32 提公因式法
第2课时 提公因式法（1）
学习目标：
1．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．
2．使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解．
3．培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．
重点：掌握用提公因式法把多项式因式分解，难点：正确地确定多项式的公因式．
学习过程：
一、快乐启航
1.什么叫做因式分解？
2.请写出一个因式分解的例子.
3.下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？
（1）2x2+4=2（x2+2）； （2）2t2－3t+1=（2t3－3t2+t）；
（3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2； （4）m（x+y）=mx+my.
二、我会自主学习
学一学：阅读教材P59-60
多项式中各项含有相同因式吗？，它们共有的因式是什么？请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由
议一议：1．多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？ 2．多项式4x2－x和xy2－yz－y呢？
【归纳总结】如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
选一选：
多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ ）
A．-6ab2c B．-ab2 C．-6ab2 D．-6a3b2c
填一填：在下列括号内填写适当的多项式
（1）（ ）
（2）（ ）
提问： 多项式4x2－8x6，16a3b2－4a3b2－8ab4各项的公因式是什么？
师生共识：提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式。
提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、二看字母．公因式的系数取各项系数的最大公因数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．
三、我会合作交流探究
例1：将下列各式因式分解：
（1） （2）
（3） （4）－24x3－12x2+28x.
例2：把－4x2yz－12xy2z+4xyz因式分解．
四、我会归纳总结
五、快乐摘星台：
1．下列各式的公因式为a的是 ( )
A.ax+ay+5 B.3ma－6ma2 C.4 a2 +10ab D.a2 －2a+ma
2.（2012·邵阳）把因式分解的最终结果是（ ）
A． B． C． D．
3.（2012·泉州）因式分解：= 。
4. (2013·温州分)因式分解：m2－5m= ．
5. P60练习 1、2、3
6.利用因式分解计算：
（1）32004－32003 （2）（－2）101+（－2）100
六、课外作业：
备用试题：1.说出下列多项式中各项的公因式
（1） （2）
（3）（m,n均为大于1的整数）
2. 用简便的方法计算：0.84×12+12×0.6－0.44×12．
3．把下列多项式因式分解
（1） （2）
（3）
P62习题A组1、2题（1）、（2）、（3）小题.
第3课时 提公因式法（2）
学习目标：
1.理解公因式的概念，会找出多项式的公因式，并能用提取公因式法因式分解.
2.初步形成观察、分析、概括的能力和逆向思维方法.
3.在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣.
重点：掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解.
学习过程：
一、创设问题情境，导入新课
1.什么叫做公因式？如何找公因式？
2.说出下列多项式各项的公因式
（1）2ax+4ay (2) 9x+6x +3x (3) 4a-6a
(4) 4xy-12xy (5) -5ax+15ax (6) –x+2x-3x
二、我会自主学习
学一学：阅读教材P60-61
学一学： 1.下列多项式中各项的公因式是什么？
（1）
（2）
(1)当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－”号时,余下的各项都变号。
(2)提取公因式要彻底；注意易犯的错误：①提取不尽②漏项③疏忽变号④只提取部分公因式，整个式子未成乘积形式.
2.试一试：
因式分解：①多项式2（a-b）2-（a-b） ②2(a-b)2 – a + b
③2（a-b）2-（b-a）3
【归纳总结】提取公因式的一般步骤：①确定应提取的公因式；②用公因式去除这个多项式,把所得的商作为另一个因式；③把多项式写成这两个因式的积的形式.
选一选：将多项式a（x-y）+2bx-2by分解因式，正确的结果是（ ）
A．（x-y）（-a+2b） B．（x-y）（a+2b）
C．（x-y）（a-2b） D．-（x-y）（a+2b）
填一填：（1）ma+mb+mc=m（________）； （2）3a2-6ab+a= （3a-6b+1）；
（3）–x – y = (x+y) （4）-15a2+5a=-5a( )；
三、我会合作探究
3. 把下列各式因式分解：
（1）a（x－y）+b（y－x） （2）6（m－n）3－12（n－m）2
（3） （4）
四、我会归纳总结
五、快乐摘星台
1.观察下列各式：①2x-y 和x-y ；②3a(x+y)和-x-y；③3(a-b)和2a-2b；
④3（a-b）和，其中有公因式的有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.把多项式（3x-4y）(7x-8y)+(11x-12y)(8y-7x)因式分解正确的是（ ）
A.8(7x-8y)(x-y) B. C.8(7x-8y) (y-x) D.
