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第三章 函数
第六节 二次函数的应用及综合问题
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次函数与方程（组） ☆☆ 二次函数与方程、不等式的关系，二次函数的综合问题近几年出现在几个市的中考题中，复习中需要注意； 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据复杂，还需根据实际情况判断所求结果是否合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。
考点2 二次函数与不等式（组） ☆☆
考点3二次函数的实际应用 ☆☆☆
考点4 二次函数的综合题 ☆☆
1.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
（1）抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.
（2）若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=.
（3）二次函数与轴交点情况
对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：
①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
2.二次函数与不等式（组）
（1）涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象
与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点
ax2＋bx＋c>0 的解集情况 xx2 x≠ 取任意实数
ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1（2）两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.
3.利用二次函数解决实际问题的一般步骤：
（1）设实际问题中的变量
（2）建立变量与变量之间的函数关系
（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义
（4）利用函数的性质解决问题
（5）写出答案
■考点一 二次函数与方程（组）
◇典例1：（2024 雁塔区校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的一部分经过点A（﹣1，0），且其对称轴是直线x＝2，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 x1＝﹣1，x2＝5 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】x1＝﹣1，x2＝5．
【点拨】直接利用抛物线的对称性以及结合对称轴以及抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（﹣1，0），得出另一个与x轴的交点，进而得出答案．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点是（5，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是：x1＝﹣1，x2＝5．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝5．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出抛物线与x轴的交点坐标是解题关键．
◆变式训练
1．（2021 丽水模拟）根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围可能是（ ）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【考点】图象法求一元二次方程的近似根；抛物线与x轴的交点．
【答案】C
【点拨】利用二次函数和一元二次方程的关系．
【解析】解：观察表格可知：当x＝6.18时，y＝﹣0.01；当x＝6.19时，y＝0.02，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是6.18＜x＜6.19．
故选：C．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
2．（2023 衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（ ）
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．
【答案】B
【点拨】画出抛物线y＝x2+2x﹣3，直线y＝m，直线y＝n，根据一元二次方程与二次函数的关系，观察图象可得答案．
【解析】解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标，
关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标，
如图：
由图可知，x1＜x3＜x4＜x2，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程与二次函数的关系，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题．
■考点二 二次函数与不等式（组）
◇典例2：（2022 汉川市模拟）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 x＜﹣1或x＞4 ．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【答案】x＜﹣1或x＞4
【点拨】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解析】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023 沭阳县三模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 ﹣2＜x＜4 ．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【答案】﹣2＜x＜4．
【点拨】根据图象中直线在抛物线上方的x的取值范围求解．
【解析】解：∵A（﹣2，p），B（4，q）
∴当﹣2＜x＜4时，抛物线在直线下方，
∴ax2+c＜mx+n的解集为﹣2＜x＜4，即ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣2＜x＜4，
故答案为：﹣2＜x＜4．
【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是将不等式ax2﹣mx+c＜n转化为图象问题．
2．（2023 青岛一模）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为A（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．
①2a+b＝0；②abc＜0； ③抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）；
④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；
⑤a+b+c＞﹣m+n；
⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．
其中结论正确的是（ ）
A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥
【考点】二次函数与不等式（组）；根的判别式；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【答案】B
【点拨】利用抛物线的对称轴方程得到x＝﹣＝﹣1，则可对①进行判断；由抛物线开口向上得到a＞0，则b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点为（2，0），则可对③进行判断；利用抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点可对④进行判断；利用二次函数的增减性可对⑤进行判断；结合函数图象可对⑥进行判断．
