2023-2024学年福建省莆田市高一（上）期末数学试卷 (含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年福建省莆田市高一（上）期末数学试卷 (含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 50.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-01 08:30:30 | ||
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文档简介
2023-2024学年福建省莆田市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为，( )
A.
B.
C.
D.
2.已知，，，则( )
A. B. C. D.
3.函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
4.计算：( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知某种放射性元素在一升液体中的放射量单位：与时间单位：年近似满足关系式且已知当时，；当时，，则据此估计，这种放射性元素在一升液体中的放射量为时，大约为参考数据：( )
A. B. C. D.
7.已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列命题是真命题的有( )
A. 函数的值域为
B. 的定义域为
C. 函数的零点所在的区间是
D. 对于命题：，使得，则：，均有
11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
12.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则( )
A. 的最小正周期为
B. 关于点对称
C. 在是上单调递增
D. 若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的最小正周期为______．
14.已知，，则 ______．
15.已知，且，则的最小值为______．
16.已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
若，求；
若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，，且．
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数．
若对一切实数都成立，求的值；
已知，令，求在上的最小值．
20.本小题分
已知函数，且．
求的值及的定义域；
求不等式的解集．
21.本小题分
已知
求的最小正周期及单调递增区间；
时，恒成立，求实数的范围．
22.本小题分
已知函数．
求实数的值，使得为偶函数；
当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，点的纵坐标为，点的横坐标为，
由三角函数的定义可得，
故选A．
求出点的横坐标，利用三角函数的定义可得的值．
本题考查三角函数的定义，求得点的横坐标是关键．
2.【答案】
【解析】解：因为，且，
所以，
又，
而，即，
所以．
故选：．
利用指数函数与对数函数的单调性判断即可．
本题考查三个数大小比较的求法，是基础题，
3.【答案】
【解析】解：，在上单调递增，
在上单调递增．
若时，则，，，
则在上无零点．
，，，
，根据零点存在定理可知，
在上有零点．
故选：．
根据函数零点存在定理判断即可．
本题考查函数零点存在定理，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
利用诱导公式及两角差的余弦公式计算即可．
本题考查两角和与差的三角函数，属基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
利用同角三角函数商的关系化弦为切，即可求得的值．
【解答】
解：，
，解得．
故选C．
6.【答案】
【解析】解：由题知，，解得，，
所以，
由，得．
故选：．
根据已知列方程组先求出，的值，然后利用对数运算可得．
本题考查了函数模型的实际应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为命题“，”为假命题，
所以，命题“，”为真命题，
因为集合，集合
所以，当时，，此时成立，
当时，由“，”得恒成立，得，且，即，
综上，实数的取值范围为．
故选：．
由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可．
本题考查了存在量词命题和全称量词命题的真假关系，交集定义及运算，空集的定义，分类讨论的思想，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：将函数的图像先向右平移个单位长度，
得到函数的图像，
再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，
则，
又函数在上单调递增，
则，
即，
即，
又，
即的取值范围是．
故选：．
由三角函数图像的变换，结合三角函数的性质求解．
本题考查了三角函数图像的变换，重点考查了三角函数的性质，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：项，，故选项A正确；
项，，故选项B不正确；
项，，故选项C正确；
项，，故选项D不正确．
故选：．
利用指数幂和对数的运算法则即可求解．
本题考查指数运算，对数运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项，，
令，，则的开口向下，对称轴为，
所以当时，取得最大值为；
当时，取得最小值为，所以的值域为，选项正确．
对于选项，对于函数，
由，得，解得，
所以的定义域为，选项错误．
对于选项，在上单调递增，
，
所以函数的零点所在的区间是，选项正确．
对于选项，命题：，使得，
其否定是：，均有，选项错误．
故选：．
根据三角函数的值域、函数的定义域、零点存在性定理、存在量词命题的否定等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查三角函数的最值，函数的零点，命题的否定，函数的定义域的求法，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据函数的部分图象，
可得，可得，
再根据五点作图法，可得，解得，所以，
对于中，当，可得，
所以不是函数的对称中心，所以A错误；
对于中，当时，可得，即函数的最小值，
所以函数的图象关于直线对称，所以B正确；
对于中，当，可得，
根据余弦函数的性质，可得在函数在先减后增，所以不正确；
对于中，将函数该图象向右平移个单位，
可得的图象，所以D正确．
故选：．
根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为，结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，逐项判定，即可求解．
本题主要考查三角函数的图像和性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
因为关于轴对称，所以，即，，
又因为，所以，
A.对于，故A错误；
B.，故B错误；
，由，得，
所以当时，的单调递增区间为，又因为，
所以在上单调递增，故C正确；
，若函数在上存在最大值，由选项C可知，在上单调递增，且，即在时取得最大值，所以，即实数的取值范围为，故D正确．
故选：．
首先化简函数，再结合函数的性质求，并结合函数的性质，判断选项．