3.多项式的公因式是___________________________.
4. P62 练习
六、课外作业
习题3.2 P62 A 2（4）、（5）、（6）
B组 3、4题
备用试题
1.选择题
（1）多项式-2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于（ ）
A．2an-1 B．-2an C．-2an-1 D．-2an+
（2）下列因式分解不正确的是（ ）
A．-2ab2+4a2b=2ab（-b+2a） B．3m（a-b）-9n（b-a）=3（a-b）（m+3n）
C．-5ab+15a2bx+25ab3y=-5ab（-3ax-5b2y） D．3ay2-6ay-3a=3a（y2-2y-1）
（3）将多项式a（x-y）+2bx-2by分解因式，正确的结果是（ ）
A．（x-y）（-a+2b） B．（x-y）（a+2b）
C．（x-y）（a-2b） D．-（x-y）（a+2b）
2．把下列各式分解因式：
（1）（a+b）-（a+b）2； （2）x（x-y）+y（y-x）；
（3） （4）
32 提公因式法
第2课时 提公因式法（1）
教学目标：
1.知识与能力：
让学生了解公因式的意义，初步学会用提公因式法因式分解.
2.过程与方法
通过找公因式，培养学生的观察能力.
3.情感态度与价值观
在用提公因式法因式分解时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.
教学重点：
能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.
教学难点：
让学生识别多项式的公因式.
教学过程：
一、快乐启航
1.什么叫做因式分解？
2.请写出一个因式分解的例子.
3.下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？
（1）2x2+4=2（x2+2）； （2）2t2－3t+1=（2t3－3t2+t）；
（3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2； （4）m（x+y）=mx+my.
二、我会自主学习
4.矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接.
ma+mb+mc=m（a+b+c）
从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？
等式右边的项有什么特点？
等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是因式分解.
由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，
因此m叫做这个多项式的各项的公因式.
即：几个多项式的公共的因式它们的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法.
5.写出下列多项式各项的公因式.
（1）ma+mb （m）
（2）4kx－8ky （4k）
（3）5y3+20y2 （5y2）
（4）a2b－2ab2+ab （ab）
三、我会合作交流探究
6.例1： 将下列各式因式分解：
（1） （2）
（3） （4）－24x3－12x2+28x.
分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.
7.议一议：
①怎样找出多项式的公因式？总结出找公因式的一般步骤.
首先找各项系数绝对值的最大公因数；如8和12的最大公约数是4.
其次找各项中因式含有的相同的字母的最低次幂；如（3）中相同的字母有ab.
②想一想
从例1中能否看出提公因式法因式分解与单项式乘以多项式有什么关系？
提公因式法因分解式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.
8.试一试：
（1）把下列各式分解因式
①8x－72=8（x－9）
②a2b－5ab=ab（a－5）
③4m3－6m2=2m2（2m－3）
④a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）
⑤－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）
⑥－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1）
（2）把3x2－6xy+x分解因式
［生］解：3x2－6xy+x=x（3x－6y）
［师］大家同意他的做法吗？
［生］不同意.
改正：3x2－6xy+x=x（3x－6y+1）
［师］后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到1作为项的系数通常可以省略的影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确，所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是1，不能省略或漏掉.
在分解因式时应如何减少上述错误呢？
将x写成x·1,这样可知提出一个因式x后，另一个因式是1.
四、我会归纳总结
1.提公因式法分解因式的一般形式，如：ma+mb+mc=m（a+b+c）.
这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.
2.提公因式法因式分解，关键在于观察、发现多项式的公因式.
3.找公因式的一般步骤
（1）各项系数绝对值的最大公因数；
（2）因式中相同的字母的最低次幂.
4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.
5.公因式相差符号的，如（x－y）与（y－x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.
