解为基本图形，进行图形、符号语言、几何语言间的转化．
内容分析 在本章已经完成了部分与相交线与平行线有关的知识学习：(1)两条直线的位置关系——相交和平行；(2)探索直线平行的条件；(3)平行线的性质；(4)会用尺规作一个角等于已知角．并在一些简单问题中对数形结合的数学思想和类比、转化、归纳等数学方法有了一定的了解，具备了一定的合情说理的能力．
学情分析 本章知识是学习线和角的继续，也是学习几何知识的重要基础，以后几乎所有几何图形的学习都会用到本章知识．首先研究了相交的情形，探索了两条直线相交所成角的位置和大小关系，给出了对顶角和补角以及余角的概念，得出了“对顶角相等”“同角和等角的补角相等，同角和等角的余角相等”的结论；并着重研究了相交的特殊情形——垂直，探索了垂直的性质，给出了点到直线的距离的概念．接着研究了平行的情形，教材首先引入了一个基本事实(平行公理)，以此为出发点探讨了两条直线平行的性质和判定，并给出了两条平行线间的距离的概念，最后研究利用圆规和没有刻度的直尺，尝试制作一些简单的图案．
单元目标 教学目标1.积累活动经验，发展空间观念、推理能力和表达能力．2.在现实情境中了解平面上两条直线的相交与平行的位置关系，能用符号表示互相平行或垂直的直线，了解垂线的有关性质．3.在具体情境中了解对顶角、补角、余角的概念，知道同角(等角)的余角相等，同角(等角)的补角相等、对顶角相等．4.能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．5.经历探索直线平行的条件以及平行线特征的过程，掌握平行线的判定定理和性质定理．6.能用尺规作一个角等于已知角．7.进一步激发学生对数学方面的兴趣，体验从数学的角度认识世界．（二）教学重点、难点教学重点:1.掌握本单元的知识点，建立知识体系.2.多角度地了解平行线与相交线的性质和证明.教学难点:灵活运用两直线平行的条件与平行线的性质进行推理和计算．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架1.教材特点分析：两条直线被第三条直线所截，即谓的“三线八角”问题和对平行线的讨论是平面几何中重要的议题，也是基础性的内容，有很大的教育价值。让学生通过探索和简单的推理熟悉相关的性质与判定等几何事实，并确信它们成立，成为这册教材“公理化”的经验背景。在这章的最后设置了“用尺规作线段和角”一节，是理解和运用相关几何知识的极好机会，只要求按步骤作图并保留作图的痕迹，暂时只要求用自己的语言表述出作法。平行线的条件和平行线的特征是本章的重点，也是难点．2.本章教学建议：在生动的不属于产丰富的教学活动中，探索相交线、平行线的有关事实；以直观认识为基础进行简单的说理，将几何直观与简单推理相结合，发展空间观察和推理能力；借助平等的有关结论解决一些简单的实际问题．3.重视数学思想方法的教学（1）．体会和掌握方程的思想方法，如在计算与相交线有关的角度问题时，常利用设未知数列方程的方法解决．（2）．体会和掌握分类讨论的思想方法，当被研究问题包含多种可能情况，而又不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．（3）．体会和掌握转化的思想方法，如在几何推理中，已知条件和要求结论之间常常需要转化，必要时还需要添加辅助线进行转化．4.单元知识结构框架：课时安排课时编号单元主要内容课时数 2.1.1两条直线的位置关系（1）12.1.1两条直线的位置关系（2）12.2.1探索直线平行的条件（1）12.2.1探索直线平行的条件（2）12.3.1平行线的性质（1）12.3.1 平行线的性质（2）12.4 用尺规作图
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1.1两条直线的位置关系（1）1.理解相交线、平行线的概念，了解两条直线的位置关系；2.理解对顶角、补角、余角的概念；3.掌握对顶角、补角、余角的性质，并能运用它们的性质进行角的运算及解决一些实际问题. 1.对顶角、余角、补角的定义及其性质．2.性质的应用．活动一：了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义．活动二：掌握对顶角、补角、余角的性质，并能运用它们的性质进行角的运算及解决一些实际问题．2.1.1两条直线的位置关系（2）1.理解两直线位置关系中垂直的含义，会用符号表示两直线垂直；2.能借助三角板、直尺和方格纸画垂线；通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质；3.会利用两直线垂直的性质解决有关推理与画图中的问题；善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新问题．1.垂线的性质及点到直线的距离的定义．2.应用垂线的性质解决实际问题.活动一：理解两直线位置关系中垂直的含义，会用符号表示两直线垂直．活动二：会利用两直线垂直的性质解决有关推理与画图中的问题．2.2.1探索直线平行的条件（1）1.经历探索直线平行条件的过程。2.掌握利用同位角相等判定两直线平行的结论，并能解决一些问题。3.能进行有条理的表达以及简单的几何说理．1.经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等判别直线平行的结论．2．并能用“同位角相等，两直线平行”来解决一些问题．会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．活动一：从生活经验出发自然转入通过角的关系研究直线平行的条件的探索．活动二：能进行有条理的表达以及简单的几何说理．活动三：巩固例题．2.2.1探索直线平行的条件（2）1.理解内错角、同旁内角的概念；2.结合图形识别内错角、同旁内角；3.会运用内错角、同旁内角判定两条直线平行． 1.会识别内错角、同旁内角；能用内错角相等、同旁内角互补判定两直线平行．2.在稍微复杂的图形中识别内错角和同旁内角．活动一：通过学生的观察和猜想，感受到可以利用它来判别两直线是否平行，可以用它作为两直线平行的条件.活动二：学习例题，在稍微复杂的图形中识别内错角和同旁内角．2.3.1平行线的性质（1）1.经历测量、交流、思考等活动归纳并掌握平行线的性质，并能解决一些问题。2.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.1.掌握平行线的性质.2.运用平行线的性质进行有条理的分析、表达.活动一：通过测量、猜想、验证，让学生首先在动手探索的过程中感知平行线的性质.