本题考查的知识要点：函数的关系式的平移变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由于函数的最小正周期为．
故答案为：．
由题意，利用正弦函数的周期性，得出结论．
本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
又因为，
所以，
故答案为：．
根据同角三角函数的基本关系、诱导公式求解．
本题考查了同角的三角函数关系、诱导公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值为．
故答案为：．
根据“”的代换，化简整理可得，然后根据基本不等式，求解即可得出答案．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：恰有两个不同的零点，等价于有两个不同的根，
也即函数与函数的图象有两个不同的交点，
当时，，此时函数为单调增函数，且，
当时，，函数为单调增函数，且，
所以当时，满足题意，
故答案为：．
将零点个数问题转为两个函数图象交点个数的问题，分别求出两段函数的值域以及单调性即可得的取值范围．
本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．
17.【答案】解：已知集合，．
当时，，，或
又，
；
因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集，
又．
或，
当时，，所以；
当时，，
所以；
当时，是的真子集；当时，也满足是的真子集，
综上所述：．
【解析】将代入集合求解，利用集合间的关系可求；
利用充要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
18.【答案】解：因为，，
所以，
则，，
又因为，，
所以，，
所以，
因为，
所以；
因为，，
所以．
【解析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解；
由二倍角公式，结合两角和与差的三角函数求解．
本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
19.【答案】解：因为，即，
而恒成立，
则，
所以的值为；
由已知有，
当时，，
当且仅当，即时取得最小值，
故在上的最小值为．
【解析】求出函数的最小值，使最小值大于等于，求出答案；
求出，利用基本不等式求出最值，得到答案．
本题考查函数的最值的求法及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
20.【答案】解：因为，
解得．
所以，
由题意可得，解得，
故的定义域为．
不等式等价于，
即，
由于在上单调递增，
则，解得，
故不等式的解集为．
【解析】根据题意，直接利用，即可求得参数的值，继而可求得函数的定义域；
变化不等式，利用函数的单调性列出不等式组，解出即可．
本题主要考查函数定义域及其求法，属于基础题．
21.【答案】解：
化解可得：．
的最小正周期，
由，
可得．
函数的单调递增区间为，
时，可得，
当时，函数取得最小值为：．
要使恒成立，则，即，
可得：．
故得实数的范围是．
【解析】利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期；将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出的最小值，即得到的取值范围．
本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．
22.【答案】解：由函数为上的偶函数，则，
即，
即，即恒成立，
所以；
解：由知，
可得，
令，因为函数在都是增函数，
所以函数在上为递增函数，则，
所以，
因为函数的对称轴为，所以函数在递增，
所以，当时，，
要使得，都有成立，则，
即实数的取值范围．
【解析】根据题意，结合，化简得到恒成立，即可求解；
根据题意，求得，令，结合指数函数的性质，求得，，结合二次函数的性质，即可求解．
本题考查了函数的奇偶性和恒成立问题，属于中档题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为，( )
A.
B.
C.
D.
2.已知，，，则( )
A. B. C. D.
3.函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
4.计算：( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知某种放射性元素在一升液体中的放射量单位：与时间单位：年近似满足关系式且已知当时，；当时，，则据此估计，这种放射性元素在一升液体中的放射量为时，大约为参考数据：( )
A. B. C. D.
7.已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列命题是真命题的有( )
A. 函数的值域为
B. 的定义域为
C. 函数的零点所在的区间是
D. 对于命题：，使得，则：，均有
11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
12.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则( )
A. 的最小正周期为
B. 关于点对称
C. 在是上单调递增
D. 若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的最小正周期为______．
14.已知，，则 ______．
15.已知，且，则的最小值为______．
16.已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
若，求；
若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，，且．
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数．
若对一切实数都成立，求的值；
已知，令，求在上的最小值．
20.本小题分
已知函数，且．
求的值及的定义域；
求不等式的解集．
21.本小题分
已知
求的最小正周期及单调递增区间；
时，恒成立，求实数的范围．
22.本小题分
已知函数．
求实数的值，使得为偶函数；
当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，点的纵坐标为，点的横坐标为，
由三角函数的定义可得，
故选A．
求出点的横坐标，利用三角函数的定义可得的值．
本题考查三角函数的定义，求得点的横坐标是关键．
2.【答案】
【解析】解：因为，且，
所以，
又，
而，即，
所以．
故选：．
利用指数函数与对数函数的单调性判断即可．
本题考查三个数大小比较的求法，是基础题，
3.【答案】
【解析】解：，在上单调递增，
在上单调递增．
若时，则，，，
则在上无零点．
，，，
，根据零点存在定理可知，
在上有零点．
故选：．
根据函数零点存在定理判断即可．
本题考查函数零点存在定理，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
利用诱导公式及两角差的余弦公式计算即可．
本题考查两角和与差的三角函数，属基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
利用同角三角函数商的关系化弦为切，即可求得的值．
【解答】
解：，
，解得．
故选C．
6.【答案】
【解析】解：由题知，，解得，，
所以，
由，得．
故选：．
根据已知列方程组先求出，的值，然后利用对数运算可得．