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，即2a﹣b＝0，所以①错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点为A（﹣4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以④错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，﹣1＜1，
∴a+b+c＞a﹣b+c，
∵直线y2＝mx+n（m≠0）经过抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），
∴a﹣b+c＝﹣m+n，
∴a+b+c＞﹣m+n，所以⑤正确；
∵当﹣4＜x＜﹣1时，y2＞y1，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．所以⑥正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点问题．
3．（2022 宁海县校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点A坐标为（1，﹣1），与直线相交于O、B两点，点O是原点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求点B的坐标．
（3）直接写出不等式的解．
【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式．
【答案】（1）y＝x2﹣2x．
（2）（，）．
（3）0＜x＜．
【点拨】（1）设抛物线为顶点式，将原点坐标代入解析式求解．
（2）联立抛物线方程与直线方程求解．
（3）由图象中O，B交点的横坐标求解．
【解析】解：（1）设抛物线顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣1，
将（0，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣1得0＝a﹣1，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x．
（2）令x2﹣2x＝x，
解得x1＝0，x2＝，
将x＝代入y＝x＝，
∴点B坐标为（，）．
（3）由图象可得0＜x＜时，抛物线在直线下方，
∴不等式的解为0＜x＜．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数一般式与顶点式的转化．
■考点三 二次函数的实际应用
◇典例3：（2023 湖州）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示：
销售价格x（元/千克） 50 40
日销售量y（千克） 100 200
（1）试求出y关于x的函数表达式．
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
【考点】二次函数的应用．
【答案】见解析
【点拨】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润＝每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【解析】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）．
将x＝50，y＝100和x＝40，y＝200分别代入，得：，
解得：，
∴y关于x的函数表达式是：y＝﹣10x+600．
（2）W＝（x﹣30）（﹣10x+600）＝﹣10x2+900x﹣18000．
当x＝﹣＝45时，在30≤x＜60的范围内，W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
◆变式训练
1．（2022 台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．
【考点】二次函数的应用．
【答案】（1）①y＝﹣（x﹣2）2+2，OC为6m；
②（2，0）；
③2≤d≤2﹣1；
（2）．
【点拨】（1）①由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；
②由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
③根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），则有﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，从而得出答案．
【解析】解：（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
②∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
③∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），
则有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，
解得m＝2.5，
∴点D的纵坐标为h﹣，
∴h﹣＝0，
∴h的最小值为．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
■考点四 二次函数的综合题
◇典例4：（2023 余姚市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交点C的坐标为（0，﹣3），且经过D（2，﹣3）．
（1）求b和c的值；
（2）点P是坐标平面内的一动点，将线段AB绕点P顺时针旋转90°得A′B′，其中A、B的对应点分别是A′、B′．
①当B′与D点重合时，请在图中画出线段A′B′，并直接写出点P的坐标；
②当点P在线段AB上，若线段A′B′与抛物线y＝x2+bx+c有公共点，请直接写出P点的横坐标m的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）b＝﹣2，c＝﹣3；
（2）①（﹣1，﹣1）②﹣1≤m≤0或m＝3．
【点拨】（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①过P点作x轴的垂线交x轴于点E，交CD于点F，则△PEB≌△DFP，即PF＝BE，PE＝DF，根据EF＝3解题即可；
②由当x＝m时，y＝m2﹣2m﹣3，由旋转可得PB＝3﹣m≥0﹣（m2﹣2m﹣3），再根据﹣1≤m≤3求出解集即可．
【解析】解：（1）把（0，﹣3）和（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
（2）①如图，过P点作x轴的垂线交x轴于点E，交CD于点F，
则∠PEB＝∠PFD＝90°，EF＝3，
由旋转得：∠BPD＝90°，PB＝PD，
∴∠EPB+∠BPE＝90°，∠EPB+∠FPD＝90°，
∴∠BPE＝∠FPD，
∴△PEB≌△DFP，
∴PF＝BE，PE＝DF，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3
∴A（﹣1，0），B（3，0）
设P点坐标为（x，y），
则PF＝BE＝3﹣x，PE＝DF＝2﹣x，
即EF＝3﹣x+2﹣x＝3，
解得：x＝1，
∴P点坐标为（﹣1，﹣1），
②∵PB＝3﹣m，
当x＝m时，y＝m2﹣2m﹣3，
由题可知：3﹣m≥0﹣（m2﹣2m﹣3），
即m（m﹣3）≥0，
由同号两数相乘得正可知：m，m﹣3同号，
∴或
解得：m≤0或m≥3，
又∵﹣1≤m≤3，
∴﹣1≤m≤0或m＝3．
【点睛】本题考查待定系数法求函数关系式，旋转的性质和全等三角形，二次函数图象及其性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023 临平区二模）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）．
（1）已知a＝1．
①若函数的图象经过（0，3）和（﹣1，0）两点，求函数的表达式；
②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求b+c的最小值．
（2）若函数图象经过（﹣2，m），（﹣3，n）和（x0，c），且c＜n＜m，求x0的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）①函数的表达式y＝x2+4x+3；②b+c的最小值为1；
（2）﹣x0＝0或﹣5＜x0＜﹣3．
【点拨】（1）①利用待定系数法求出b，c的值，即可得出函数的表达式．
