2023-2024学年广东省惠州市惠东县九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省惠州市惠东县九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是( )
A. B. C. D.
3.有一个摊位游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置，玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当摸到黑色的弹珠就能得到奖品，转盘和弹珠如下图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为( )
A. 不可能 B. 不太可能 C. 非常有可能 D. 一定可以
4.抛物线的对称轴是( )
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
5.关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
6.在半径为的圆中，的圆心角所对弧的弧长是( )
A. B. C. D.
7.顶点，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，在中，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9.第二十二届世界杯足球赛于年月日在卡塔尔举办开幕赛，为了迎接世界杯，某市举行了足球邀请赛，规定参赛的每两支球队之间比赛一场，共安排了场比赛设比赛组织者邀请了个队参赛，则下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图，抛物线的图象与轴交于，两点与轴交于点，对称轴为，则下列四个结论：；；时，；其中正确结论的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.杜牧清明诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是______填“必然”或“随机”事件．
12.一个圆锥形的烟囱帽的底面直径是，母线长是，则这个烟囱帽的侧面展开图的面积是______．
13.若为关于的一元二次方程的根，则的值为______．
14.如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度为______结果保留根号，参考数据：黄金分割数：
15.如图，在平行四边形中，已知，，，点是边上一动点点不与，重合，连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.解方程：．
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图三个顶点的坐标分别为，，请画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标．
18.本小题分
小明参加某超市的“翻牌抽奖”活动，如图，张背面完全相同的卡片，正面分别对应着四句“国是家，孝为先，善作魂，知礼仪”的讲文明树新风的宣传语．
如果随机翻张牌，那么翻到“孝为先”的概率为______．
如果四张卡片分别对应价值为，，，单位：元的件奖品如果小明随机翻张卡片，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，求小明两次所获奖品总值不低于元的概率？
19.本小题分
如图，将一块直角三角板绕着角的顶点顺时针旋转，使得点与延长线上的点重合，连接．
三角板旋转了______度，的形状是______；
求的度数；
若，求旋转过程中点经过的路程．
20.本小题分
如图，矩形中，经过点，且与边相切于点，过边上的点，且．
求证：与相切；
若，，求的长．
21.本小题分
某商店销售一款工艺品，每件成本为元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是元时，每月的销售量是件，而销售单价每降价元，每月可多销售件设这种工艺品每件降价元．
每件工艺品的实际利润为 元用含有的式子表示；
为达到每月销售这种工艺品的利润为元，且要求降价不超过元，那么每件工艺品应降价多少元？
22.本小题分
鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面如图和截面示意图如图，攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线水平距离与离地高度的鹰眼数据如表：
根据表中数据可得，当 ______时，达到最大值______；
求关于的函数解析式；
当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
23.本小题分
圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形．
如图，四边形为等邻边圆内接四边形，，，则 ______；
如图，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，求的长；
如图，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，是二元二次方程，故A不符合题意；
B、为常数且，是一元二次方程，故B不符合题意；
C、，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D、，是一元二次方程，故D符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的一般形式：形如为常数且，逐一判断即可解答．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：选项B、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3.【答案】
【解析】解：先旋转转盘的指针，指针箭头停在奇数的位置就可以获得一次摸球机会，而只有摸到黑弹珠才能获得奖品，这个游戏得到奖品的可能性很小，属于不确定事件中的可能事件，
故选：．
根据转盘知只有个奇数，而且袋子中个里只有个黑球，据此得出这个游戏得到奖品的可能性很小．
此题考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
4.【答案】
【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，对称轴为直线．
故选：．
把二次函数化为顶点式，根据对称轴为解答即可．
本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：根据题意有，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
求出方程判别式的值，判断其与的大小关系，再判断每个选项的说法正确与否即可．
本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的应用是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．
6.【答案】
【解析】解：弧长为：，
故选：．
弧长公式为，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．
本题考查的是弧长的计算，利用弧长公式计算求出弧长即可．
7.【答案】
【解析】解：顶点，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是，
故选：．
