33 公式法
第4课时 公式法（1）
学习目标：
1.会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．
2.经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．
3.培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．
重点：利用平方差公式分解因式．
难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．
学习过程：
一、创设情境，导入新课
问题：看谁算得快？（投影出示问题） (1)若a=101，b=99，则
(2)能否把多项式因式分解？
二、我会自主学习
学一学：阅读教材P63-64
说一说：平方差公式：（a+b）（a－b）= a2－b2．
平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．
学一学：请同学们计算下列各式．
（1）（a+5）（a－5）； （2）（4m+3n）（4m－3n）．
想一想：如何把和 进行因式分解
例1：把下列各式分解因式 (1) (2)
【归纳总结】运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是因式分解时，每个因式都要分解彻底．
选一选：下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
填一填： （ ） （ ）
试一试：把下列各式因式分解：（投影显示或板书）
（1）x2－9y2； （2）m2（16x－y）+n2（y－16x）．
三、我会合作探究： 例2：因式分解：
（1） (2)
四、我会归纳总结
五、快乐摘星台
1.下列各式中，能用平方差公式分解的是 （ ）
A. m2+4 B. －x2+4 C. －x2－y2 D. x2－2x
2.下列各式不能用平方差公式分解因式的是 （ ）
A. B. C. D.
3.（2013·佛山）分解因式的结果是 ( )
A. B. C. D.
4.分解因式： .
5.（2013·绵阳）因式分解：= 。
六、课外作业
P66 练习 1、2、3、4题
备用试题：
选择题
（1）把多项式分解因式等于（ ）
A. B. C.m(a-2)(m-1) D.m(a-2)(m+1)
（2）分解因式得（ ）
A. B.
C. D.
2.填空题
（1）简便计算：
（2）因式分解
3.把下列多项式因式分解
（1） （2）
4.利用因式分解说明： 能被120整除.
第5课时 公式法（2）
学习目标：
1.领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．
2.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解
的基本步骤．
3.培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．
重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．难点：灵活地应用公式法进行因式分解．
学习过程：
一、创设问题情境，导入新课
说一说：完全平方公式：
二、我会自主学习
1.学一学：阅读教材P65-66
2.计算下列各式：
（1）（m－4n）2； （2）（m+4n）2；
（3）（a+b）2； （4）（a－b）2．
3.例1 因式分解：
（1） （2）（m+n）2－6（m +n）+9.
4.试一试：怎样把下列多项式因式分解?
（1）m2－8mn+16n2 （2）m2+8mn+16n2；
（3）a2+2ab+b2； （4）a2－2ab+b2．
【归纳总结】完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2．
多项式因式分解的公式，主要的有以下三个：
a2－b2=（a+b）（a－b）； a2±ab+b2=（a±b）2．
在运用公式因式分解时，要注意：（1）每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；
（2）在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解；
（3）当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，然后再运用公式分解．
三、我会合作探究：
5.例2 把下列各式因式分解：
（1） （2）
（3）
6.如果x2+axy+16y2是完全平方，求a的值．
【思路点拨】根据完全平方式的定义，解此题时应分两种情况，即两数和的平方或者两数差的平方，由此相应求出a的值。
7：已知x+y=7，xy=10，求下列各式的值．
（1）x2+y2； （2）（x－y）2
四、我会归纳总结
五、快乐摘星台
1.下列各式中不能用完全平方公式因式分解的是 （ ）
A. B. C. D.
2.（2013·张家界）下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A.x2+x+1 B.x2+2x－1 C.x2－1 D.x2－6x+9
3.因式分解2x2－4x+2的最终结果是 （ ）
A．2x（x﹣2） B．2（x2﹣2x+1） C．2（x﹣1）2 D.（2x﹣2）2
4. (2013·北京)分解因式：＝_________________
5. 写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.
分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a和b；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解.
六、课后作业
1. P66练习1、2
2. P66A组 1 P67 2、3题
备用试题:
1.选择题
（1） 下列各式是完全平方式的是（ ）
A. B. C. D.
（2）因式分解的结果是（ ）
A. B. C. D.
3.因式分解，提公因式法和运用公式法
（1） （2）
第6课时 十字相乘法(本课时根据情况选择)
学习目标：
1. 理解用十字相乘法对多项式进行因式分解.