②写出平移后的函数解析式，根据函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，利用判别式Δ＝0，即b2﹣4（c﹣2）＝0，整理为，进而求出b+c，再配方，结合二次函数的性质即可求解．
（2）判定a＜0，由c＜n＜m，则|x0﹣x0|＞|x0+3|＞|x0+2|，即可求解．
【解析】解：（1）∵a＝1，
∴y＝x2+bx+c．
①将（0，3）和（﹣1，0）两点代入y＝x2+bx+c．得，
，
解得：．
∴y＝x2+4x+3．
答：函数的表达式y＝x2+4x+3．
②函数向下平移两个单位得y＝x2+bx+c﹣2，此时该函数与x轴恰好有一个交点，
∴Δ＝0，
即b2﹣4（c﹣2）＝0，
b2﹣4c+8＝0，
，
∴b+c＝b+＝，
∴当b＝﹣2时，b+c的最小值为1．
答：b+c的最小值为1；
（2）当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c，即抛物线和y轴的交点为：（0，c），
而（x0，c），则抛物线的对称轴为x＝x0，
当a＞0时，抛物线开口向上，
∵函数图象经过（﹣2，m），（﹣3，n）且n＜m，
∴x＝﹣3比直线x＝﹣2离抛物线对称轴更近，
∴抛物线的对称轴在x＝﹣的左侧，
则c＞m和题设矛盾，故a＜0，
∵c＜n＜m，
则|x0﹣x0|＞|x0+3|＞|x0+2|，
解得：﹣5＜x0＜﹣3．
综上，满足条件的x0＝0或﹣5＜x0＜﹣3．
【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象与x轴的交点、解不等式、待定系数法求函数表达式等，对二次函数图象和性质的深度理解是本题解题的关键．
1．（2022 绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（ ）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
【考点】抛物线与x轴的交点．
【答案】D
【点拨】根据抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，可以得到m的值，然后解方程即可．
【解析】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝﹣4，
∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
2．（2023 丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（ ）
A．5 B．10 C．1 D．2
【考点】二次函数的应用．
【答案】D
【点拨】根据二次函数的性质即可得到结论．
【解析】解：令h＝0，得：10t﹣5t2＝0，
解得：t＝2或t＝0（不合题意舍去），
∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是2秒；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
3．（2023 越秀区校级二模）若函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴没有交点，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的性质；二次函数的性质．
【答案】A
【点拨】由二次函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴没有交点，可知Δ＜0，得出m＜﹣1，然后根据m的取值判定m+1，m﹣1的取值即可．
【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴没有交点，
∴Δ＜0，即4+4m＜0，
∴m＜﹣1，
∴m+1＜0，m﹣1＜0，
一次函数经过二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图象性质，熟悉性质是解题关键，
4．（2021 宁波模拟）已知函数y1＝mx2+n，y2＝mx+n（m＞0），当p＜x＜q时，y1＜y2，则（ ）
A．0＜q﹣p≤1 B．0＜q﹣p＜1 C．0＜q﹣p≤2 D．0＜q﹣p＜2
【考点】二次函数与不等式（组）．
【答案】B
【点拨】联立y1＝mx2+n，y2＝mx+n（m＞0）并解得x＝0或1，则0＜x＜1时，y1＜y2，进而求解．
【解析】解：联立y1＝mx2+n，y2＝mx+n（m＞0）并解得x＝0或1，
∵m＞0，故抛物线开口向上，
则0＜x＜1时，y1＜y2，
∵p＜x＜q时，y1＜y2，
∴0≤p＜q＜1，
∴0＜q﹣p＜1，
故选：B．
【点睛】本题考查的是抛物线与一次函数交点问题，弄懂题意，明确p、q代表的意义是本题解题的关键．
5．（2022 宁波模拟）一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c
C．若（﹣，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c D．﹣ac+bk＞0
【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系．
【答案】C
【点拨】A选项将ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，根据图象求解判断为对；
B选项当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax﹣b的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），即可求解判断为对；
C选项抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），但是﹣2＜﹣＜﹣1，所以，y1＞c，可判断为错；
D选项因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，即可判断为对．
【解析】解：A选项，对于ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，对应于图中即是抛物线在直线上方的部分，由图可知，两个曲线交点的x坐标为x＝n和x＝m，所以，n＜x＜m，所以A正确；
B选项，当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax+c的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），所以，当x≥0时，ax2+2ax+c≤c，所以B正确；
C选项，在抛物线中，有对称轴公式可知，抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），但是﹣2＜﹣＜﹣1，所以，y1＞c，所以C错误；
D选项，因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，所以，﹣ac+bk＞0，D正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式，二次函数图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数图象与系数关系以及结合不等式运算是解决问题的关键．
6．（2023 余杭区模拟）已知二次函数y1＝（ax+1）（bx+1），y2＝（x+a）（x+b），（a，b为常数，且ab≠0），则下列判断正确的是（ ）
A．若ab＜1，当x＞1时，则y1＞y2 B．若ab＞1，当x＜﹣1时，则y1＞y2
C．若ab＜﹣1，当x＜﹣1时，则y1＞y2 D．若ab＞﹣1，当x＞1时，则y1＞y2
【考点】二次函数与不等式（组）；多项式乘多项式；二次函数图象与系数的关系．
【答案】B
【点拨】先计算y1﹣y2＝（ax+1）（bx+1）﹣（x+a）（x+b）＝（ab﹣1）（x+1）（x﹣1），再根据各选项给定的条件逐一分析即可得到答案．
【解析】解：∵ab＜1，x＞1，
∴ab﹣1＜0，x﹣1＞0，x+1＞0，
∴y1﹣y2＝（ax+1）（bx+1）﹣（x+a）（x+b）
＝abx2+ax+bx+1﹣x2﹣ax﹣bx﹣ab
＝（ab﹣1）x2+1﹣ab
＝（ab﹣1）（x+1）（x﹣1），
∴y1﹣y2＜0；
∴y1＜y2；故A不符合题意；
∵ab＞1，x＜﹣1，
∴ab﹣1＞0，x﹣1＜0，x+1＜0，
∴y1﹣y2＞0；
∴y1＞y2；故B符合题意；
∵ab＜﹣1，x＜﹣1，
∴ab﹣1＜0，x﹣1＜0，x+1＜0，
∴y1﹣y2＜0；
∴y1＜y2；故C不符合题意；
∵ab＞﹣1，x＞1，
∴ab﹣1＞﹣2，x﹣1＞0，x+1＞0，
