2023-2024学年湖北省恩施州利川市第一中学高二（下）入学数学试卷(含解析）

2023-2024学年湖北省恩施州利川一中高二（下）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.“方程表示椭圆”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知等边三角形的边长为，则( )
A. B. C. D.
4.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，第四层有个球记第层球的个数为，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
5.连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，设“第次正面朝上”为事件，“第次反面朝上”为事件，“次朝上结果相同”为事件，有下列三个命题：
事件与事件相互独立；
事件与事件相互独立；
事件与事件相互独立．
以上命题中，正确的个数是( )
A. B. C. D.
6.在中，内角，，所对的边分别为，，，且若，外接圆的半径为，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知定义域为的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是( )
A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. D. 的一个周期为
8.已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为正实数，且，，，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在阳马中，侧棱底面，，，，则下列结论正确的有( )
A. 四面体是鳖臑 B. 阳马的体积为
C. 阳马的外接球表面积为 D. 到平面的距离为
11.若数列满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，在现代物理、准晶体结构化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用，则下列结论成立的是( )
A. B.
C. D.
12.已知点是曲线：上的动点，点是直线上的动点，点是坐标原点，则下列说法正确的有( )
A. 原点在曲线上
B. 曲线围成的图形的面积为
C. 过至多可以作出条直线与曲线相切
D. 满足到直线的距离为的点有个
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若函数的图象在内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数的最大值是______．
14.已知向量，满足，，则 ______．
15.已知、、、、为空间五个点，若、、两两垂直，且，，则点到平面的距离的最大值为______．
16.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为若直线且与双曲线交于，两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，向量，且．
求；
若的外接圆半径为，且，求的面积．
18.本小题分
某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在分钟内未分出胜负，则需进行点球大战点球大战规则如下：第一阶段，双方各派名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球若名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．
求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；
若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以：领先，求甲队第个球员需出场罚球的概率．
19.本小题分
已知递增的等差数列满足：，，，成等比数列．
求数列的通项公式；
记为数列的前项和，，求数列的前项和．
20.本小题分
椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为．
求椭圆的方程；
设直线过点，且与椭圆相交于，两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程．
21.本小题分
在四棱锥中，已知底面是直角梯形，，，平面平面，且，．
证明：平面平面．
是否存在实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
已知椭圆常数，点，，为坐标原点．
求椭圆离心率的取值范围；
若是椭圆上任意一点，，求的取值范围；
设，是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，得，
得的虚部为．
则复数的虚部是．
故选：．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：方程表示椭圆
则，解得且，
故“方程表示椭圆”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据已知条件，结合椭圆的定义，列出不等式组，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查椭圆的标准方程，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
直接利用向量的数量积公式求解即可．
本题主要考查向量的数量积公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可得，，，，，，，
则，
，则数列的前项和为．
故选：．
由题意可得，，由数列的恒等式和等差数列的求和公式，结合数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
本题考查等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：
正，正，正，反，反，正，反，反，
由题意得，，，
．
，事件，相互独立，故正确；
，事件，相互独立，故正确；
，事件，相互独立，故正确．
故选：．
列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可．
本题考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，得，
，，
外接圆的半径为，由正弦定理得，则，
，则，
，当且仅当时等号成立，
，即面积的最大值为．
故选：．
根据余弦定理求得，由正弦定理求得，结合三角形面积公式和基本不等式求出结果．
本题主要考查了余弦定理，基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意知是奇函数，即，，
即，即，
故的图象关于点对称，结论正确；
又是偶函数，故，，
即，故的图象关于直线对称，结论正确；
由以上可知，即，
所以，则，
故的一个周期为，结论正确；
由于，令，可得，，
而的图象关于直线对称，故，结论错误，
故选：．
根据是奇函数，可得，判断；根据是偶函数，推出，判断；继而可得，可判断；利用赋值法求得，根据对称性可判断．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性与周期性，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的性质，考查数形结合的思想方法，属于中档题．
作出椭圆的图象，设直线与相交于点，可得，通过观察的范围得到的取值范围．
【解答】
解：由题意作图如下：
点是的角平分线上的一点，且，
，设直线与相交于点，
点是的中点，又点是的中点，
，
，
．
的取值范围是．
故选D．
9.【答案】
【解析】解：对于，，
，
因为，
解得，当且仅当时取“”，
所以的最小值为，A错误；
对于，由，得当且仅当时取“”，B正确；
对于，当且仅当时，取“”，C错误；
对于，，
当且仅当时，取“”，D正确．
