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2024年中考数学模拟卷（德州专用）
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B B A A C C B B D C A
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13． 14．/0.5 15．
16．0.35 17． 18．/
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（8分）
【详解】（1）原式．.......（3分）
当时，原式．------------（4分）
（2）解二元一次方程组，得，------------（6分）
∵，
∴，
∴，
所以n的取值范围是．------------（8分）
（10分）
【详解】（1）解：甲组数据的第25和第26个数据均为81，
∴；
；
故答案为：，；------------（4分）
（2）因为，
∴A同学的排名更靠前；
故答案为：A；------------（6分）
（3）从优秀率和中位数两个方面比较，乙校均高于甲校，
∴乙学校的综合素质展示的水平更高；
故答案为：乙，从优秀率和中位数两个方面比较，乙校均高于甲校；------------（8分）
（4）（名）；
答：预估甲学校八年级有240名学生综合素质测评可以达到优秀．------------（10分）
21.（10分）
【详解】（1）证明：∵，平分，
∴，------------（1分）
∵是的半径，
∴是的切线；------------（3分）
（2）解：①连接，，，
∵为的直径，
∴，------------（4分）
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，------------（5分）
∵，，
∴，
∴，，
∴，------------（6分）
由垂径定理可得，
∴；------------（7分）
②∵，，
∴，
∴，
∴，------------（8分）
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，------------（9分）
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．------------（10分）
22.（12分）
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，A、C的坐标分别是，
∴，
∴点B的坐标为：；------------（2分）
（2）解：把点代入反比例函数得：，
∴反比例函数的解析式为：；------------（3分）
设直线的解析式为：，
把点代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，------------（5分）
解方程组
得：或 （不合题意，舍去），------------（7分）
∴点D的坐标为：，
即点D为的中点；------------（8分）
（3）解：如图，连接，
点D为的中点，
的面积平行四边形的面积，------------（10分）
∴四边形的面积平行四边形的面积的面积；
四边形的面积为．------------（12分）
23.（10分）
【详解】（1）解：设月均下降率为，
根据题意可得，------------（2分）
解得（不合题意，舍去），------------（4分）
所以，月均下降率为．------------（5分）
（2）设每件玩偶定价为元时，所获利润为元，
则．------------（7分）
当，最大，------------（9分）
所以，当每件玩偶定价为27元时，每天获得的利润最大．------------（10分）
24.（14分）
∵正方形，
∴，，------------（1分）
∵，
∴，即，------------（2分）
∵，，，
∴，
∴；------------（3分）
（2）解：如图2，过作于，过作于，
∴，------------（4分）
∵矩形，
∴，
∴四边形均为矩形，
∴，，------------（5分）
∵，
∴，即，------------（6分）
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；------------（7分）
（3）解：如图3，过作的延长线于，过作于，过作于，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴四边形是矩形，，------------（8分）
∵，
同理（2），，
∴，------------（9分）
∵为等边三角形，，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：；------------（10分）
（4）解：如图4，连接，，
由翻折的性质可知，，，，，
∴，
∴，即，------------（11分）
∵，，，
∴，
∴，
同理（2）可得，，即，
∴，------------（12分）
如图4，作关于的对称点，连接，，，
∴，，，
∴，------------（13分）
当三点共线时，最小，最小为，
由勾股定理得，，
∴的最小值为，------------（14分）
故答案为：．
25.（14分）
【详解】（1）解：将，的坐标代入抛物线的解析式，
得，
解得，
抛物线所对应的函数表达式为；------------（2分）
（2）解：设直线的表达式为，
将，的坐标代入得，，
解得，
所以直线的表达式为，------------（3分）
令，得，
∴；
在中，，
的周长为，------------（4分）
轴，
，
，，
，
，
则的周长，------------（5分）
设，，
轴，
，
解得，
，------------（7分）
，，
当时，有最大值为，------------（8分）
的周长最大值为，
，
点P的坐标为；------------（9分）
（3）解：顶点为P的抛物线的解析式为，------------（10分）
设，，
当四边形是平行四边形时，如图1，
根据平行四边形的对角线互相平分，得，
解得，------------（11分）
，
点M的坐标为；------------（12分）
当四边形是平行四边形时，如图2，
根据平行四边形的对角线互相平分，得，
解得，
，
点M的坐标为；------------（13分）
当四边形是平行四边形时，如图3，
根据平行四边形的对角线互相平分，得，
解得，
，
点M的坐标为；------------（14分）
符合条件的点M的坐标为或或．
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2024年中考数学模拟卷（德州专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
1．下列实数，，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：是无理数；是有理数；是有理数；是有理数；是有理数；是无理数；总共有2个无理数．
故选B．
2．剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】选项A，图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；
选项B，图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
选项C，图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
选项D，图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