五、快乐摘星台：
1．下列各式的公因式为a的是 ( )
A.ax+ay+5 B.3ma－6ma2 C.4 a2 +10ab D.a2 －2a+ma
2.（2012·邵阳）把因式分解的最终结果是（ ）
A． B． C． D．
3.（2012·泉州）因式分解：= 。
4. (2013·温州分)因式分解：m2－5m= ．
5. P60练习 1、2、3
6.利用因式分解计算：
（1）32004－32003
（2）（－2）101+（－2）100
六、课外作业：
P62习题A组1、2题（1）、（2）、（3）小题.
第3课时 提公因式法（2）
教学目标：
1.知识与能力：
进一步让学生掌握用提公因式法进行因式分解的方法.
2.过程与方法
进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.
3.情感态度与价值观
通过观察能合理地进行因式分解的推导，并能清晰地阐述自己的观点.
教学重点：
能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地对多项式进行因式分解.
教学难点：
准确找出公因式，并能正确进行因式分解.
教学过程：
一、创设问题情境，导入新课
1.什么叫做公因式？如何找公因式？
2.说出下列多项式各项的公因式
（1）2ax+4ay (2) 9x+6x +3x (3) 4a-6a
(4) 4xy-12xy (5) -5ax+15ax (6) –x+2x-3x
［师］上节课我们学习了用提公因式法因式分解，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜.
二、我会自主学习
1.请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a=__________（a－2）；
（2）b+a=___________（a+b）；
（3）（b－a）2=_________（a－b）2；
（4）（y－x）3 =__________（x－y）3；
（5）－m－n=__________（m+n）；
（6）－s+t2=__________（s－t2）.
2.下列多项中各项的公因式是什么？
（1）x（x－2）－3（x－2） （2）x（x－2）－3（2－x）
（3） （4）
试一试：把上述多项式因式分解.
分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此.
［师］从因式分解的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？
生］不是，是两个多项式的乘积.
三、我会合作探究
3. 把下列各式因式分解：
（1）a（x－y）+b（y－x）;
（2）6（m－n）3－12（n－m）2
（3）
（4）
四、我会归纳总结
本节课进一步学习了用提公因式法因式分解，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的因式分解.
怎样确定多项式的公因式？ （1）各项系数绝对值的最大公因数；
（2）因式中相同的字母的最低次幂；
（3）因式中相同多项式的最低次幂.
五、快乐摘星台
1.观察下列各式：①2x-y 和x-y ；②3a(x+y)和-x-y；③3(a-b)和2a-2b；
④3（a-b）和，其中有公因式的有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.把多项式（3x-4y）(7x-8y)+(11x-12y)(8y-7x)因式分解正确的是（ ）
A.8(7x-8y)(x-y) B. C.8(7x-8y) (y-x) D.
3.多项式的公因式是___________________________.
4. P62 练习
六、课外作业
习题3.2 P62 A 2（4）、（5）、（6）
B组 3、4题
第4课时 提公因式法（复习）
教学目标：
复习提公因式法
教学重点：
1.运用提公因式法分解因式
2.理解因式分解的意义；公因式的确定。
教学过程：
一、学法点拔
运用提公因式法分解因式的关键是找到一个多项式各项都含有的因式，我们称之为公因式。然后根据乘法分配律的逆运算，把公因式提到括号外面，从而将多项式化为积的形式。
二、概念辩析题解
1.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. a (a –b)= a2 – a b B.a2–2 a+1= a(a–2)+1
C.x2–x = x ( x – 1) D.xy2 = xy (y)
答案：C A.是整式的乘法；B.右边不是整式的积的形式；D.的左边不是多项式.整式乘法的特征：积化和差式.因式分解的特征：和差式化积.
2. –6xyz+3xy2–9x2y的公因式是（ ）
A.–3x B. 3xz C.3yz D. –3xy
答案：D公因式确定的方法为：（1）系数取最大公因数；（2）同底数幂取最底次幂；（3）第一项为负数时连同负号一起提出.学生初学时易错点和易忽略点.