∴y1﹣y2可以比0大，也可以比0小；
∴y1，y2的大小不确定；故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的函数值的大小比较，因式分解的应用，熟练的利用作差的方法比较大小是解本题的关键．
7．（2023 宁波）已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（ ）
A．点（1，2）在该函数的图象上 B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】C
【点拨】将点（1，2）代入抛物线的解析式即可对选项A进行判断；将a＝1代入抛物线的解析式求出顶点坐标为（2，﹣1），据此可对选项B进行判断；令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，然后判断该方程判别式的符号即可对选项C进行判断；求出抛物线的解析式为：，然后根据a＞0得，据此可对选项C进行判断．
【解析】解：①对于y＝ax2﹣（3a+1）x+3，当x＝1时，y＝a×12﹣（3a+1）×1+3＝2﹣2a
∵a≠0，
∴y＝2﹣2a≠2，
∴点A（1，2）不在该函数的图象上，
故选项A不正确；
②当a＝1时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
即当x＝2时，y＝﹣1＜0，
故得选项B不正确；
③令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，
∵Δ＝[﹣（3a+1）]2﹣4a×3＝（3a﹣1）2≥0，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，
故选项C正确；
④∵该抛物线的对称轴为直线：，
又∵a＞0，
∴，
∴该抛物线的对称轴一定在直线的右侧，
故选项D不正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，解答此题的关键是熟练掌握求二次函数的顶点、对称轴以及判定与x轴有无交点的方法．
8．（2021 普陀区模拟）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的一个交点是B（3，0），下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【答案】B
【点拨】通过图象得到a、b、c符号和抛物线对称轴，将方程ax2+bx+c＝4转化为函数图象交点问题，利用抛物线顶点证明x（ax+b）≤a+b
【解析】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，c＞0
∵抛物线的顶点坐标是A（1，4）
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣
∴b＝﹣2a
∴b＞0，则①错误，②正确；
方程ax2+bx+c＝4方程的解，可以看作直线y＝4与抛物线y＝ax2+bx+c的交点的横坐标．
由图象可知，直线y＝4经过抛物线顶点，则直线y＝4与抛物线有且只有一个交点．
则方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根，③正确；
由抛物线对称性，抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1.0）则④错误；
不等式x（ax+b）≤a+b可以化为ax2+bx+c≤a+b+c
∵抛物线顶点为（1，4）
∴当x＝1时，y最大＝a+b+c
∴ax2+bx+c≤a+b+c故⑤正确
故选：B．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的各项系数与图象位置的关系、抛物线对称性和最值，以及用函数的观点解决方程或不等式．
9．（2020 温州模拟）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加 （2﹣4） m．
【考点】二次函数的应用．
【答案】（2﹣4）
【点拨】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），
得：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±，
所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4，
故答案为：（2﹣4）．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
10．（2023 拱墅区校级模拟）公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝16t﹣4t2，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车要滑行 16 m才能停下．
【考点】二次函数的应用．
【答案】16．
【点拨】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
【解析】解：s＝16t﹣4t2＝﹣4（t﹣2）2+16，
∵﹣4＜0，
∴当t＝2时，s最大，
∴当t＝2时，汽车停下来，滑行了16m．
故答案为：16．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，关键是把函数解析式化为顶点式．
11．（2023 瓯海区一模）某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量y（瓶）与每瓶销售价x（元）之间满足函数关系式y＝1360﹣80x．当销售价格定为每瓶 13 元时，所得日均毛利润最大（每瓶毛利润＝每瓶售价﹣每瓶进价）．
【考点】二次函数的应用．
【答案】13．
【点拨】设日均毛利润为w元，根据每日的毛利润＝每瓶的毛利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解析】解：设日均毛利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣9）y＝（x﹣9）（1360﹣80x）＝﹣80x2+2080x﹣12240＝﹣80（x﹣13）2+1280，
∵﹣80＜0，10≤x≤14，
∴当x＝13时，w有最大值，最大值为1280，
∴当销售价格定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，二次函数的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
12．（2023 宁波模拟）教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是 9 m．
【考点】二次函数的应用．
【答案】9．
【点拨】当y＝0时代入解析式y＝﹣（x﹣4）2+2，求出x的值就可以求出结论．
【解析】解：由题意得，
当y＝0时，﹣（x﹣4）2+2＝0，
化简，得：（x﹣4）2＝25，
解得：x1＝9，x2＝﹣1（舍去），
故答案为：9．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
13．（2021 台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝ ：1 ．
【考点】二次函数的应用；解直角三角形．
【答案】：1．
【点拨】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1，t2，再根据h1＝2h2，求出v1＝v2，可得结论．
【解析】解：由题意，t1＝，t2＝，h1＝＝，h2＝＝，
∵h1＝2h2，
∴v1＝v2，
∴t1：t2＝v1：v2＝：1，
故答案为：：1．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出t1，t2，证明v1＝v2即可．
14．（2023 余姚市一模）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
（2）若一次函数y2＝kx+3的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当y1＞y2时x的取值范围．
【考点】二次函数与不等式（组）；两条直线相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
【答案】（1）所求二次函数表达式为，顶点为（﹣2，﹣1）；
（2）x的取值范围为x＜﹣2或x＞0．
【点拨】（1）设函数的交点式为y1＝a（x+1）（x+3），化为一般式，比较系数求解；