2. 会用十字相乘法把形如x2＋px＋q的二次三项式分解因式。
3. 培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性和层次性渗。
重点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋px＋q的二次三项式分解因式。
学习过程：
一、创设问题情境，导入新课
1．计算：
（1） (x＋2)(x＋1) （2） (x＋2)(x－1) （3）(x－2)(x＋1)
（4） (x－2)(x－1) （5） (x＋2)(x＋3) （6）(x＋2)(x－3)
（7） (x－2)(x＋3) （8） (x－2)(x－3)
2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?
二、探索尝试
根据上面的公式试将下列多项式写成两个一次因式相乘的形式：
x2＋(2＋3)x＋2×3＝ ；x2＋(－1－2)x＋(－1)×(－2)＝ ；
x2＋(－1＋2)x＋(－1)×2＝ ；x2＋(1－2)x＋1×(－2)＝ .
由上面的分析可知形如x2＋px＋q的二次三项式，如果常数项q能分解为两个因数a、b的积，并且a＋b恰好等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2＋px＋q＝x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)
三、例1 把下列多项式因式分解
（1）x2－5x－6 （2）x2－5x＋6
（3）x2＋xy－12y2 （4）x4＋5x2－6
四、试一试：
（1）x2－7x＋6 （2）a2－4a－21
（3）t2－2t－8 （4）m2＋4m－12
（5）x2－13xy－36y2 （6）a2－ab－12b2
五、我会归纳总结：
对二次三项式x2＋px＋q进行因式分解，应重点掌握以下几点：
1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.
2．符号规律: 当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.
六、课外作业：
把下列多项式因式分解：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
七、思考：
1.请将下列多项式因式分解：
① ②
③
33 公式法
第5课时 公式法（1）
教学目标：
1.知识与能力：
（1）会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．
（2）经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．
（3）培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．
2.过程与方法
在导出平方差公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.
3.情感态度与价值观
通过综合运用提公因式法、平方差公式进行因式分解，进一步培养学生的观察和联想能力.
教学重点：
利用平方差公式因式分解．
教学难点：
让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法因式分解，领会因式分解的彻底性．
教学过程：
一、创设情境，导入新课
问题：看谁算得快？（投影出示问题） (1)若a=101，b=99，则
(2)能否把多项式因式分解？
二、我会自主学习
回顾：?因式分解与整式乘法的关系：
整式乘法
因式分解 说明：从左到右是因式分解，其特点是：由和差形式（多项式）转化
成整式的积的形式；从右到左是整式乘法，其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式），结论：因式分解与整式乘法正好相反.
像上述例子那样，把乘法公式从右到左使用，可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.
例1：把下列各式分解因式 (1)
(2)
三、我会合作探究： 例2：因式分解：
（1）
（2）
师：该题的思路是什么？
生：由因式分解的平方差公式得出.
师：明确公式中的a、b 在这儿分别代表什么？
解：（略）
试一试：把下列各式分解因式 （1）
（2）
分析：（1）的思路是把（m+n）、（m-n）分别看成一个整体，运用整体的思想。
（2）引导学生体会多项式中若有公因式，就要先提取公因式
P64 1~4
四、我会归纳总结
1.怎样用平方差公式对多项式进行因式分解？
①熟记好公式；②找出公式中、；③代入公式中.
2.因式分解的一般步骤是什么？
①首先提出公因式；②然后考虑运用公式法.
五、快乐摘星台
1.下列各式中，能用平方差公式分解的是 （ ）
A. m2+4 B. －x2+4 C. －x2－y2 D. x2－2x
2.下列各式不能用平方差公式分解因式的是 （ ）
A. B. C. D.
3.（2013·佛山）分解因式的结果是 ( )
A. B. C. D.
4.分解因式： .
5.（2013·绵阳）因式分解：= 。
六、课外作业
P66 练习 1、2、3、4题
第6课时 公式法（2）
教学目标：
1.知识与能力：
（1）领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．
（2）经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，
掌握因式分解的基本步骤.
