2023-2024学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，，分别是，，的对边，下列不能确定为直角三角形的是( )
A. B. ：：：：
C. D.
2.下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
3.在下列各数，，，，，，相邻两个之间依次增加一个中，是无理数的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.如果点在第二象限，那么点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.下列命题中，逆命题是真命题的是( )
A. 两直线平行，内错角相等 B. 若，那么
C. 对顶角相等 D. 若，那么
6.如图，，且，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
7.若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为( )
A. B. C. D.
8.某班有人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差后来小亮进行了补测，成绩为分，关于该班人的测试成绩，下列说法正确的是( )
A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小
C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变
9.小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路在平路、上坡路和下坡路上，他踦车的速度分别为、、他骑车从家到学校需要分钟；骑车从学校回家需要分钟设小明从家到学校的平路有，上坡路有，则依题意所列的方程组是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点处停止，设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图所示，则当时，点应运动到( )
A. 处 B. 处 C. 处 D. 处
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.比较大小：______填“、、或”
12.如图，已知函数和的图象交于点，点的横坐标为，则关于，的方程组的解是______．
13.数轴上，两点之间的距离是，点在数轴上表示的数为，则点在数轴上表示的数为______．
14.如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯足将滑动______
15.如图，在中，，，，，点，分别在，边上，且，则的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：
；
．
17.本小题分
解下列方程组：
；
．
18.本小题分
如图，已知，求证：．
19.本小题分
某地受灾后，学校学生会向全校名学生发起了捐款倡议活动，全体学生都参与了捐款，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图中的值是______；
求本次调查获取的样本数据的平均数和中位数；
根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于元的学生人数．
20.本小题分
某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运吨，并且台型机器人和台型机器人每天共搬运货物吨．
求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
每台型机器人售价万元，每台型机器人售价万元，该公司采购，两种型号的机器人各若干台，费用恰好是万元，求该公司共有几种采购方案？，两种机器人分别采购了多少台？
21.本小题分
已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度移动，设运动的时间为秒．
______，边上的高 ______；
当为直角三角形时，求的值．
22.本小题分
【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得≌，我们称这种全等模型为“型全等”不需要证明
【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、，
直接写出 ______， ______；
在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为______；
如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式；
【拓展应用】如图，直线：分别交轴和轴于，两点，点在直线上，且点坐标为，点坐标为，连接，点为直线上一点，满足，请直接写出点的坐标：______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
所以能判断为直角三角形，
故A不符合题意；
因为：：：：，
设，，，
则
所以不能判断为直角三角形，
故B符合题意；
因为，
所以
所以能判断为直角三角形，
故C不符合题意；
因为，
所以
所以能判断为直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，直角三角形的定义计算判断即可．
本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理，直角三角形的定义即有一个角是直角的三角形是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，故原式错误，不符合题意；
B、，故原式错误，不符合题意；
C、，故原式错误，不符合题意；
D、，该选项正确．
故选：．
根据平方根的意义，立方根的意义即可求出答案．
本题考查平方根的意义，立方根的意义，解题的关键是正确理解平方根的意义，立方根的意义，本题属于基础题型．
3.【答案】
【解析】解：无理数有：，，相邻两个之间依次增加一个共个．
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数．
4.【答案】
【解析】解：在第二象限，
，，
，，
点在第三象限，
故选：．
根据点在第二象限，可得、的符号，进而可得，的符号，据此可判断其所在的象限．
此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
5.【答案】
【解析】解：、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
B、若，那么的逆命题是若，那么，是假命题，不符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
D、若，那么的逆命题是若，那么，是假命题，不符合题意；
故选：．
根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6.【答案】
【解析】解：在中，，
，
，，
，，
．
在中，，
．
故选：．
在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合各角间的关系，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数．
本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
得：，即，
，
．
故选：．
利用方程减去方程，得到，再利用整体代入法求解即可．
本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，掌握“利用整体未知数的方法解决问题”是解本题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据平均数，方差的定义计算即可．