（2）根据数形结合思想求解．
【解析】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），
∴函数表达式可设为y1＝a（x+1）（x+3），
即．
又∵，
∴a＝1，b＝4，
∴所求二次函数表达式为．
∵，
∴其图象的顶点坐标为（﹣2，﹣1），
（2）直线y2与抛物线y1相交于（﹣2．﹣1）和（0，3），
根据图象可知：x的取值范围为x＜﹣2或x＞0．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，理解数形结合思想是解题的关键．
15．（2022 宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【考点】二次函数的应用．
【答案】见解析
【点拨】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量＝每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
【解析】解：（1）∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
答：y关于x的函数表达式为y＝﹣0.5x+5，（2≤x≤8，且x为整数）；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，
根据题意得：W＝x（﹣0.5x+5）＝﹣0.5x2+5x＝﹣0.5（x﹣5）2+12.5，
∵﹣0.5＜0，
∴当x＝5时，W取最大值，最大值为12.5，
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
16．（2023 温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【考点】二次函数的应用．
【答案】解析
【点拨】（1）求出抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3，用待定系数法可得y＝﹣（x﹣2）2+3；当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，知球不能射进球门．
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
【解析】解：（1）∵8﹣6＝2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3），
设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3，
把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+3；
当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，
∴球不能射进球门．
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，
把点（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，
解得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．
17．（2023 嵊州市一模）如图，二次函数y＝x2+ax+b的图象与直线y＝﹣x+3的图象交于A，B两点，点A的坐标为（﹣4，7），点B的坐标为（1，2）．
（1）求二次函数y＝x2+ax+b的表达式；
（2）点M是线段AB上的动点，将点M向下平移h（h＞0）个单位得到点N．
①若点N在二次函数的图象上，求h的最大值；
②若h＝4，线段MN与二次函数的图象有公共点，请求出点M的横坐标m的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣1；
（2）①h的最大值为；
②﹣4≤m≤﹣3或0≤m≤1．
【点拨】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）①设点M的坐标为（m，﹣m+3）（﹣4＜m＜1），则点N的坐标为（m，﹣m+3﹣h），将点N的坐标代入二次函数解析式可得h＝﹣m2﹣3m+4＝﹣（m+）2+，再运用二次函数的性质即可求得答案；
②当h＝4时，点N的坐标为（m，﹣m﹣1），把N（m，﹣m﹣1）代入y＝x2+2x﹣1，求解即可得出答案．
【解析】解：（1）把A（﹣4，7），B（1，2）代入y＝x2+ax+b得：，
解得：，
∴该二次函数解析式为y＝x2+2x﹣1；
（2）①设点M的坐标为（m，﹣m+3）（﹣4＜m＜1），则点N的坐标为（m，﹣m+3﹣h）．
把N（m，﹣m+3﹣h）代入y＝x2+2x﹣1，得：﹣m+3﹣h＝m2+2m﹣1，
∴h＝﹣m2﹣3m+4＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，﹣4＜m＜1，
∴当m＝﹣时，h的最大值为；
②当h＝4时，点N的坐标为（m，﹣m﹣1），
把N（m，﹣m﹣1）代入y＝x2+2x﹣1，得：﹣m﹣1＝m2+2m﹣1，
即m2+3m＝0，
∴m＝0或m＝﹣3，
∵﹣4＜m＜1，
∴﹣4≤m≤﹣3或0≤m≤1．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式即二次函数的性质是解题的关键．
18．（2021 衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．
【考点】二次函数的应用．
【答案】（1）6m；
（2）右边钢缆所在抛物线表达式：y＝（x﹣6）2+1，左边钢缆所在抛物线表达式为：y3＝（x+6）2+1；
（3）2m．
【点拨】（1）利用待定系数法求函数解析式，然后结合二次函数图象上点的坐标特征计算求解；
（2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），然后利用待定系数法求函数解析式；
②根据题意，列式y2﹣y1利用二次函数的性质求最值．
【解析】解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2．
将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，求得a1＝，
∴y1＝x2，
当x＝12时，y1＝×122＝﹣6，
∴桥拱顶部离水面高度为6m．
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x﹣6）2+1，
将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2＝，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2＝（x﹣6）2+1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3＝（x+6）2+1
②设彩带的长度为Lm，
则L＝y2﹣y1＝（x﹣6）2+1﹣（x2）＝＝，
∴当x＝4时，L最小值＝2，
答：彩带长度的最小值是2m．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解决此类型题一般先根据题意设出适当的二次函数表达式（一般式、顶点式或交点式），再结合实际和二次函数的图象与性质进行求解．
1．（2022 高密市一模）下表是若干组二次函数y＝x2﹣5x+c的自变量x与函数值y的对应值：
x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 …
y … 0.36 0.13 ﹣0.08 ﹣0.27 ﹣0.44 …
那么方程x2﹣5x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）是（ ）
A．1.4 B．1.5 C．3.4 D．3.6
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．
【答案】B
【点拨】观察表格可得﹣0.08更接近于0，得到方程的一个近似根（精确到0.1）是1.5，再由y＝x2﹣5x+c的对称轴为x＝得到方程x2﹣5x+c＝0的另一个近似根（精确到0.1）是3.5．
【解析】解：观察表格得：方程x2﹣5x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）是1.5，
∵y＝x2﹣5x+c的对称轴为x＝，
∴方程x2﹣5x+c＝0的另一个近似根（精确到0.1）是3.5，
故选：B．
【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