活动二：运用平行线的性质进行有条理的分析、表达.2.3.1平行线的性质（2）1.掌握平行线的判定与平行线的性质的区别。2.灵活地综合利用平行线的判定和性质解决实际问题.1.掌握平行线的判定与平行线的性质的区别.2.灵活地综合利用平行线的判定和性质解决实际问题.活动一：让学生观察图片，然后引导学生如何用数学知识来解释其中的原理.活动二：巩固例题．掌握平行线的判定与平行线的性质的区别.2.4 用尺规作图 1．能按照作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。2．能利用尺规作角的和、差、倍。3．能够通过尺规设计并绘制简单的图案.1.了解作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法.2.用尺规作一个角等于已知角的和、差、倍.活动一：通过图片的展示创设问题情景，使学生体会数学与现实的完美结合，并试着想办法去解决问题.活动二：了解作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法.
《第2章 相交线和平行线》单元教学设计
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分课时教学设计
第1课时《2.1.1两条直线的位置关系（2） 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 认识垂线，理解互相垂直和垂足的含义，会用符号表示两直线垂直.理解点到直线的距离，会判断图形中点到直线的距离．通过动手操作活动，探究归纳垂直的有关性质．通过自主探究与小组合作交流，培养学生的合作意识，提高学习数学的兴趣.
学习者分析 体会两条直线相交时夹角的大小变化，从而为课堂上的探究，尤其是理论证明做铺垫.通过画、折等活动，进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，掌握有关的符号表示．让学生在经历思考、实践、猜想，动手验证等过程时，不仅加深对“垂直”的理解.
教学目标 1.理解两直线位置关系中垂直的含义，会用符号表示两直线垂直； 2.能借助三角板、直尺和方格纸画垂线；通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质； 3.会利用两直线垂直的性质解决有关推理与画图中的问题；善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新问题．
教学重点 垂线的性质及点到直线的距离的定义．
教学难点 应用垂线的性质解决实际问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入 师：同学们，思考同一平面上的两条直线有哪些位置关系 【想一想】相交还会有哪些情况？ 在我们的身边随处可见“直线”的形象,其中有一些直线之间还具有特殊的位置关系,请同学们观察下面三幅图片,你能找出其中相交的直线吗 它们有什么特殊的位置关系 说说看 师：思考两条相交直线在什么情况下是垂直的？ 学生活动1： 通过探究活动理解．学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知. 问题取材于学生最熟悉的情境，既可以激发学生学习数学的热情 活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发.理解两直线位置关系中垂直的含义，会用符号表示两直线垂直.环节二：新课讲解 师：什么时候两条直线垂直？ 其中一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足. 垂直是两直线相交的一种特例。 通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。 如图：如果直线AB与直线CD垂直，记作：AB⊥CD（或CD⊥AB），其中点O是垂足. 师：下图该怎么表示？ 师：做一做 你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ (2)如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ (3)你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！ 【想一想】这样画 l 的垂线可以画几条？ 【想一想】点A在直线 l上, 过点A画直线l的垂线,你能画出多少条 【想一想】如果点A在直线 l外, 过点A画直线l的垂线,你能画出多少条 师：根据以上操作，你能得出什么结论？ 注意：1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性. 【想一想】如图，点P是直线 l 外一点，PO⊥l，点O是垂足. 点A，B，C在直线l上，用刻度尺测量线段PO，PA，PB，PC的长短。 说一说：1.线段PO，PA，PB，PC谁最短？ 2.你能用一句话表示这个结论吗？ 师：简称为垂线段最短。 如图，过点A作l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫做点A到直线l的距离. 【议一议】你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的吗？你能说说其中的道理？ 学生活动2： 学生相互交流． 学生可相互交流，学生自主探究，得出结论 教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论.过动手画图，可以加深学生对知识的理解，能更好的关注知识的形成过程，这也是促使学生认真审题的重要策略. 活动意图说明： 导学生建立模型，鼓励学生大胆探索，能借助三角板、直尺和方格纸画垂线；通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质.积累解题经验，提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.环节三：例题讲解教师活动3： 例 图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下面的结论中，正确的个数为( ) ①AB与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直； ③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到 BC的距离是线段AB；⑤线段AB的长度是 点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到BC的距离． A．