【解答】
解：小亮的成绩和其他人的平均数相同，都是分，
该班人的测试成绩的平均分为分，方差变小，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：依据题意得，小明骑车在平路所需的时间为小时，上坡路所需的时间为，下坡路所需的时间为，
则上学共需时间为小时，放学回家共需的时间为小时，
分钟小时，分钟小时，
可列出方程组为．
故选：．
根据平路、上坡路、下坡路各需的时间与到校上学需要的时间、放学回家需要的时间建立等式关系即可．
本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解上坡路与下坡路的距离相等．
10.【答案】
【解析】解：点在上时，三角形面积增加，点在点时，三角形的面积最大，
故选：．
根据三角形的面积变化情况，可得在上时，三角形面积不变，可得答案．
本题考查了动点函数图象，利用三角型面积的变化确定的位置是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：，，
而，
．
故答案为：．
先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．
此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较次方的方法等．
12.【答案】
【解析】解：把代入，得出，
函数和的图象交于点，
即，同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于，的方程组的解是．
故答案为：．
由一次函数解析式求得交点的坐标为；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的联系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
13.【答案】或
【解析】解：，两点之间的距离是，点在数轴上表示的数为，
，或，
点在数轴上表示的数为或，
故答案为：或．
分点在点的两侧，分别列式计算即可．
本题考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，解题的关键是注意分情况讨论．
14.【答案】
【解析】解：梯子顶端距离墙角地距离为，
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为，
．
故答案为：．
利用勾股定理进行解答．先求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
15.【答案】
【解析】解：过点作，截取，连接，，过作，交的反向延长线于，则，
，
在和中，
，
≌，
，
的最小值，即为的长，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的最小值为．
过点作，截取，连接，，过作，交的反向延长线于，则，利用证明≌可求得的最小值即为的长，再结合等腰直角三角形的性质及勾股定理可求解．
本题主要考查全等三角形的性质与判定，线段的性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识的综合运用，判断的最小值即为的长是解题的关键．
16.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
利用完全平方公式和二次根式的除法法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17.【答案】解：，
由得 ，
把代入得：，
解得：
把代入得：，
；
，
整理得：
由得 ，
把代入得，
解得：，
把代入得：，
．
【解析】利用代入消元法解二元一次方程即可；
利用代入消元法解二元一次方程即可．
本题考查二元一次方程的解法，掌握代入消元法是解题的关键．
18.【答案】证明：，
，
，
，
，
．
【解析】先根据得出，故可得出，再由可知，据此可得出结论．
本题考查的是平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：本次接受随机抽样调查的学生有人，，所以图中的值是，
故答案为：，；
本次调查捐款元的有人，
所以本次调查获取的样本数据的平均数为：元；
本次调查获取的样本数据的中位数为：元；
，
答：估计该校本次活动捐款金额不少于元的学生有人．
用捐款元的人数除以其所占的百分比即可求出本次抽样调查的学生人数，然后用捐款元的人数除以总人数即可求出的值；
先求出本次调查捐款元的人数，再根据平均数和中位数的定义求解即可；
用本次活动捐款金额不少于元的学生人数除以调查的人数再乘以总人数计算即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数和利用样本估计总体等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
20.【答案】解：设每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物吨，根据题意得：，
解得：，
答：每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物吨；
设：种机器人采购台，种机器人采购台，根据题意得：
、为正整数，
当，时，总费用为万，
当，时，总费用为万．
答：该公司有两个购买方案，种机器人采购台，种机器人采购台或者种机器人采购台，种机器人采购台．
【解析】设每台型机器人每天搬运货物吨，根据“每台型机器人比每台型机器人每天多搬运吨，并且台型机器人和台型机器人每天共搬运货物吨”列方程组解答即可；
设：种机器人采购台，种机器人采购台，根据、为正整数解方程即可，
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，并列出对应的方程组，极值问题来利用函数的递增情况解决
21.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
，
，
故答案为：，；
由题意得：，
在中，为锐角，
当时，，
；
当时，如图，
则，
在中，，
在中，，
，
解得：；
综上所述，的值为或．
由勾股定理可得，再利用面积法即可求得边上的高；
由于为锐角，分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
本题是三角形综合题，考查了勾股定理，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
22.【答案】 或
【解析】解：对于，
令，则；令，则；
，，
，；
故答案为：，；
过点作轴交于点，
，
由型全等模型可得≌，
，，则，
点的坐标为；
故答案为：；
过点作交直线于点，过点作轴交于点，
，
，由型全等模型可得≌，
与轴的交点，，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
；
【拓展应用】解：点的坐标：或，
如图，当点在射线上时，过点作交直线于点，
，
，
过作轴垂线，分别过，作，，
，，
，
，
，
≌，
，，
即点坐标为，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
联立，
解得，
；
当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，将点、坐标代入得：
，
解得：，
，
联立方程组，
解得：，
，
综合上所述，点坐标为或．
故答案为：或．
求得，，即可求解；
过点作轴交于点，证明≌，据此即可求解；
过点作交直线于点，过点作轴交于点，证明≌，求得，利用待定系数法即可求解；
拓展应用：分当点在射线上和点在射线上时，两种情况讨论，利用“型全等”和待定系数法即可求解．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，分类讨论是解题的关键．
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