故选：．
根据基本不等式及“”代换即可判断各选项．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：设，，，由侧棱底面，，，，
可得，解得
即，，．
对于，由，，可得不是直角三角形，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，将阳马补形为长为，宽为，高为的长方体，
可知其外接球直径为，
故阳马的外接球半径，
表面积，故C错误；
对于，设到平面的距离为，
由，，
可得的面积为，
由等体积法，
可得，
解得，故D正确．
故选：．
根据鳖臑定义判断，根据锥体体积公式判断，通过补形确定阳马的外接球的直径，结合球的体积公式判断，利用等体积法求到平面的距离判断．
本题考查新定义的应用，四棱锥的外接球问题，分割补形法的应用，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：数列满足，
对于，由，，得，，，，，故A正确；
对于，，
所以，故B正确；
对于，由，，，，，，，得，故C正确；
对于，，
故说法错误，故D错误．
故选：．
根据已知条件及数列的项的定义，结合数列的前项和的定义即可求解．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于：将原点坐标代入，正确，故选项A正确；
对于：当，时，曲线：，
即，
即，表示圆心为，半径为的圆，
第一象限内曲线与坐标轴围成的图形的面积为，
根据对称性可知，总面积为：故选项B错误；
由函数图像知过至多可以作出条直线与曲线相切，故选项C正确；
原点到直线的距离为：满足到直线的距离为的点有，，共个，故选项D正确．
故选：．
分类讨论后，根据对称性画出函数图像，从而可以进一步求解．
本题考查了曲线与方程的关系，注意数形结合思想的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，
令，，解得，
令，，，得；
令，解得，
令，，得．
根据题意，得，解得，所以实数的最大值是．
故答案为：．
先化简解析式，根据三角函数对称轴和对称中心的知识和定义域列不等式，由此求得的取值范围．
本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，
，
所以．
故答案为：．
由向量模、数量积公式先求出，再由公式即可得解．
本题考查了向量模、数量积的相关运算，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由勾股定理知，，，
所以的面积，
设点到平面的距离为，
因为，
所以，即，解得，
由题意知，点的运动轨迹是以为球心，为半径的球面，
当平面时，点到平面的距离的最大值为．
故答案为：．
先利用等体积法求得点到平面的距离，再结合点的运动轨迹，可知点到平面的距离的最大值为．
本题考查空间中点到面距离的求法，熟练掌握利用等体积法求点到面的距离是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由双曲线方程为一条渐近线的倾斜角的正切值为，
得，解得，双曲线方程为．
设，，联立，
得，
．
由韦达定理得，．
，
．
，由题意知，此时．
直线方程为，恒经过的定点为．
故答案为：．
先根据渐近线的倾斜角算出，然后联立直线和双曲线方程，结合题目条件和韦达定理找到，的关系，从而得到定点．
本题考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：由已知，即，
由正弦定理得，即，
整理得，即，
又，
故；
因为，
所以，
则，即，
又，
所以．
因为的外接圆半径，
所以由正弦定理可得，
所以，
所以．
【解析】结合题意表示出，利用正弦定理将角化边，借助余弦定理化简即可；
结合第问及余弦的和角公式，得到，利用正弦定理化简得，求出的面积即可．
本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：设每一轮罚球中，甲队球员罚进点球的事件为，乙队球员罚进点球的概率为，
设每一轮罚球中，甲乙两队打成平局的事件为，
由题意每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种：甲乙均没有罚进点球或甲乙均罚进点球，
每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为：
．
甲队第个球员需出场罚球，则前四轮罚球中甲乙两队分差不能超过分，即四轮罚球结束时的比分可能为：或：或：，
比分为：的概率为：
，
比分为：的概率为：
，
比分为：的概率为：
，
甲队第个球员需出场罚球的概率．
【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是较难题．
每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种：甲乙均没有罚进点球或甲乙均罚进点球；
甲队第个球员需出场罚球，则前四轮罚球中甲乙两队分差不能超过分，即四轮罚球结束时的比分可能为：或：或：，由此能求出结果．
19.【答案】解：设，，
由题意得，即，，
解得，
．
由可得，
则，
可得：，
可得：，
设，
，
两式相减可得：
，
则，
，
．
【解析】根据题中条件列出方程组，解出即可；
错位相减后得到结果，再用错位相减法进行计算，即可求解．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意得：，解得，
则，
椭圆的方程为：；
由可知，，，
由题意可知直线斜率必存在，设直线：，设，，
联立，整理可得：，
，
，，
，
，
令，可得，
，
则，
又在单调递增，
当，即，即时，面积最大．
此时直线：．
【解析】根据椭圆几何性质求解即可；
设，，直线：，并联立直线和椭圆方程求出，，再将面积表达出即可利用求函数最值的方法求出直线．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，对勾函数的性质的应用，属于中档题．
21.【答案】解：取的中点，的中点，连接，，因为，
所以，又平面平面，所以平面，
所以，，两两垂直．
以为原点，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
证明：取的中点，连接因为，所以．
因为平面平面，，所以平面，从而．
又因为，所以平面，
则为平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
因为，
所以，取，得，
因为，
所以，所以平面平面．
因为平面就是平面，平面的一个法向量为．
因为，
所以．
设平面的法向量为，
所以，
取，得，
设平面与平面的夹角为，
所以，
化简得，解得或，
即存在实数或，使得平面与平面的夹角的余弦值为．
【解析】建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过证明法向量垂直即可证得；
求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式建立方程，求解即可．
本题考查面面垂直的证明，平面与平面所成角的应用，属于中档题．
22.【答案】解：由椭圆方程为，
则离心率，
又，
所以；
由已知得，即，
又点是椭圆上任意一点，
则，化简可得，
设，，，
则；
法一：由已知可得，即，
平方可得，
又，在椭圆上，
所以，，
所以，
化简可得，
设与的夹角为，
则，则，
所以的面积
，
故的面积为定值；
方法二：由已知，即，
当直线斜率不存在时，，，
则，
又在椭圆上，
则，所以，，
此时；
当直线斜率存在时，设直线的方程为：，
联立直线与椭圆，得，
则，
，，，
则，即，
所以
，
点到直线的距离，
所以，
所以的面积为定值．
【解析】根据离心率公式直接可得范围；
由，可得点坐标，代入椭圆方程可得，则设，，，可得；
方法一：由已知可得，平方可得，即，化简得，化简面积可得；
方法二：由已知，即，当直线斜率不存在时，计算可得；当直线斜率存在时，设直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示弦长，进而求得面积．
本题主要考查了椭圆性质的应用，还考查了直线与椭圆位置关系的应用，属于中档题．
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