2．（2023 陕西）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣3 0 3 5 …
y … 16 ﹣5 ﹣8 0 …
则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ）
A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值﹣8
C．图象与x轴的一个交点是（﹣1，0） D．图象开口向下
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【答案】C
【点拨】由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果．
【解析】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题意知，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣5）（x+1）＝（x﹣2）2﹣9，
∴函数的图象开口向上，顶点为（2，﹣9），图象与x轴的交点是（﹣1，0）和（5，0），
∴顶点在第四象限，函数有最小值﹣9，
故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式．
3．（2023 湛江一模）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+1的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【考点】抛物线与x轴的交点．
【答案】D
【点拨】根据抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），可以得到m2﹣m﹣1＝0，即可得到m2﹣m＝1，然后代入所求式子计算即可．
【解析】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+1
＝1+1
＝2，
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是求出m2﹣m的值．
4．（2023 秦皇岛一模）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．
A．50 B．90 C．80 D．70
【考点】二次函数的应用．
【答案】D
【点拨】根据题意，可以写出利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到当售价为多少时，可以获得最大利润．
【解析】解：设利润为w元，每顶头盔的售价为x元，
由题意可得：w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∴当x＝70时，w取得最大值，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
5．（2021 萧山区一模）已知二次函数y1＝ax2+ax﹣1，y2＝x2+bx+1，令h＝b﹣a，（ ）
A．若h＝1，a＜1，则y2＞y1 B．若h＝2，a＜，则y2＞y1
C．若h＝3，a＜0，则y2＞y1 D．若h＝4，a＜﹣，则y2＞y1
【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系．
【答案】B
【点拨】先利用y2减去y1，整理，然后由二次函数的二次项系数及二次函数图象与x轴的交点个数与对应的一元二次方程判别式的关系，可得1﹣a＞0，△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＜0，据此对各个选项计算分析即可．
【解析】解：y2﹣y1＝（1﹣a）x2+（b﹣a）x+2，
由y2＞y1得y2﹣y1＞0，
∴1﹣a＞0，△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＜0，
A、若h＝1，a＜1，则b﹣a＝1，1﹣a＞0，
△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＝1﹣8（1﹣a）＝﹣7+8a，无法判断Δ与0的大小关系，故A错误；
B、若h＝2，a＜，则b﹣a＝2，1﹣a＞，
△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＝4﹣8（1﹣a）＝﹣4+8a＜0，故B正确；
C、若h＝3，a＜0，则b﹣a＝3，1﹣a＞1，
△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＝9﹣8（1﹣a）＝1+8a，无法判断Δ与0的大小关系，故C错误；
D、若h＝4，a＜﹣，则b﹣a＝4，1﹣a＞，
△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＝16﹣8（1﹣a），无法判断Δ与0的大小关系，故C错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式、二次函数图象与x轴的交点个数与对应的一元二次方程判别式之间的关系，明确上述关系是解题的关键．
6．（2023 路桥区一模）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜1 B．1≤t＜2 C． D．
【考点】二次函数的应用．
【答案】B
【点拨】根据题意建立直角坐标系，再分析二次函数的性质即可．
【解析】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，
由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线t＝1，
∴设二次函数解析式为h＝a（t﹣1）2+k，
代入原点得0＝a（0﹣1）2+k，
解得k＝﹣a，
∴h＝a（t﹣1）2﹣a，
令h＝0得a（t﹣1）2﹣a＝0，解得t1＝0，t2＝2，
∴一个球从出发到落地用时2秒，
∵整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），
∴，
解得1≤t＜2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．
7．（2023 振兴区校级一模）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≤kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【考点】二次函数与不等式（组）．
【答案】A
【点拨】利用数形结合思想，把不等式的解集转化为图象的交点问题求解．
【解析】解：如图所示：
∵A（﹣3，y1），B（1，y2），
根据函数图象得：不等式ax2+c≤kx+m的解集是x≥1或x≤﹣3，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想，把不等式解集转化为图象的交点问题是解题的关键．
8．（2023 自贡）经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB的长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】B
【点拨】根据二次函数的性质可知＝﹣，再根据经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，可知Δ＝b2﹣4×（﹣）×（﹣b2+2c）≥0，然后可以得到b和c的关系，求出b和c的值，再根据点A和点B的坐标，即可计算出线段AB长．
【解析】解：∵经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，
∴＝﹣，Δ＝b2﹣4×（﹣）×（﹣b2+2c）≥0，
∴b＝c+1，b2≤4c，
∴（c+1）2≤4c，
∴（c﹣1）2≤0，
∴c﹣1＝0，
解得c＝1，
∴b＝c+1＝2，
∴AB＝|（4b+c﹣1）﹣（2﹣3b）|
＝|4b+c﹣1﹣2+3b|
＝|7b+c﹣3|
＝|7×2+1﹣3|
|14+1﹣3|
＝12，
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出b和c的值．
9．（2023 济南模拟）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
【考点】图象法求一元二次方程的近似根；抛物线与x轴的交点．
【答案】D
【点拨】如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