（3）使学生学习多步骤，多方法的因式分解，形成灵活的应用能力．
2.过程与方法
通过完全平方公式及对其特点进行辨析，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.
3.情感态度与价值观
通过综合运用提公因式法、完全平方公式因式分解，进一步培养学生的观察和联想能力.
教学重点：
理解完全平方公式因式分解，并学会应用．
教学难点：
让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法因式分解.
教学过程：
一、创设问题情境，导入新课
［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？
在前面我们不仅学习了平方差公式
（a+b）（a－b）=a2－b2
而且还学习了完全平方公式
（a±b）2=a2±2ab+b2
本节课，我们就要学习用完全平方公式因式分解.
二、我会自主学习
1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.
［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？
［生］可以.
将完全平方公式倒写：
a2+2ab+b2=（a+b）2;
a2－2ab+b2=（a－b）2.
［师］左边的特点有：
（1）多项式是三项式；
（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.
右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.
用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法
练一练
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4;
（2）x2+4x+4y2;
（3）4a2+2ab+b2;
（4）a2－ab+b2;
（5）x2－6x－9;
（6）a2+a+0.25.
归纳：判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.
2.例1 因式分解：
（1）
（2）（m+n）2－6（m +n）+9.
［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.
三、我会合作探究：
3.例2 把下列各式因式分解：
（1）
（2）
（3）
［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.
四、我会归纳总结
这节课我们学习了用完全平方公式因式分解.它与平方差公式不同之处是：
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式因式分解.
五、快乐摘星台
1.下列各式中不能用完全平方公式因式分解的是 （ ）
A. B. C. D.
2.（2013·张家界）下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A.x2+x+1 B.x2+2x－1 C.x2－1 D.x2－6x+9
3.因式分解2x2－4x+2的最终结果是 （ ）
A．2x（x﹣2） B．2（x2﹣2x+1） C．2（x﹣1）2 D.（2x﹣2）2
4. (2013·北京)分解因式：＝_________________
5. 写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.
分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a和b；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解.
六、课后作业
1. P66练习1、2
2. P66A组 1 P67 2、3题
课件24张PPT。因式分解之平方差公式法知识回顾1、什么叫把多项式分解因式?把一个多项式表示成若干个多项式的积的形式，叫做多项式的因式分解.2、分解因式和整式乘法有何关系?多项式的因式分解与整式乘法互为逆运算.3、已学过哪一种分解因式的方法?提公因式法1、用提公因式法因式分解
(1) 2a+4b=
3a2-6ab=
6x2y3-9x3y2=
2、你能把多项式a2-b2因式分解吗？
(a+b)(a-b) = a2-b2a2-b2 =(a+b)(a-b)你能否总结出一种新的因式分解方法？(4)2a(z－y)－6b(y－z) .知识探索1、能否用提公因式的方法把多项式x2-25，9x2-y2分解因式?9x2-y2解：x2-25= x2 - 52=(x+5)(x-5)=(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y)利用平方差公式进行因式分解下列各式能否用平方差公式分解？如果能分解，分解成什么？如不能说明理由。
①x2+y2
② x2-y2
③ -x2+y2
④ -x2-y2平方差公式的特点：（1）两项的多项式（2）两项都是平方项或是
都能化为平方项。（3）两项的符号相反(一正一负）。中首是（ ）
尾是（ ）△2- 2=（△+ ）（△- ）首2-尾2=（首+尾）（首-尾）你对平方差公式认识有多深？a2-b2=(a+b)(a-b)(1) a2-1=( )2-( )2(2) x4y2-4= ( )2-( )2(3) 0.49x2-0.01y2=( )2-( )2(4) 0.0001-121x2=( )2-( )21、口答下列各题：2、能用平方差公式因式分解的多项式有何特征？知识探索①有且只有两个平方项；②两个平方项异号 (一正一负) ；1、下列哪些多项式可以用平方差公式分解因式？(1) 4x2+y2； (2) 4x2-(-y)2；
(3) -4x2-y2； (4) -4x2+y2；
(5) a2-4； (6) a2+32.课堂练习(1) 4x2+y2； (2) 4x2-(-y)2；
(3) -4x2-y2； (4) -4x2+y2；
(5) a2-4； （6） 例题1
因式分解
(1)25x2-4y2(1)25x2-y2( 2)36a2-49b2(3)-64+9m2(4)a2b2-c2练习 (3) (x+p)2 – (x+q)2.例题2(1)(x+2)2-y2(2)(x+m)2-(x+n)2练习2 例3 分解因式:
分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.练习3：分解因式
例3分解因式:
分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.★若多项式中有公因式,应先提取公因式,然后再进一步分解因式,直到不能分解为止.例题精讲把多项式2x3-8x分解因式.练习4：分解因式
1、x2y-4y
2、a3b-4b小结:
归纳：
（1） 先提公因式（有的话）；
（2） 利用公式（可以的话）；
（3） 分解因式时要分解到不能分解为止.
