2023-2024学年人教版数学八年级下册第十六章二次根式——五大题型总结训练（含解析）

第十六章 二次根式——五大题型总结
题型一 判断二次根式及求二次根式的值
1．下列各式中是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知是正整数，是整数，则的值可以是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
3．已知 ，则的值为（ ）
A．2 x 5 B．—2 C．5 2 x D．2
4．a是任意实数，下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知当时，代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
题型二 求二次根式的参数
6．已知是正整数，则满足条件的最大负整数m为（ ）
A．-10 B．-40 C．-90 D．-160
7．若，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＜3 C．x≤3 D．x＞3
8．若a、b为实数，且，则直线y＝axb不经过的象限是（　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．已知，那么a应满足什么条件 （　　）
A．a＞0 B．a≥0 C．a ＝0 D．a任何实数
10．已知，则x+y的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
11．已知是正偶数，则实数的最大值为（　　）
A． B． C． D．
12．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．15 D．45
13．若、为实数，且，则的值 (　　)
A．-2 B．1 C．2 D．-1
题型三 二次根式有意义的条件
14．若二次根式有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x＞ B．x≥ C．x≤ D．x≤5
15．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
16．等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
17．式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．且x≠1 B．x≠1 C． D．且x≠1
18．等式成立的条件是 （ ）
A．x≥1 B．x≥﹣1 C．﹣1≤x≤1 D．x≥1或x≤﹣1
19．要使有意义，则x的取值范围为( )
A．x≤0 B．x≥－1 C．x≥0 D．x≤－1
题型四 利用二次根式的性质化简
20．如果，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．化简x，正确的是（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
22．实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　）
A．7 B．-7 C． D．无法确定
23．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：① ； ②＝1；③＝－b．其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
24．计算的结果是
A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9
25．下列等式正确的是（　　）
A．（）2=3 B．=﹣3 C．=3 D．（﹣）2=﹣3
26．化简的结果为（　　）
A． B．30 C． D．30
题型五 复杂二次根式的化简
27．阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．
例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2
∴==+
请你仿照上例将下列各式化简
（1），（2）．
28．小明在解决问题：已知a＝，求2a2－8a＋1的值，他是这样提示与解答的：
因为a＝＝＝2－，
所以a－2＝－.
所以(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3.
所以a2－4a＝－1.
所以2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.
请你根据小明的提示过程，解决如下问题：
(1)计算： = － .
(2)计算：＋…＋；
(3)若a＝，求4a2－8a＋1的值．
29．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝(m±n)2开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵3+2＝1+2+2＝12+()2+2×1×＝(1+)2
∴；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：(1)；(2).
30．先化简，再求值：2a－，其中a＝小刚的解法如下：2a－＝2a－＝2a－(a－2)＝2a－a＋2＝a＋2，当a＝时，2a－＝＋2小刚的解法对吗？若不对，请改正．
参考答案
1.【答案】A
【提示】
根据二次根式的定义即可求出答案．
【详解】
解：A、符合二次根式的定义，故本选项正确；
B、是三次根式，故本选项错误；
C、﹣42＝﹣16＜0，无意义，故本选项错误；
D、﹣5＜0，无意义，故本选项错误；
故选：A．
2.【答案】D
【提示】
将选项代入逐一验证即可．
【详解】
A. 当时，，不是整数，故该选项错误；
B. 当时，，不是整数，故该选项错误；
C. 当时，，不是整数，故该选项错误；
D. 当时，，是整数，故该选项正确；
故选：D．
3.【答案】C
【提示】
结合1 x 2 ，根据绝对值和二次根式的进行计算，即可得到答案．
【详解】
因为1 x 2 ，所以== 5 2 x.故选择C．
4.【答案】C
【提示】
根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】
∵二次根式必须满足
∴只有②③④可以确定被开方数非负
一定是二次根式的个数是3个
故选C
5.【答案】C
【提示】
由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行提示运算即可.
【详解】
解：∵，
∴.
故选：C.
6.【答案】A
【解析】
依题意可得，-10m＞0且是完全平方数，因此可求得m＜0，所以满足条件的m的值为-10.
故选A.