【解析】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4，
当x＝1时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，
∴﹣5＜t≤4．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．
10．（2022 鄞州区校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝0；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3．正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【答案】B
【点拨】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解析】解：①抛物线开口向上，则a＞0，故正确；
②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0
∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故错误；
③由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，
当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，
∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，
∴4a+b＝1，故错误；
④∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上，
由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，
∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故正确；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
11．（2023 郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ 9 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【答案】9
【点拨】利用判别式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出结论．
【解析】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，
∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．
即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点知识，明确Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数是解题的关键．
12．（2023 洪雅县模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1）、B（0，3）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 ﹣3＜x＜0 ．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【答案】﹣3＜x＜0．
【点拨】根据图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点，
∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想．
13．（2022 大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 1或﹣ ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【答案】1或﹣．
【点拨】函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．
【解析】解：当m＝0时，y＝﹣1，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．
当m≠0时，∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，
②与x、y轴各一个交点，
∴Δ＝0，m≠0，
（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣，
综上所述：m的值为1或﹣．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键．
14．（2023 晋城模拟）根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值．
x 1.63 1.64 1.65 1.66 …
x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 …
根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是 1.65 .（精确到0.01）
【考点】图象法求一元二次方程的近似根；解一元二次方程﹣配方法．
【答案】1.65．
【点拨】先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解．
【解析】解：根据题意得：
6﹣5.9696＝0.0304，
6.0225﹣6＝0.0225，
0.0304＞0.0225，
可见6.0225比5.9696更逼近6，
当精确度为0.01时，方程x2+2x＝6的一个解约是1.65；
故答案为：1.65．
【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是找出表中与6最接近的数，算出差额，再比较，相差越小的数越比较接近．
15．（2023 宝山区一模）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为y平方米，那么y关于x的函数解析式为 y＝x（12﹣2x） ．（不要求写出定义域）
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【答案】y＝x（12﹣2x）．
【点拨】由篱笆的总长及花圃垂直于墙的一边长度，可得出花圃平行于墙的一边长为（12﹣2x）米，再利用矩形的面积公式，即可得出y关于x的函数解析式．
【解析】解：∵篱笆的总长为12米，花圃垂直于墙的一边长为x米，
∴花圃平行于墙的一边长为（12﹣2x）米．
根据题意得：y＝x（12﹣2x）．
故答案为：y＝x（12﹣2x）．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数解析式是解题的关键．
16．（2023 舒城县二模）已知直线y1＝kx﹣4k经过抛物线y2＝ax2﹣4ax（a≠0）的顶点，且当x＜2时，y1＞y2．则：
（1）直线y1与抛物线y2都经过同一个定点，这个定点的坐标是 （4，0） ．
（2）当y2＞y1时，x的取值范围是 2＜x＜4 ．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【答案】（1）（4，0）；（2）2＜x＜4．
【点拨】（1）直线y1与抛物线y2都经过同一个定点（4，0），即可求解；
（2）根据题意可得直线y1与抛物线y2的交点为（2，﹣4a），（4，0），再结合当x＜2时，y1＞y2．，画出大致图象，即可．
【解析】解：（1）∵y1＝kx﹣4k＝k（x﹣4），
∴直线y1＝kx﹣4k经过点（4，0），
∵y2＝ax2﹣4ax＝ax（x﹣4），
∴抛物线y2＝ax2﹣4ax（a≠0）经过点（4，0），
即y2与y1都经过同一个点（4，0）；
故答案为：（4，0）；
（2）∵y2＝ax2﹣4ax＝a（x﹣2）2﹣4a，
∴抛物线的顶点为（2，﹣4a），
∵直线y1＝kx﹣4k经过抛物线y2＝ax2﹣4ax（a≠0）的顶点，
∴y1与抛物线y2的交点为（2，﹣4a），（4，0），
∵当x＜2时，y1＞y2．
∴a＜0，k＜0．
画出大致图象如下：
∴当y2＞y1时．x的取值范围是2＜x＜4．
故答案为：2＜x＜4．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式，涉及到二次函数和一次函数的性质，画出函数大致图象是本题解题的关键．