2 B．3 C．4 D．5 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. 巩固例题. 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，会利用两直线垂直的性质解决有关推理与画图中的问题；善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新问题．从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列说法中正确的是（ ）。 A.过直线m外一点A和直线m上一点B，一定可以画一条直线与直线m垂直。 B.过直线外两点一定可以画这条直线的垂线。 C.过射线外一点，可以画这条射线的垂线。 D.同一平面内的两直线，如果不相交，那么这两条直线有可能互相垂直。 选做题： 2.如图，AB⊥AC，AD⊥BC，如果AB=4㎝，AC=3㎝，AD=2.4㎝，BC=5㎝，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线BC的距离为 ，点C到直线AB的距离为 。 【综合拓展类作业】 3.如图,画出 （1）从村庄A到货场B怎样走最近？为什么？ （2）从货场B到铁道怎样走最近？为什么？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线m的距离( ) A．等于4 cm B．等于2 cm C．小于2 cm D．不大于2 cm 选做题： 2.如图，点C在直线 AB上,过点C 引两条射线CE、CD，∠ACE=32°，∠DCB=58° ，那么CE、CD有何位置关系关系？为什么？ 【综合拓展类作业】 3.如图，直线AB，CD，EF都经过点O，且AB⊥CD。∠COE=35°，求∠DOF，∠BOF的度数.
教学反思
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分课时学案
课题 2.1.1两条直线的位置关系（2） 单元 第一单元 学科 数学 年级 七年级下
学习目标 1.理解两直线位置关系中垂直的含义，会用符号表示两直线垂直；2.能借助三角板、直尺和方格纸画垂线；通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质；3.会利用两直线垂直的性质解决有关推理与画图中的问题；善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新问题.
重点 垂线的性质及点到直线的距离的定义．
难点 应用垂线的性质解决实际问题．
教学过程
导入新课 【引入思考】 同学们，思考同一平面上的两条直线有哪些位置关系 【想一想】相交还会有哪些情况？
新知讲解 本节课来研究：标明学习内容思考两条相交直线在什么情况下是垂直的？通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。如图：如果直线AB与直线CD垂直，记作：AB⊥CD（或CD⊥AB），其中点O是垂足.师：下图该怎么表示？做一做（1）你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？(2)如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？(3)你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！【想一想】这样画 l 的垂线可以画几条？【想一想】点A在直线 l上, 过点A画直线l的垂线,你能画出多少条 【想一想】如果点A在直线 l外, 过点A画直线l的垂线,你能画出多少条 师：根据以上操作，你能得出什么结论？注意：1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.【想一想】如图，点P是直线 l 外一点，PO⊥l，点O是垂足. 点A，B，C在直线l上，用刻度尺测量线段PO，PA，PB，PC的长短。说一说：1.线段PO，PA，PB，PC谁最短？2.你能用一句话表示这个结论吗？提炼概念（本节课主要内容提炼）1.垂线的概念：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．2.垂线的作法一靠二移三画，用工具（直尺、三角板）3.垂线的性质： 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．典例精讲 例 图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下面的结论中，正确的个数为( )①AB与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AB；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到BC的距离．A．2 B．3 C．4 D．5
课堂练习 巩固训练 1.下列说法中正确的是（ ）。A.过直线m外一点A和直线m上一点B，一定可以画一条直线与直线m垂直。B.过直线外两点一定可以画这条直线的垂线。C.过射线外一点，可以画这条射线的垂线。D.同一平面内的两直线，如果不相交，那么这两条直线有可能互相垂直。2.如图，AB⊥AC，AD⊥BC，如果AB=4㎝，AC=3㎝，AD=2.4㎝，BC=5㎝，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线BC的距离为 ，点C到直线AB的距离为 。 3.如图,画出（1）从村庄A到货场B怎样走最近？为什么？（2）从货场B到铁道怎样走最近？为什么？课后作业必做题：1.点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线m的距离( )A．等于4 cm B．等于2 cm C．小于2 cm D．不大于2 cm选做题：2.如图，点C在直线 AB上,过点C 引两条射线CE、CD，∠ACE=32°，∠DCB=58° ，那么CE、CD有何位置关系关系？为什么？【综合拓展类作业】3.如图，直线AB，CD，EF都经过点O，且AB⊥CD。∠COE=35°，求∠DOF，∠BOF的度数.
课堂小结 .
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