课堂练习2、把下列各式分解因式:(3) x2-4y2(1) m2-4(2) 4x2-25(4) x2y2-z2(5) (x+2)2-9(6) (x+a)2_(y-b)23、把多项式9(a+b)2-4(a-b)2分解因式.课堂练习4、把下列各式分解因式:(3) 9(m+n)2-(m-n)2(1) a4–b4=(2) (m2-3)2–1=(1)18a2-50(2)-3ax2+3ay4(3)(a+b)2-4a2课堂练习5、把下列各式分解因式:课堂小结1.平方差公式： a2-b2 = (a+b)(a-b)2.用平方差公式因式分解步骤：
一变、 二分解1.-25x2y2+100
2.4(a-b)2-9(2a+3b)2
3.(2a-b)2-9a2
4.(x2+3x)2-(x+1)2拓展训练1：因式分解1.10122-9882
2.73×1452-1052×73拓展训练2：利用因式分解计算
3. 9×1222-4×13321、设n为整数，你能说明(2n+1)2-25一定能被4整除吗？3、已知3a+b=10000，3a-b=0.0001， 求 b2-9a2 的值.补充练习课件23张PPT。公式法（2）完全平方公式法我们前面学习了利用平方差公式来分解因式即：a2-b2=(a+b)(a-b)例如：
4a2-9b2=(2a+3b)(2a-3b)回忆完全平方公式现在我们把这个公式反过来很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”我们把以上两个式子叫做完全平方式两个“项”的平方和加上（或减去）这两“项”的积的两倍判别下列各式是不是完全平方式?是是是是练一练练一练：按照完全平方公式填空：让我们大家一起来想!1、如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( )
(A )-3 (B)3 (C)-9 (D)9 D2、如果x2-Nx+9是一个完全平方式,那么N是( )
(A )-6 (B)6 (C) ±6 (D) ±9 C3. 代数式 加上一个单项式后，
可构成一个完全平方式，则这个单项式
是_____________（要求至少写 3 个）完全平方式的特点：1、必须是三项式；2、有两个“项”的平方； 3、有这两“项”积的2倍或-2倍。下列各式是不是完全平方式?是是是否是否请补上一项，使下列多项式成为完全平方式:我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平方公式分解因式例题1：把下列式子分解因式4x2+12xy+9y2请运用完全平方公式把下列各式分解因式：牛刀小试显身手例2:分解因式(5) (a+b)4-18(a+b)2+81例3，简便方法运算。我会归纳总结：1、是一个二次三项式;2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两倍或负两倍;3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解.完全平方式具有：快乐摘星台：1、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）
A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2
C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2
2、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ）
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2
C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
DC3、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）
A、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2
C、 D、
4、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ）
A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n
C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
DD5、把 分解因式得
（ ）
A、 B、
6、把 分解因式得
（ ）
A、 B、BA7、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A、6 B、±6
C、3 D、±3 BB9、把 分解因式得（ ）
A、 B、
C、 D、
10、计算 的结果是（ ）
A、 1 B、-1
C、 2 D、-2CA思考题:
1、多项式:
(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗?
2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：
X4+4x2+( )