根据开口方向、形状与函数的图象相同，可知所求抛物线的二次项系数为，再根据顶点，即可写出相应的函数解析式．
本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是根据题目中的条件，可以写出相应的函数解析式．
8.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故选：．
根据题意可知，即可推出．
本题主要考查圆周角定理、垂径定理，关键在于求出．
9.【答案】
【解析】解：设比赛组织者邀请了个队参赛，
根据题意得：，
故D正确．
故选：．
根据题意参赛的每两个队之间比赛一场，每个球队需要比赛场，个队参赛需要参赛，但是两个球队不重复比赛，所以乘以，即可解得．
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据题意找出等量关系式．
10.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴相交于正半轴，
，
则，
即正确，
该二次函数的对称轴为：，
整理得：，
即正确，
抛物线对称轴为，点的坐标为：，
则点的坐标为：，
由图象可知：当时，，
即正确，
由图象可知，当时，函数值为，
把代入得：，
，
，
，
即正确，
故选：．
开口向下，，抛物线与轴交于负半轴，，，判断判断；根据对称轴为，即，判断；根据函数图象可以判断；时，由，得到，由于，得出可以判断．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，把握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，重点要理解抛物线的对称性．
11.【答案】随机
【解析】解：“清明时节雨纷纷”从数学的观点看，诗句中描述的事件是随机事件．
故答案为：随机．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：底面直径是，则底面周长，烟囱帽的侧面展开图的面积．
圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
13.【答案】
【解析】解：为关于的一元二次方程的根，
，
，
或，
．
故答案为：．
首先把代入一元二次方程中，可得，再把方程左边分解因式即可求出答案．
此题主要考查了一元二次方程的解根的意义，关键是正确把握一元二次方程的解根的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14.【答案】
【解析】解：点是弦靠近点的黄金分割点，，
，
线段的长度为，
故答案为：．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
，，，
则，，
，
在中，，
点与点关于直线对称，
，
点在以为圆心为半径的上，
当、、三点共线时最小，的最小值，
故答案为：．
过点作于，利用解直角三角形得，，，由勾股定理得，再由，可得点在以为圆心为半径的上，即当、、三点共线时最小，的最小值．
本题考查了圆的有关知识，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
16.【答案】解：
，
或，
解得，．
【解析】利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
17.【答案】解：如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为．
【解析】根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
本题考查中心对称，解答本题的关键是掌握中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分．
18.【答案】
【解析】解：如果随机翻张牌，那么翻到“孝当先”的概率为；
故答案为：；
画树状图如下：
由树状图可知共有种等可能结果，其中所获奖品总值不低于元的有种，
所获奖品总值不低于元的概率为．
由概率公式即可得出答案；
画树状图列出所有等可能结果，再从中确定所获奖品总值不低于元的结果数，利用概率公式计算可得．
此题考查了列举法与树状图法求概率以及概率公式，画出树状图是解题的关键．
19.【答案】 等腰三角形
【解析】解：旋转后与重合，，
，
三角板旋转了；
由旋转而成，
≌，
，是等腰三角形，
故答案为：；等腰三角形；
≌，
，
，
是等腰三角形，
；
由题可知，点经过的路程即为以点为圆心，长为半径的一段弧长，
在中，，，
，，
点走过的路径长
根据两角互补的性质求出的度数；根据图形旋转不变性的性质得出≌，故可得出，由此即可得出结论；
根据图形选旋转不变性的性质求出的度数，再由等腰三角形的性质即可得出的度数；
点经过的路程即为以点为圆心，长为半径的一段弧长，求出的长再结合旋转角，就可以求出．
本题考查了旋转的性质、直角三角形性质、勾股定理及弧长计算公式，解题的关键是确定旋转角的度数及对应点．
20.【答案】证明：连接，，，
，，
，，
与相切于，
，
，
，
，
又是的半径，
与相切；
解：过点作于，连接，
，
，
四边形是矩形，
，
又，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，，
四边形是矩形，
，
．
【解析】连接，，，根据等腰三角形的性质得出，，根据切线的性质可得，进而可证明，最后根据切线的判定即可证明；
过点作于，连接，根据垂径定理求出，，然后证明四边形、是矩形，则可求，，即可求解．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：元．
故答案为：
设每件工艺品应降价元，
依题意得，
解得：，不符合题意，舍去．
答：每件工艺品应降价元．
根据每件的售价进价即可求出结论；
设每件工艺品应降价元，，根据每月的销售利润每件的利润每月的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：由表格可知，时和时，相等，时，时，相等，
抛物线关于对称，时，达到最大值；
故答案为：，；
由知，抛物线关于对称，设，
把代入上述解析式，
，解得，
，
即；
不能防守成功，
理由如下：当时，，
，
这次守门员不能防守成功．
根据抛物线的对称轴可直接得出结论；
根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此可解答；
根据的值，求出，再与最大防守高度比较即可．
本题考查二次函数的实际应用，理解题意，掌握抛物线的性质是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：，
，
，
又，
，
，
故答案为：；
为直径，
，
又，，
由勾股定理得，，
四边形为等邻边圆内接四边形，
，
，
如图，过点作于，则，
又，
，
，
，
，
；
如图，连接、交于点，
，
于，且，
又为直径，
，
，
为中点，
，
又，直径，半径，
过点作于，
，，
，
，
，
，
，
的最大值为．
利用圆周角定理可得，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案；
首先利用勾股定理求出和、的长，过点作于，则，解即可；
连接、交于点，过点作于，利用三角函数表示出的长，进而得出，再根据三角形中位线定理可得的长，即可解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，三角函数，三角形中位线定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
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