本题考查了函数模型的实际应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为命题“，”为假命题，
所以，命题“，”为真命题，
因为集合，集合
所以，当时，，此时成立，
当时，由“，”得恒成立，得，且，即，
综上，实数的取值范围为．
故选：．
由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可．
本题考查了存在量词命题和全称量词命题的真假关系，交集定义及运算，空集的定义，分类讨论的思想，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：将函数的图像先向右平移个单位长度，
得到函数的图像，
再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，
则，
又函数在上单调递增，
则，
即，
即，
又，
即的取值范围是．
故选：．
由三角函数图像的变换，结合三角函数的性质求解．
本题考查了三角函数图像的变换，重点考查了三角函数的性质，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：项，，故选项A正确；
项，，故选项B不正确；
项，，故选项C正确；
项，，故选项D不正确．
故选：．
利用指数幂和对数的运算法则即可求解．
本题考查指数运算，对数运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项，，
令，，则的开口向下，对称轴为，
所以当时，取得最大值为；
当时，取得最小值为，所以的值域为，选项正确．
对于选项，对于函数，
由，得，解得，
所以的定义域为，选项错误．
对于选项，在上单调递增，
，
所以函数的零点所在的区间是，选项正确．
对于选项，命题：，使得，
其否定是：，均有，选项错误．
故选：．
根据三角函数的值域、函数的定义域、零点存在性定理、存在量词命题的否定等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查三角函数的最值，函数的零点，命题的否定，函数的定义域的求法，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据函数的部分图象，
可得，可得，
再根据五点作图法，可得，解得，所以，
对于中，当，可得，
所以不是函数的对称中心，所以A错误；
对于中，当时，可得，即函数的最小值，
所以函数的图象关于直线对称，所以B正确；
对于中，当，可得，
根据余弦函数的性质，可得在函数在先减后增，所以不正确；
对于中，将函数该图象向右平移个单位，
可得的图象，所以D正确．
故选：．
根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为，结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，逐项判定，即可求解．
本题主要考查三角函数的图像和性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
因为关于轴对称，所以，即，，
又因为，所以，
A.对于，故A错误；
B.，故B错误；
，由，得，
所以当时，的单调递增区间为，又因为，
所以在上单调递增，故C正确；
，若函数在上存在最大值，由选项C可知，在上单调递增，且，即在时取得最大值，所以，即实数的取值范围为，故D正确．
故选：．
首先化简函数，再结合函数的性质求，并结合函数的性质，判断选项．
本题考查的知识要点：函数的关系式的平移变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由于函数的最小正周期为．
故答案为：．
由题意，利用正弦函数的周期性，得出结论．
本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
又因为，
所以，
故答案为：．
根据同角三角函数的基本关系、诱导公式求解．
本题考查了同角的三角函数关系、诱导公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值为．
故答案为：．
根据“”的代换，化简整理可得，然后根据基本不等式，求解即可得出答案．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：恰有两个不同的零点，等价于有两个不同的根，
也即函数与函数的图象有两个不同的交点，
当时，，此时函数为单调增函数，且，
当时，，函数为单调增函数，且，
所以当时，满足题意，
故答案为：．
将零点个数问题转为两个函数图象交点个数的问题，分别求出两段函数的值域以及单调性即可得的取值范围．
本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．
17.【答案】解：已知集合，．
当时，，，或
又，
；
因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集，
又．
或，
当时，，所以；
当时，，
所以；
当时，是的真子集；当时，也满足是的真子集，
综上所述：．
【解析】将代入集合求解，利用集合间的关系可求；
利用充要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
18.【答案】解：因为，，
所以，
则，，
又因为，，
所以，，
所以，
因为，
所以；
因为，，
所以．
【解析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解；
由二倍角公式，结合两角和与差的三角函数求解．
本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
19.【答案】解：因为，即，
而恒成立，
则，
所以的值为；
由已知有，
当时，，
当且仅当，即时取得最小值，
故在上的最小值为．
【解析】求出函数的最小值，使最小值大于等于，求出答案；
求出，利用基本不等式求出最值，得到答案．
本题考查函数的最值的求法及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
20.【答案】解：因为，
解得．
所以，
由题意可得，解得，
故的定义域为．
不等式等价于，
即，
由于在上单调递增，
则，解得，
故不等式的解集为．
【解析】根据题意，直接利用，即可求得参数的值，继而可求得函数的定义域；
变化不等式，利用函数的单调性列出不等式组，解出即可．
本题主要考查函数定义域及其求法，属于基础题．
21.【答案】解：
化解可得：．
的最小正周期，
由，
可得．
函数的单调递增区间为，
时，可得，
当时，函数取得最小值为：．
要使恒成立，则，即，
可得：．
故得实数的范围是．
【解析】利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期；将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出的最小值，即得到的取值范围．
本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．
22.【答案】解：由函数为上的偶函数，则，
即，
即，即恒成立，
所以；
解：由知，
可得，
令，因为函数在都是增函数，
所以函数在上为递增函数，则，
所以，
因为函数的对称轴为，所以函数在递增，
所以，当时，，
要使得，都有成立，则，
即实数的取值范围．
【解析】根据题意，结合，化简得到恒成立，即可求解；
根据题意，求得，令，结合指数函数的性质，求得，，结合二次函数的性质，即可求解．
本题考查了函数的奇偶性和恒成立问题，属于中档题．
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