2023-2024学年重庆七中八年级（下）入学数学试卷(含解析）

2023-2024学年重庆七中八年级（下）入学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的算术平方根是( )
A. B. C. D.
2.在实数，，，中，属于无理数的是( )
A. B. C. D.
3.估算的值在( )
A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间
4.如图，边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？( )
A. B.
C. D.
5.长方形的面积是若一边长是，则另一边长是( )
A. B. C. D.
6.下列命题是真命题的是( )
A. 如果，那么 B. 如果两个角是同位角，那么这两个角相等
C. 相等的两个角是对顶角 D. 平行于同一条直线的两条直线平行
7.如图，在中，的垂直平分线分别交，于，两点，，的周长为，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知：，则，的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
9.如图，在中，，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
10.对于五个整式，：；：；：；：；：有以下几个结论：若为正整数，则多项式的值一定是正数；存在实数，，使得的值为；若关于的多项式为常数不含的一次项，则该多项式的值一定不小于；若，则上述结论中，正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹花有非常高的观赏价值，某品种的牡丹花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______．
12.因式分解： ______．
13.若分式的值为，则应满足的条件是______．
14.如图，在中，，平分，，，则的长为______．
15.若，，则的值为______．
16.如图，在等边中，，分别在边、上，满足，连接、交于点，则的度数为______．
17.若关于的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数的值为______．
18.如果一个自然数的各位数字均不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“吉祥数”如，和的十位数字相同，个位数字之和为，所以是“吉祥数”根据以上信息，最小的“吉祥数”是______；设，，若能被整除，则的最大值为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：
；
．
20.本小题分
计算：
；
．
21.本小题分
尺规作图并完成证明如图，点、点在外，连接、、，且，，．
用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，连接保留作图痕迹，不写作法；
根据中作图，求证：；请完善下面的证明过程．
证明：平分，
______．
，
______．
．
______．
在和中，
，( )
≌______
．
22.本小题分
先化简，然后从中选择一个合适的整数作为的值代入求值．
23.本小题分
为更好的引导学生，促进学生身心健康和全面发展，某校对全体学生进行了心理健康评估为了解学生的成绩分布情况，随机抽取了部分学生，对他们的成绩进行调查，并分为了四组：分表示大于等于同时小于，后续同样为组，分为组，分为组，分为组张老师根据调查的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图请根据以上信息，解答下列问题：
本次调查中随机抽取的学生总人数为______；
请通过计算补全频数分布直方图；
求扇形统计图中组所在扇形圆心角的度数．
24.本小题分
某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多元，已知用元购进的足球和用元购进的篮球数量相等．
篮球和足球的单价各是多少元？
若篮球售价为每个元，足球售价为每个元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多个，且获利超过元，问篮球最少要卖多少个？
25.本小题分
如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉的距离的长为现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．
求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长；
求喷泉到小路的最短距离．
26.本小题分
如图，已知等边，以为直角顶点向右作等腰直角，连接．
若，求点到边的距离；
如图，过点作的垂线，分别交，于点，，求证：：
如图，点，分别为线段，上一点，，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
的算术平方根是，
故选：．
依据算术平方根的定义求解即可．
本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，是整数，是分数，它们都不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
故选：．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
即原式的值在到之间，
故选：．
先把原式化成，再估算出，从而得出答案．
本题考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查的是平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．根据左图中阴影部分的面积是，右图中梯形的面积是，利用面积相等即可解答．
【解答】
解：左边阴影面积为
右边梯形面积为
所以
故选：．
5.【答案】
【解析】解：长方形的面积是，一边长是，
它的另一边长是：．
故选：．
直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：如果，那么，故原命题为假命题，该选项不符合题意；
B.两直线平行，同位角才相等，故原命题为假命题，该选项不符合题意；
C.相等的两个角不一定是对顶角，故原命题为假命题，该选项不符合题意；
D.平行于同一条直线的两条直线平行，正确，故为真命题，该选项符合题意．
故选：．
利用平方的定义、平行线的性质、对顶角的性质及平面内两直线的位置关系分别判断即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方的定义、平行线的性质、对顶角的性质及平面内两直线的位置关系等知识，难度不大．
7.【答案】
【解析】解：垂直平分，
，，
的周长为，
，
，
即，
的周长．
故选：．
先根据线段垂直平分线的性质得到，，然后利用的周长为和等线段代换得到，从而可计算出的周长．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，，
故选：．
由结合，即可得出、的值．
本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则．
9.【答案】
【解析】解：在中，，
在三角形中，，，
，
又，在三角形中，
．
故选：．