（一）易错点
1.因式分解的结果一定是整式的积的形式
例：x2+xy+1=x(x+y +)不是因式分解.因为它虽然是积的形式，但它不是整式的积的形式.
２.提取公因式以后，如果某项为“１”，易漏写.
例：２x2–x2y＋x = x (２x–xy＋1)，不能错写成x (２x–xy)
３.符号问题：
例：–6xyz+3xy2–9x2y＝–3xy（２z – y+3x），提出符号时，不要忘了里面的各项都要变号.
（二）易忽略点
1.分解要彻底，即分解因式时要分解到不能再分解为止.
例：x4–1= (x2+1)(x2–1) 就没有分解完；因为x2–1不还可以再分解为（x+1）(x–1)
2.提取公因式时要把公因式提尽.
例：4x2y+6xy2 = 2x(2xy+3y2)就不对，因为多项式中还有公因式y没有提出.
正确的结果应为4x2y+6xy2 = 2xy (2x+3y).
三、典型题精解
例1：把下列各多项式分解因式：
（1）–3x2–6x+12 （1） 解：–3x2–6x+12= –3 (x2+2x– 4)
（2）3x (x–2) – (2–x)
（2）解：3x (x–2) – (2–x) = 3x (x–2)+ (x–2)=(x–2)（3x+1）
点拔：例（１）中首项是负的，应先提出“–”号，使括号内第一项的符号变为正数，这样便于对多项式进行观察和分析，以便继续进行分解因式，同时保证后面的分解不会出现错误。例（2）是一个比较复杂的多项式，这里要树立整体思想，把（x–2）作为一个因式，而后面的–（2–x）则要用符号变换法则变为–［–（x–2）］，也就是＋(x–2).
例2.已知：x2+3x–2=0，求2x3+6x– 4x的值.
解∵x2+3x–2=0 ∴2x3+6x– 4x=2x（x2+3x–2）=2x.0 = 0
点拔：这是因式分解在求代数式值时应用的一个例子，这里提取公因式后；产生了x2+3x–2这样的一个因式，而这个式子的值为0，因而2x3+6x– 4x的值也为0，这里实际上渗透了整体代入的思想.
例3：已知关于x的多项式3x2–mx+n因式分解的结果为（3x+2）(x–1) 求m、n的值.
所考知识点：因式分解与整式乘法的逆变形，恒等式的性质.
解：由题意得：3x2–mx+n = （3x+2）(x–1)
即3x2–mx +n = 3x2–x–2
∴m=1 ；n= –2
点拔：这里运用的是对号入座方法，也就是类比法，得到对应项的系数相等.这种方法在已一个方程求两个末知数时常用，大家要学会这种思维方法.
例４.已知串联电路的电压U=IR1+ IR2+ IR3，当R1=12.9，R2=18.5， R3=18.6，I=2时，求出电路中U的值。
解：当R1=12.9，R2=18.5， R3=18.6，I=2时，
U=IR1+ IR2+ IR3=I（R1+ R2+ R3）
＝2（12.9＋18.5＋18.6）
＝2×50＝100
点拔：这里若分别示出2×12.9，2×18.5，2×18.6再相加较为复杂，提取公因式后进行计算则非常简捷.