3．下图是由一个正六棱柱和一个圆锥组成的几何体，它的主视图为（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【详解】解：从正面看到的平面图形如图所示：
，
故选：B．
4．在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格：
平均数 众数 中位数 方差
9.1 9.3 9.2 0.1
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不会发生变化的是（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【答案】A
【详解】解：去掉一个最高分和最低分对中位数没有影响，
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不会发生变化的是中位数，
故选：A．
5．将一把直尺和一块含角的直角三角板按如图所示摆放，则和的数量关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
故选：．
6．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
7．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线ABx轴，并分别交两条双曲线于A，B两点，若，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【答案】C
【详解】解：如图，设直线与轴交于点，
由反比例函数比例系数的几何意义可知，，，
∵，
∴，即．
故选：C．
8．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】解：，，
，
．
又绕A点逆时针旋转后得到，
，
．
故选：B．
9．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点是线段上一定点，点分别为直线和轴上的两个动点，当周长的最小值为6时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点，连接，连接交于，交轴于，如图：
，，
，此时周长最小为，
由得，，
，是等腰直角三角形，
、关于对称，
，
，
设，则
在中，
即
解得：（负值舍去）
即
故选：B．
10．如图，在中，，半径为的与相切于点，与交于点，连接，，．有下列结论：平分；；若，则；．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，设与的交点为，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴平分，故正确；
由得：，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
由上可知，平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，故正确，
综上可知，正确，
故选：．
11．已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于、两点在的右侧，下列结论：①；②当，一定有随的增大而增大；③点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为；④当四边形为平行四边形时， ，其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：点的坐标分别为和，
线段与轴的交点坐标为，
又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为，
，故①正确；
抛物线的顶点在线段上运动，开口向上，
只有当时，一定有随的增大而增大，故②错误；
若点的坐标最小值为，此时抛物线的对称轴直线为，
由抛物线的对称性可得此时点的横坐标为，则，
∵抛物线的形状不变，当抛物线的对称轴直线为，此时的横坐标为，
∴的横坐标的最大值为，故③正确；
令，则，设点的坐标分别为，
∴，，
∴，
∵顶点的纵坐标为，顶点的纵坐标公式为，
∴，即，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，解得，故④正确；
∴正确的是①③④，
故选：C．
12．如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：连接，过作于，当时，点在上，
在菱形中，，，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，点在上，
，
综上所述，当时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分，
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13．计算： ．
【答案】
【详解】解：
=
=
=．
故答案为：．
14．如图所示的电路图，同时闭合两个开关小灯泡不亮的概率是 ．
【答案】/0.5
【详解】解：由题意，可画树状图如下：
由树状图可得，共有种情况，其中同时闭合两个开关小灯泡不亮的有种，
∴同时闭合两个开关小灯泡不亮的概率是，
故答案为：．
15．如图，《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有株，根据题意可列分式方程为 .
【答案】
【详解】解：由题意可列方程：；
故答案为：．
16．学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发 h后两人相遇．
【答案】0.35
【详解】解：由题意和图象可得，小明0.5小时行驶了，
∴小明的速度为：，
小亮0.4小时行驶了，
∴小明的速度为：，
设两人出发后两人相遇，
∴
解得，
∴两人出发0.35后两人相遇，
故答案为：0.35
17．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为 ．
【答案】
【详解】解：关于的不等式组，整理可得：，
∵关于的不等式组有解集，
∴不等式组的解集为：，
∵关于的不等式组有且仅有4个整数解，
∴关于的不等式组的整数解为：、、，0，
∴，
解得：，
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
综上所述，m的取值范围为，
∴符合条件的整数m为3、4、5、6．
∴，
故答案为：
18．如图，在和中，，，，且点B，C，E在同一条直线上，与交于点F，连接、，若，．则的长为 ．
【答案】/
【详解】解：如图，分别过点A、D作，，则，
在和中，由，，可得：，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
分别解和，可得，，
∴，
又，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴，
∴，
解，
过点D作，
由于，，故可设，则，，，
由于，故得到，解得，
∴．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知关于x，y的二元一次方程的解满足，求m的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【详解】（1）原式．
当时，原式．
（2）解二元一次方程组，得，
∵，
∴，
∴，
所以n的取值范围是．
20．为了解甲、乙两所学校八年级学生综合素质整体情况，对两校八年级学生进行了综合素质展示测评，并分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： ）；
