河北省保定市部分高中2023-2024学年高一下学期开学数学试题（含解析）

2023—2024学年高一第二学期开学检测考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知角的终边经过点，则角的值可能为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．将函数图象上所有的点都向左平移个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数在上有且只有一个最大值点（即取得最大值对应的自变量），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．若函数，则
B．“”的否定是“”
C．函数为奇函数
D．函数且的图象过定点
10．若关于的不等式有实数解，则的值可能为（ ）
A．0 B．3 C．1 D．
11．已知函数的部分图象如图所示，若，，则（ ）
A．
B．的单调递增区间为
C．的图象关于点对称
D．的图象关于直线对称
12．已知函数若满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．函数的定义域为__________．
14．若正数满足，则的最大值为__________．
15．一扇环形砖雕如图所示，该扇环形砖雕可视为扇形截去同心扇形所得的部分，已知分米，弧长为分米，弧长为分米，则__________分米，此扇环形砖雕的面积为__________平方分米．
16．若函数在上满足恒成立，则__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
计算：
（1）；
（2）．
18．（12分）
已知函数且．
（1）求方程的解集；
（2）求关于的不等式的解集．
19．（12分）
已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
20．（12分）
已知函数的最小正周期为．
（1）将化简成的形式；
（2）设函数，求函数在上的值域．
21．（12分）
已知某批药品在2023年治愈效果的普姆克系数（单位：）与月份）的部分统计数据如下表：
月 10 11 12
普姆克系数 10240 20480 40960
（1）根据上表数据，从下列两个函数模型①，②中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2023年治愈效果的普姆克系数与月份之间的关系，并写出这个函数解析式；
（2）用（1）中的函数模型，试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内？
22．（12分）
已知函数为偶函数．
（1）求的值；
（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（3）若，证明：．
2023—2024学年高一第二学期开学检测考试
数学参考答案
1．C 由题意得，则．
2．A 由，解得或，则“”是“”的充分不必要条件．
3．A 由题意得，又因为角的终边在第一象限，所以角的值可能为．
4．D 因为，所以．
5．D 将图象上所有的点都向左平移个单位长度后，得到函数的图象，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得．
6．C 当时，令，解得或；当时，令，则，画出函数与函数的图象，可知在上有一个公共点．故的零点个数为3．
7．B 由，得，由题意可得，解得．
8．B 若在上单调递增，则解得．若在上单调递减，则解得．故的取值范围是．
9．ABD 令，则，A正确．全称量词命题的否定是特称量词命题，B正确．是偶函数，C错误．令，则，D正确．
10．ACD 当时，不等式有解，符合题意．当时，得，则不等式有解，当时，由，解得．综上，的取值范围为．
11．AD 根据图象可得，因为，所以，则，得．将代入中，得，则，解得，因为，所以，A正确．令，得，B错误．，C错误，D正确．
12．ABC 作出的图象，如图所示．由图可知，，A正确．由对称性可得，所以，B正确．令，解得，令，解得4，则，则，因为函数在上单调递减，所以，则，C正确．，当且仅当时，等号成立，因为，所以，D错误．
13． 由得．
14．10 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，故的最大值为10．
15．6； 设圆心角，则，解得分米，所以分米，则此扇环形砖雕的面积为平方分米．
16． 设，则，即①，由得，则②，由①②可得，即，因为不恒为0，所以，所以，经验证，符合题意．
17．解：（1）原式
．
（2）
．
18．解：（1）由，得，
则，解得．
，
即，解得或，
故方程的解集为．
（2）因为是上的增函数，，
所以
解得，则不等式的解集为．
19．解：（1）因为，所以，
因为，所以，
，
，
所以．
（2）方法一．
因为，所以，则，
所以，
，
则．
方法二．
．
方法三．
，
解得或，
因为，所以，则，
故的值为．
20．解：（1）
，
根据题意可得，解得，
故．
（2），
，
所以当或时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，最大值为，
故在上的值域为．
21．解：（1）因为函数模型①是指数型函数，其增长速度较快，函数模型②的增长速度较为缓慢，所以根据表中数据，应选函数模型①更为恰当．
根据题意可得，当时，；当时，．
由解得
故该函数模型的解析式为．
（2）函数在其定义域内单调递增．
令，
得，又，所以，
故7月份，8月份，9月份这三个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内．
22．（1）解：因为为偶函数，所以，
得．
（2）解：不等式恒成立，即恒成立，因为，
所以，
令，当且仅当时，等号成立，
因为函数在上单调递增，
所以，
所以，即的取值范围为．
（3）证明：由，得，即，
设函数，则在上单调递增，因为，
，
所以，
设任意
，
因为，所以，即，
所以在上单调递增，则，
因为，
，
即．