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可；
本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：，
当时，故错误；
当，
即，
，
当，时满足要求．故正确．
，
不含的一次项，
，
，
，故正确；
，
，
整理：，
即或，故错误，
综上，只有是正确的，即有个正确．
故选：．
根据整式的混合运算，及完全平方公式为非负的特点，结合特殊值代入法求解．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
12.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握利用提取公因式与公式法分解因式是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：分式的值为，
．
故答案为：．
根据分式的值为的条件进行解答即可．
本题考查的是分式的值为的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，
，，
，
，
，
平分，，，
．
故答案为：．
过点作，垂足为，根据三角形的面积公式可得，从而求出，然后利用角平分线的性质即可解答．
本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
，
又，
，
故答案为：．
由变形为，再将变形为，然后整体代入求值即可．
本题考查了完全平方公式，熟练掌握代数式的变形是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：为等边三角形，
，，
又，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
，
故答案为：．
先根据证得≌，得到，再利用外角的性质即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，证明≌得到是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：是一个完全平方式，
，
或．
分式方程的解是，是整数，
是的倍数，
又是原分式方程的增根，
，
，
故答案为：．
根据题意是一个完全平方式，得，求出的所有可能值；再根据分式方程的解为整数，确定的值即可．
本题考查分式方程的解和完全平方式，掌握分式方程的解法是本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：由题意可知，最小的“吉祥数”十位数字是，个位数字分别为和，
最小的“吉祥数”是；
设，则，
，，
能被整除，
，为整数，
，
是的倍数，
，
当时，有，
是的因数，
或，
当时，，，
当时，，，
的最大值为．
故答案为：．
由题意可知，最小的“吉祥数“十位数字是，个位数字分别为和，即，求解即可．
设的十位数为，个位数为，则为，根据能被整除求出的可能的值，再由的值求出的值即可得出答案．
本题考查了整式的运算，根据能被整除求出的可能的值是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先根据零指数幂、负整数指数幂的意义计算，然后把化简后合并即可；
先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
20.【答案】解：
；
．
【解析】利用积的乘方、同底数幂的乘除法法则计算即可；
利用单项式乘多项式法则、乘法的平方差公式计算即可．
本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则、运算顺序是解决本题的关键．
21.【答案】
【解析】解：图形如图所示：
证明：平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
故答案为：，，．
根据要求作出图形即可；
根据证明≌即可．
本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：，
，
，
，
，为整数，，，
或，
当时，原式．
【解析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
23.【答案】人
【解析】解：本次调查中随机抽取的学生总人数为人．
故答案为：人．
组的人数为人，
组的人数为人．
补全频数分布直方图如图所示．
扇形统计图中组所在扇形圆心角的度数为．
用频数分布直方图中组的人数除以扇形统计图中组的百分比可得本次调查中随机抽取的学生总人数．
求出组和组的人数，补全频数分布直方图即可．
用乘以组的人数所占的百分比可得答案．
本题考查频数率分布直方图、扇形统计图，能够读懂统计图是解答本题的关键．
24.【答案】解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：篮球的单价是元，足球的单价是元；
设篮球卖了个，则足球卖了个，
根据题意得：，
解得：，
又，均为正整数，
的最小值为．
答：篮球最少要卖个．
【解析】设足球的单价是元，则篮球的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进的足球和用元购进的篮球数量相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出足球的单价，再将其代入中，即可求出篮球的单价；
设篮球卖了个，则足球卖了个，利用总利润每个的销售利润销售数量，结合总利润超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：如图，过作于，
在中，，
，
在中，，
供水点到喷泉，需要铺设的管道总长；
，，，
，
是直角三角形，
，
喷泉到小路的最短距离是．
【解析】根据勾股定理解答即可；
根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可．
本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理的应用，关键是根据勾股定理、逆定理和垂线段解答．
26.【答案】解：过点作延长线于点，
是等边三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
即点到边的距离为；
证明：在上取，连接，，
是等边三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，，
，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
又，
≌，
，
；
解：过点作，且，连接，过点作于点，
，，，
≌，
，
，
当、、三点共线时，最小，
由知，，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
过点作于点，
则是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得，
．
【解析】过点作延长线于点，根据等边三角形性质求出，再根据等腰直角三角形求出，根据含角的直角三角性质求出即可；
在上取，连接，，证明≌，得，然后得证结论即可；
过点作，且，连接，过点作于点，证明≌，得，得出，得出当、、三点共线时，最小，然后求出此时的面积即可．
本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键．
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