b．甲学校学生成绩在：这一组的是：
80 81 81 81 81 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．甲、乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
甲学校 乙学校
平均数 中位数 众数 优秀率 平均数 中位数 众数 优秀率
82 m 81 83.3 84 78 46%
根据以上信息，回答下列问题：
(1) ， ；
(2)甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是 （填“A”或“B”）；
(3)根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
(4)已知甲校八年级共有600名学生，预估甲学校八年级有多少学生综合素质测评可以达到优秀？
【答案】(1)；
(2)A
(3)乙，从优秀率和中位数两个方面比较，乙校均高于甲校
(4)240名
【详解】（1）解：甲组数据的第25和第26个数据均为81，
∴；
；
故答案为：，；
（2）因为，
∴A同学的排名更靠前；
故答案为：A；
（3）从优秀率和中位数两个方面比较，乙校均高于甲校，
∴乙学校的综合素质展示的水平更高；
故答案为：乙，从优秀率和中位数两个方面比较，乙校均高于甲校；
（4）（名）；
答：预估甲学校八年级有240名学生综合素质测评可以达到优秀．
21．如图，在中，，平分，交于点D，以为直径作，交于点E，交于点F，连接交于点G，连接交于点P，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求：
①的值；
②线段的长．
【答案】(1)见解析；
(2)①；②．
【详解】（1）证明：∵，平分，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：①连接，，，
∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
由垂径定理可得，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
22．如图，以平行四边形的顶点O为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是，过点A的反比例函数的图象交于D．
(1)点B的坐标为______．
(2)点D是的中点吗？请说明理由；
(3)连接，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)理由见解析
(3)四边形的面积为
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，A、C的坐标分别是，
∴，
∴点B的坐标为：；
（2）解：把点代入反比例函数得：，
∴反比例函数的解析式为：；
设直线的解析式为：，
把点代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
解方程组
得：或 （不合题意，舍去），
∴点D的坐标为：，
即点D为的中点；
（3）解：如图，连接，
点D为的中点，
的面积平行四边形的面积，
∴四边形的面积平行四边形的面积的面积；
四边形的面积为．
23．2023年7月28日至8月8日，世界大学生夏季运动会在成都举行，吉祥物蓉宝成为本次大运会的“显眼包”，某电商直播间在7月初以20元一件的成本价购进一大批蓉宝玩偶进行销售．
(1)据统计，7月份该直播间共销售蓉宝玩偶3750件，8月8日大运会闭幕后，蓉宝玩偶的销量呈下滑趋势，连续两个月销量下降后，9月份共计销售2400件，8月和9月这两个月销售量的月平均下降率是多少？
(2)十一国庆长假期间，该直播间决定利用降价促销的方式提高利润，每件玩偶定价30元，每天可销售80件，若单价每下降0.5元，每天可多售出10件，当每件玩偶定价为多少元时，每天获得的利润最大？
【答案】(1)月均下降率为
(2)当每件玩偶定价为27元时，每天获得的利润最大
【详解】（1）解：设月均下降率为，
根据题意可得，
解得（不合题意，舍去），
所以，月均下降率为．
（2）设每件玩偶定价为元时，所获利润为元，
则．
当，最大，
所以，当每件玩偶定价为27元时，每天获得的利润最大．
24．兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：
（1）【初探猜想】如图1，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由；
（2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上一点，点、分别是边、上一点，连接，，若，则=______；
（3）【知识迁移】如图3，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值；
（4）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上，将四边形沿翻折，点的对应点点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为______．（用、的代数式表示）
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）解：，理由如下：
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：如图2，过作于，过作于，
∴，
∵矩形，
∴，
∴四边形均为矩形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图3，过作的延长线于，过作于，过作于，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴四边形是矩形，，
∵，
同理（2），，
∴，
∵为等边三角形，，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：；
（4）解：如图4，连接，，
由翻折的性质可知，，，，，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
同理（2）可得，，即，
∴，
如图4，作关于的对称点，连接，，，
∴，，，
∴，
当三点共线时，最小，最小为，
由勾股定理得，，
∴的最小值为，
故答案为：．
25．如图，抛物线经过，，直线交x轴于点C，P是直线上方抛物线上的一个动点，，垂足为点D，轴，交直线于点E．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当的周长最大时，求点P的坐标及的周长最大值；
(3)将抛物线平移．使得新抛物线的顶点为（2）中的P点，M为新抛物线上的点，N为新抛物线对称轴上的点，若以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标．
【答案】(1)
(2)的周长最大值为，点P的坐标为
(3)或或
【详解】（1）解：将，的坐标代入抛物线的解析式，
得，
解得，
抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：设直线的表达式为，
将，的坐标代入得，，
解得，
所以直线的表达式为，
令，得，
∴；
在中，，
的周长为，
轴，
，
，，
，
，
则的周长，
设，，
轴，
，
解得，
，
，，
当时，有最大值为，
的周长最大值为，
，
点P的坐标为；
（3）解：顶点为P的抛物线的解析式为，
设，，
当四边形是平行四边形时，如图1，
根据平行四边形的对角线互相平分，得，
解得，
，
点M的坐标为；
当四边形是平行四边形时，如图2，
根据平行四边形的对角线互相平分，得，
解得，
，
点M的坐标为；