作业：基础练习题：
一、选择题
1.以下各式中是因式分解的是 ( )
A.8a (a－b)=8a2－8ab B.a2 b+ab2+c=ab(a+b)+c
C.2a2－8=2(a+2)(a－2) D.a2－2ab+b2－1= (a－b)2－1
2.下面各式的因式分解中，正确的是 ( )
A.12xyz－9x2y2 =3xyz (4－3xy) B.3a2y－3ay+6y=3y (a2－a+2)
C.9xyz －6 x2y2= 3xyz (3－ 2xy) D.3a2x－6bx+3x=3x (a2－2b)
二、把下列各式分解因式
1.－20a－15ax 2 .－xy3 + x3y2
3. 6x (x－y)2+3 (y－x)3 4.P(x－y) －q (y－x)
5. 2a (b+c) －3 (b+c) 6 .(am+bm) + (a+b)
三、用简便方法计算：
1．21×3．14+62×3．14+17×3．14
2. 9×102002－102003
课件12张PPT。3.2 提公因式法
(第1课时）类比探究1、实例类比
（1）整数18，42，60的最大公因数是什么？18=6×342=6×760=6×106（2）多项式 z2+yz 中每一项的因式分别是什么？你发现什么？每一项中均有因式zZ2的因式是 z 和 z
yz的 因式是 y 和 z下列每个式子含字母的因式有哪些？
xy，xz，xw由此看出，xy, xz , wx有公共的因式 x ． 几个多项式的公共的因式称为它们的公因式．
如何把多项式xy+xz+xw因式分解？把乘法分配律从右到左地使用，便得出xy＋xz＋xw=x(y＋x＋w)xy的因式有x，y…
xz的因式有x，z…
xw的因式有x，w…
像上面那样，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫提公因式法． 即：把多项式各项的公因式提到括号外面 分解因式的方法，叫提公因式法.注意例1中括号内的第3项为1由于x = x · 1，因此x是x的因式．
由此看出，x是这个多项式各项的公因式．分析 第3项的因式有哪些？提公因式法分解因式步骤(分两步)：
第一步，找公因式
第二步，提公因式例2.把 因式分解.找出公因式
提取公因式得到 另一个因式
写成积的形式分析：先确定公因式的系数，再确定字母.系数为4和6，
最大公因数是2；两项的字母部分 与 都含有字母
，且 的最低次数是1，所以公因式为 .练习：分解因式：3x2-6xy+3x不能漏掉1解：原式=3x(x-2y+1)把 因式分解．公因式中含有哪些字母？它们的指数取多少？ 4xy2 是公因式，把 4xy2 提出后，括号内的各项是什么样子？公因式含的字母是各项中相同的字母x,y，它们的指数应当取它们在各项中次数最低的．分析 公因式的系数如何确定？是8与12的最大公因数4例3由于第1项可以写成
因此括号内的第1项为 2xy2解由于第2项可以写成
因此括号内的第2项为 －3z找多项式的公因式的方法（1）系数------各项系数的最大公因数（2）字母------各项相同字母；（3）指数------各项相同字母的最低次幂一看系数 二看字母 三看指数例4把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.解：原式==当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数。
提负号
要变号注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第
一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 再练习: 1、把-4x2+8ax+2x 分解因式
2、把-3ab + 6abx - 9aby分解因式3、确定公因式的方法：
一看系数 二看字母 三看指数
小结2、提公因式法分解因式步骤(分两步)：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式
1、什么叫因式分解？4、用提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽；
（2）小心漏掉（3）多项式的首项取正号练习：因式分解课件10张PPT。3.2提公因式法—— 第2课时请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a=__________（a－2）；
（2）y－x=__________（x－y）；
（3）b+a=__________（a+b）；
（4）（b－a）2=__________（a－b）2；
（5）－m－n=__________－（m+n）；
(6)(a-b)3 = ___(-a+b)3
下列多项式中各项的公因式是什么？ 把下列多项式因式分解：解：原式 分析： 第2项中的2－x可以写成 － (x-2) ，
于是x－2是各项的公因式．解：原式 （1）（2） 把 因式分解分析： 第2项中的 (b－a)2 可以写成 于是
(b－a)2 是各项的公因式解例2系数是－6含x,y指数都是1公因式中含有什么式子？含有x + y因此，－6xy(x+y) 是各项的公因式．解 把 因式分解．分析 ： 公因式的系数是多少? 公因式中含哪些字母因式？它们的指数各是多少？例3解： (1) a(m-6)+b(m-6)1.把下列各式进行因式分解：
(1) a(m-6)+b(m-6) (2) 3(a-b)+a(b-a)=(m-6)(a+b)解： (2) 3(a-b)+a(b-a)=3(a-b)-a(a-b)=(a-b)(3-a)2、把下列各式进行因式分解：
(1) 2(x-y)-(x-y)2
(2) 6(m-n)2+3(m-n)我会归纳小结：
本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.五、快乐摘星台
课本62页习题3.2A组和B组
A组每题3个星
B组每题4个星