7.【答案】C
【提示】
根据二次根式的非负性解答即可．
【详解】
∵，而，
∴，，解得：，
故选C．
8.【答案】D
【提示】
依据即可得到 进而得到直线不经过的象限是第四象限．
【详解】
解：∵
∴ 解得,
∴ ，
∴直线不经过的象限是第四象限．
故选：D．
9.【答案】B
【提示】
分别求出与的被开方数中a的取值范围即可得到答案.
【详解】
∵的被开方数a的取值范围是，的被开方数中a的取值范围是任意实数，
故a应满足的条件是，
故选：B.
10.【答案】C
【提示】
根据非负数的性质可得关于x、y的方程，解方程即可求出x、y的值，然后代入所求式子计算即可．
【详解】
解：∵，，，
∴1－x=0，2－y=0，解得：x=1，y=2，∴x+y=3．
故选：C．
11.【答案】C
【提示】
如果实数n取最大值，那么12－n有最小值，又知是正偶数，而最小的正偶数是2，则＝2，从而得出结果．
【详解】
解：当等于最小的正偶数2时，
n取最大值,则n＝8，
故选：C
12.【答案】B
【提示】
由题意可知45n是一个完全平方数，从而可求得答案．
【详解】
解：，
∵n是正整数，也是一个正整数，
∴n的最小值为5．
故选：B．
13.【答案】D
【提示】
根据非负数的性质可求出x、y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可．
【详解】
解：∵，
∴x+2=0，y－2=0，
∴x=﹣2，y=2，
∴．
故选：D．
14.【答案】B
【提示】
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】
解：由题意得，5x﹣1≥0，
解得，x≥，
故选B．
15.【答案】A
【解析】
试题解析：由，得
，
解得．
2xy=2×2.5×（-3）=-15，
故选A．
16.【答案】B
【提示】
根据二次根式有意义的条件即可求出的范围．
【详解】
由题意可知： ,
解得：,
故选．
17.【答案】A
【详解】
根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且．故选A．
18.【答案】A
【详解】
∵等式成立，
∴ ，解得
故选A.
名师点拨：成立的条件是：且.
19.【答案】B
【提示】
根据二次根式有意义有条件进行求解即可.
【详解】
要使有意义，则被开方数要为非负数，
即，
∴，
故选B.
20.【答案】B
【解析】
试题提示：根据二次根式的性质1可知：，即故答案为B. .
21.【答案】C
【解析】
根据二次根式有意义的条件可知﹣＞0，求得x＜0，然后根据二次根式的化简，可得x =﹣ =﹣.
故选C．
22.【答案】A
【提示】
先根据点a在数轴上的位置判断出及的符号，再把原式进行化简即可．
【详解】
解：∵由图可知，5＜a＜10，
∴，，
∴原式，
故选：A．
23.【答案】D
【提示】
先根据ab＞0，a＋b＜0，判断出a、b的符号，再逐个式子提示即可.
【详解】
∵ab＞0，a＋b＜0，
∴a<0，b<0，
∴无意义，故①不正确；
，故②正确
，故③正确.
故选D.
24.【答案】B
【提示】
利用二次根式的性质进行化简即可.
【详解】
=|﹣3|=3.
故选B.
25.【答案】A
【详解】
提示：根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．
详解：（）2=3，A正确；
=3，B错误；
=，C错误；
（-）2=3，D错误；
故选A．
26.【答案】C
【解析】
先把根号里因式通分，然后分母有理化，可得==，
故选C．
27.【答案】（1）1+；（2）.
【提示】
参照范例中的方法进行解答即可.
【详解】
解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴.
28.【答案】(1) ，1；(2) 9；(3) 5
【提示】
（1）；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解；
（3）首先化简，然后把所求的式子化成代入求解即可.
【详解】
(1)计算： ；
(2)原式；
(3)，
则原式，
当时，原式.
29.【答案】(1)；(2) 2-.
【提示】
（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【详解】
(1)∵5+2＝3+2+2
＝()2+()2+2××
＝(+)2，
∴；
(2)∵7﹣4＝4+3﹣4＝22+()2﹣2×2×
＝(2﹣)2，
∴．
30.【答案】不对，改正见解析.
【详解】
解：不对．
= ．
当a＝时，a－2＝－2＜0，
∴原式＝2a＋a－2＝3a－2＝3－2