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第16章《二次根式》单元复习导学案
学习目标·导思
1.理解二次根式的定义及其性质，并利用它们进行计算和化简．
2.通过对二次根式的概念和性质的理解，运用它们进行二次根式的四则运算，运用公式，严谨解题.
学习重点与难点
重点：二次根式的定义及其性质.
难点：二次根式定义及其性质的运用.
学法指导
通过观察、动手操作领悟二次根式的性质，同伴合作能利用二次根式的性质解答有关问题.
学习过程
一、课前预习·导学
二次根式的性质1、2、3、4.
二、课内学习、合作探究：
探究1：形如＿＿（a≥0）的式子叫做二次根式. 在二次根式中，字母a必须满足___________，即被开方数必须是＿＿＿＿＿.
【答案】；a≥0；非负数
练一练1：
1．下列各根式中，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是先化简二次根式，再看被开方数是否相同，被开方数相同的是同类二次根式．
【详解】解：A、，与是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、，与是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故此选项符合题意；
D、与是同类二次根式，故此选项不符合题意，
故选：C．
2．若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据可得，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选C．
探究2：() ＝a（a≥0）.即非负数的算术平方根的平方等于＿＿＿＿.
【答案】它本身
练一练2：
下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D错误．
故选：B．
探究3：二次根式的性质2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
【答案】性质2：
练一练3：
先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的混合运算，二次根式的运算；
利用完全平方公式和整式乘法的法则展开，然后合并同类项可得最简结果，再代入求值即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
探究4：
算术平方根的积等于____________________________________积的算术平方根.
积的算术平方根等于____________________________________的算术平方根.
【答案】各个被开方数；各因数
练一练4：
计算：
(1)； (2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可
【详解】（1）原式
；
（2）原式
探究5：
两个二次根式相除，等于把＿＿＿＿＿＿，作为商的被开方数.
商的算术平方根等于＿＿＿＿＿＿＿除以＿＿＿＿＿＿＿的商.
【答案】被开方数；被除式的算术平方根，除式的算术平方根
练一练5：
计算：
（1） (2)
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据二次根式的除法计算，然后化简二次根式即可得到答案；
（2）首先根据二次根式的性质化简，然后再利用二次根式的除法法则和合并同类项法则进行计算即可
【详解】（1）；
（2）原式
探究6：
分母有理化：二次根式的除法运算，通常采用分子、分母同乘以一个式子化去＿＿＿＿＿＿的方法来进行，这种把＿＿＿＿＿＿＿化去的变形，叫做分母有理化.
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积＿＿＿＿＿＿＿，就说这两个代数式互为有理化因式.
【答案】分母中的根号；分母中的根号；不含有二次根式
练一练6：
1.下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式：“被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．”进行判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式；
B、，是最简二次根式；
C、，不是最简二次根式；
D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式．
故选B．
2.若与最简二次根式是同类二次根式，则 .
【答案】4
【分析】此题考查了同类二次根式的概念，解答本题的关键是掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点．根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可得出答案．
【详解】解：∵，
又∵是最简二次根式，
∴根据同类二次根式的性质有：，
解得：，
故答案为：4．
探究7：
化简二次根式的条件：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
化简二次根式的方法：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
【答案】条件：（1）被开方数不含分母
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
方法：（1）把被开方数分解因式（或因数）
将被开方数中开得尽方的因数（式）用它的正平方根代替后移到根号外面
将被开方数中的分母化去
探究8：
二次根式大小的比较：（1）_____________________；（2）_______________________；（3）平方法；（4）移动因式法.
【答案】（1）作商法 （2）分子有理化法
练一练7：
设的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查无理数的估算、二次根式的乘法运算、代数式求值，正确得出无理数的整数部分和小数部分是解答的关键．本题先求解，，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为，小数部分为，
∴，
故选：A．
探究9：
同类二次根式的定义：
几个二次根式化成_____________________以后，如果_______________________相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
【答案】最简二次根式，被开方数相同
探究10：
二次根式加减运算的一般步骤：
（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
【答案】（1）化简：把各二次根式化成最简二次根式
判断：选出同类二次根式
合并：把被开方数相同的进行合并
练一练8：
计算：
【答案】(1)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、完全平方公式等知识点，灵活运用二次根式的性质化简是解题的关键
（1）先根据二次根式的性质化简、然后去括号、最后合并同类二次根式即可解答；
（2）先根据二次根式除法法则、完全平方公式计算，然后合并同类二次根式即可解答．
【详解】解：
．
探究11：
二次根式混合运算的一般步骤：
二次根式混合运算顺序和有理数（式）的运算顺序相同，即先算＿＿＿＿，再算＿＿＿，最后算＿＿＿＿，有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
【答案】乘方，乘除，加减，括号的先算括号内的
练一练9：
计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、完全平方公式等知识点，灵活运用二次根式的性质化简是解题的关键
（1）先根据二次根式的性质化简、然后去括号、最后合并同类二次根式即可解答；
（2）先根据二次根式除法法则、完全平方公式计算，然后合并同类二次根式即可解答．
【详解】解：
．
【典型例题讲解】
利用二次根式有意义的条件，求字母的取值范围.
例 1 ：当x取何值时，下列各式有意义？
（1） （2） （3） （4）
解：（1）当5－2x≥0，即x≤时，有意义；
（2）∵不论x取何值时，(3x－1)2≥0，∴当x为任意实数时，有意义；
（3）∵由x+3≥0，且1－2x≥0,得－3≤x≤,
∴当－3≤x≤时, 有意义；
（4）∵由 得：x≥－4，且x≠2，
∴当x≥－4，且x≠2时，有意义.