当四边形是平行四边形时，如图3，
根据平行四边形的对角线互相平分，得，
解得，
，
点M的坐标为；
符合条件的点M的坐标为或或．
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2024年中考数学模拟卷（德州专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
1．下列实数，，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
3．下图是由一个正六棱柱和一个圆锥组成的几何体，它的主视图为（ ）
B．C． D．
4．在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格：
平均数 众数 中位数 方差
9.1 9.3 9.2 0.1
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不会发生变化的是（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
5．将一把直尺和一块含角的直角三角板按如图所示摆放，则和的数量关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线ABx轴，并分别交两条双曲线于A，B两点，若，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
8．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
B． C． D．2
9．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点是线段上一定点，点分别为直线和轴上的两个动点，当周长的最小值为6时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，半径为的与相切于点，与交于点，连接，，．有下列结论：平分；；若，则；．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于、两点在的右侧，下列结论：①；②当，一定有随的增大而增大；③点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为；④当四边形为平行四边形时， ，其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第9题图 第10题图 第12题图
12．如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13．计算： ．
14．如图所示的电路图，同时闭合两个开关小灯泡不亮的概率是 ．
15．如图，《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有株，根据题意可列分式方程为 .
16．学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发 h后两人相遇．
第16题图 第18题图
若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为 ．
18．如图，在和中，，，，且点B，C，E在同一条直线上，与交于点F，连接、，若，．则的长为 ．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．(本题8分)（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知关于x，y的二元一次方程的解满足，求m的取值范围．
20．(本题10分) 为了解甲、乙两所学校八年级学生综合素质整体情况，对两校八年级学生进行了综合素质展示测评，并分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： ）；
b．甲学校学生成绩在：这一组的是：
80 81 81 81 81 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．甲、乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
甲学校 乙学校
平均数 中位数 众数 优秀率 平均数 中位数 众数 优秀率
82 m 81 83.3 84 78 46%
根据以上信息，回答下列问题：
(1) ， ；
(2)甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是 （填“A”或“B”）；
(3)根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
(4)已知甲校八年级共有600名学生，预估甲学校八年级有多少学生综合素质测评可以达到优秀？
21．(本题10分)如图，在中，，平分，交于点D，以为直径作，交于点E，交于点F，连接交于点G，连接交于点P，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求：
①的值；
②线段的长．
22．(本题12分)如图，以平行四边形的顶点O为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是，过点A的反比例函数的图象交于D．
(1)点B的坐标为______．
(2)点D是的中点吗？请说明理由；
(3)连接，求四边形的面积．
23．(本题10分)2023年7月28日至8月8日，世界大学生夏季运动会在成都举行，吉祥物蓉宝成为本次大运会的“显眼包”，某电商直播间在7月初以20元一件的成本价购进一大批蓉宝玩偶进行销售．
(1)据统计，7月份该直播间共销售蓉宝玩偶3750件，8月8日大运会闭幕后，蓉宝玩偶的销量呈下滑趋势，连续两个月销量下降后，9月份共计销售2400件，8月和9月这两个月销售量的月平均下降率是多少？
(2)十一国庆长假期间，该直播间决定利用降价促销的方式提高利润，每件玩偶定价30元，每天可销售80件，若单价每下降0.5元，每天可多售出10件，当每件玩偶定价为多少元时，每天获得的利润最大？
24．(本题14分)兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：
（1）【初探猜想】如图1，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由；
（2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上一点，点、分别是边、上一点，连接，，若，则=______；
（3）【知识迁移】如图3，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值；
（4）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上，将四边形沿翻折，点的对应点点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为______．（用、的代数式表示）
25．(本题14分)如图，抛物线经过，，直线交x轴于点C，P是直线上方抛物线上的一个动点，，垂足为点D，轴，交直线于点E．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当的周长最大时，求点P的坐标及的周长最大值；
(3)将抛物线平移．使得新抛物线的顶点为（2）中的P点，M为新抛物线上的点，N为新抛物线对称轴上的点，若以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标．
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