2.利用二次根式的非负性化简或计算.
例 2 ：已知与互为相反数，求(x－y) 的平方根.
解：∵与互为相反数，
∴(x－y+3)+(x+y－1)＝0
∴x＝－1，y＝2，
∴(x－y) ＝9，
∴(x－y) 的平方根为±3，
3.利用二次根式的性质 1 分解因式.
例 3 ：在实数范围内分解因式：
（1） x －7 （2） 4x －3x （3）x －2x＋5
解：原式＝－ 原式＝x(4x2－3) 原式＝x2－2+()2
＝(x+)(x－) ＝x(2x+)(2x－) ＝(x－)2
4.巧用二次根式乘除法公式简化计算过程.
例 4 ：计算
（1）× （2）×
解：原式＝(×8×) 原式＝(1÷3×)
＝× ＝×2
＝2 ＝
5.利用二次根式的概念求值.
例 5 ：已知和是同类二次根式，求m、n的值.
解：∵和是同类二次根式，
∴ ，
解得： ，
∴m、n的值分别为5，2.
达标练习
1. 计算：(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，在运算过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待，结果化为最简二次根式．也考查了二次根式的性质，完全平方公式和平方差公式．掌握二次根式的运算法则、性质和乘法公式是解题的关键．
（1）运用二次根式的乘法运算，然后合并即可；
（2）先用完全平方公式和二次根式的约分，然后再进行加减运算．
【详解】（1）解：
（2）解：
2.当，，求代数式的值．
【答案】31
【分析】本题考查了求代数式的值，由已知条件可得，，将代数式化为，然后代入运算即可求解；掌握整体代换法求代数式的值是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
原式
．
拓展练习
规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：
(1) ，的小数部分为 ；
(2)若a，b分别是的整数部分和小数部分，求a，b的值．
(3)求 （直接写出结果）
【答案】(1)3，
(2)，
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，正确进行无理数的大小的估算是解题的关键．
（1）估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分；
（2）根据二次根式的混合运算化简，估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分．
（3）根据（2）将a、b的值代入求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴的小数部分为，
故答案为：3，；
（2），
∵，
∴，
∴，．
（3）．
学习反思
通过对本章内容的复习，你有何感悟？还有哪些困惑？
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第16章《二次根式》单元复习导学案
学习目标·导思
1.理解二次根式的定义及其性质，并利用它们进行计算和化简．
2.通过对二次根式的概念和性质的理解，运用它们进行二次根式的四则运算，运用公式，严谨解题.
学习重点与难点
重点：二次根式的定义及其性质.
难点：二次根式定义及其性质的运用.
学法指导
通过观察、动手操作领悟二次根式的性质，同伴合作能利用二次根式的性质解答有关问题.
学习过程
一、课前预习·导学
二次根式的性质1、2、3、4.
二、课内学习、合作探究：
探究1：形如＿＿（a≥0）的式子叫做二次根式. 在二次根式中，字母a必须满足___________，即被开方数必须是＿＿＿＿＿.
练一练1：
1．下列各根式中，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
探究2：() ＝a（a≥0）.即非负数的算术平方根的平方等于＿＿＿＿.
练一练2：
下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
探究3：二次根式的性质2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
练一练3：
先化简，再求值：，其中．
探究4：
算术平方根的积等于____________________________________积的算术平方根.
积的算术平方根等于____________________________________的算术平方根.
练一练4：
计算：
(1)； (2)；
探究5：
两个二次根式相除，等于把＿＿＿＿＿＿，作为商的被开方数.
商的算术平方根等于＿＿＿＿＿＿＿除以＿＿＿＿＿＿＿的商.
练一练5：
计算：
（1） (2)
探究6：
分母有理化：二次根式的除法运算，通常采用分子、分母同乘以一个式子化去＿＿＿＿＿＿的方法来进行，这种把＿＿＿＿＿＿＿化去的变形，叫做分母有理化.
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积＿＿＿＿＿＿＿，就说这两个代数式互为有理化因式.
练一练6：
1.下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2.若与最简二次根式是同类二次根式，则 .
探究7：
化简二次根式的条件：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
化简二次根式的方法：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
探究8：
二次根式大小的比较：（1）_____________________；（2）_______________________；（3）平方法；（4）移动因式法.
练一练7：
设的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
探究9：
同类二次根式的定义：
几个二次根式化成_____________________以后，如果_______________________相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
探究10：
二次根式加减运算的一般步骤：
（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
练一练8：
计算：
探究11：
二次根式混合运算的一般步骤：
二次根式混合运算顺序和有理数（式）的运算顺序相同，即先算＿＿＿＿，再算＿＿＿，最后算＿＿＿＿，有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
练一练9：
计算：．
【典型例题讲解】
利用二次根式有意义的条件，求字母的取值范围.
例 1 ：当x取何值时，下列各式有意义？
（1） （2） （3） （4）
2.利用二次根式的非负性化简或计算.
例 2 ：已知与互为相反数，求(x－y) 的平方根.
3.利用二次根式的性质 1 分解因式.
例 3 ：在实数范围内分解因式：
（1） x －7 （2） 4x －3x （3）x －2x＋5
4.巧用二次根式乘除法公式简化计算过程.
例 4 ：计算
（1）× （2）×
5.利用二次根式的概念求值.
例 5 ：已知和是同类二次根式，求m、n的值.
达标练习
1. 计算：(1)； (2)．
2.当，，求代数式的值．
拓展练习
规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：
(1) ，的小数部分为 ；
(2)若a，b分别是的整数部分和小数部分，求a，b的值．
(3)求 （直接写出结果）
学习反思
通过对本章内容的复习，你有何感悟？还有哪些困惑？
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