17．（2022 余姚市一模）已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），
（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．
（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．
【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4，﹣2＜x＜3．
（2）b＝2，c＝﹣2．（答案不唯一）
【点拨】（1）将（3，m），（n，﹣6）代入直线解析式求出点坐标，然后通过待定系数法求解，根据图象可得y1＜y2时x的取值范围．
（2）﹣x2+bx+c＝2x﹣2，由Δ＝0求解．
【解析】解：（1）将（3，m）代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，
将（n，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，
解得n＝﹣2，
∴抛物线经过点（3，4），（﹣2，﹣6），
将（3，4），（﹣2，﹣6）代入y2＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4，
由图象可得﹣2＜x＜3时，抛物线在直线上方，
∴y1＜y2时x的取值范围是﹣2＜x＜3．
（2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0，
当Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0时，两函数图象只有一个公共点，
∴b＝2，c＝﹣2，满足题意．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
18．（2022 拱墅区模拟）已知二次函数y1＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）与一次函数y2＝kx+c（k是常数，k≠0）．
（1）若y1的图象与x轴只有一个交点（2，0），求b，c的值；
（2）若y1的图象可由抛物线y＝ax2+2c（a是常数，a≠0）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，求出y1的函数关系式；
（3）若k+b＝3，当x≥2时，y1＜y2恒成立，求k的取值范围．
【考点】二次函数与不等式（组）；一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．
【答案】（1）b＝4，c＝﹣4；
（2）y＝﹣x2﹣4x+3；
（3），
【点拨】（1）抛物线的对称轴x＝﹣＝，当x＝2时，b＝4，y1＝0，即可求解c；
（2）由平移的性质即可求解；
（3）作差法：，当x≥2时，y1＜y恒成立即当x≥2时x（x+k﹣b）＞0恒成立，即x＞b﹣k恒成立，
求出b，由k+b＝3，求出k的范围．
【解析】解：（1）抛物线的对称轴x＝﹣＝2，
解得b＝4，
当0＝﹣4+8+c；
c＝﹣4；
（2）由题意得：a＝﹣1，则y＝a（x+2）2+2c+1＝﹣x2+bx+c，
故c＝3，
故抛物线的表达式为：y1＝﹣x2﹣4x+3，
（3）作差法：，
当x≥2时，y1＜y2恒成立即当x≥2时x（x+k﹣b）＞0恒成立，即x＞b﹣k恒成立，
∴b﹣k＜2，
又∵k+b＝3，
∴3﹣2k＜2，
解得：，
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、解不等式等，有一定的综合性，难度适中．
19．（2021 湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．
（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
购票方式 甲 乙 丙
可游玩景点 A B A和B
门票价格 100元/人 80元/人 160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【答案】（1）20%；
（2）①798万元；②24元，817.6万元．
【点拨】（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，根据增长率问题应用题列出方程，解之即可；
（2）①根据题意丙种门票价格下降10元，列式100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）计算，即可求景区六月份的门票总收入；
②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，由题意可得W＝100（2﹣0.06m）+80（3﹣0.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+0.04m），化简得W＝﹣0.1（m﹣24）2+817.6，然后根据二次函数的性质即可得结果．
【解析】解：（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，
由题意，得4（1+x）2＝5.76，
解这个方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为20%；
（2）①由题意，得
100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（万元）．
答：景区六月份的门票总收入为798万元．
②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，
由题意，得
W＝100（2﹣0.06m）+80（3﹣0.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+0.04m），
化简，得W＝﹣0.1（m﹣24）2+817.6，
∵﹣0.1＜0，
∴当m＝24时，W取最大值，为817.6万元．
答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是817.6万元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的应用，一元二次方程的应用．
20．（2023 义乌市模拟）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．
（1）喷水口A离地高度为0.35m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为3m处达到最高，高度为0.8m，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
①在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
（2）现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形BCDE（如图3），其中高CD为0.5m．宽CB为0.8m．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高hm，使水柱落在花坛的上方DE边上，求h的取值范围．
【考点】二次函数的应用．
【答案】（1）①建立坐标系见见解析，；②7m；
（2）0.212m≤h≤0.5m．
【点拨】（1）①建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；
②令y＝0，求得方程的解，根据问题的实际意义做出取舍即可；
（2）由题意可得：CD＝0.5m，BC＝0.8m，分别代入，求得k的最小值和最大值，再令x＝0，即可分别求得OA的最小值和最大值，即可求出h的取值范围．
【解析】解：（1）①以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+0.8，把A（0，0.35）代入得：0.35＝a（0﹣3）2+0.8，解得：，
∴抛物线的表达式为；
②令y＝0，得，解得：x1＝7，x2＝﹣1，
∴B（7，0），
∴OB＝7，
∴喷灌器底端O到点B的距离为7m；
（2）如图所示：
∴CD＝0.5m，BC＝0.8m，
∴D（6.2，0.5），E（7，0.5），
设，把D（6.2，0.5）代入得，解得：k＝1.012，
∴，
当x＝0时，，
∴OAmin＝0.562m，
∴h＝0.562﹣0.35＝0.212m，
设，把E（7，0.5）代入得，，解得：k'＝1.3，
∴，
当x＝0时，＝0.85，
∴OAmax＝0.85m，
∴h＝0.85﹣0.35＝0.5m，
∴使水柱落在花坛的上方DE边上，h的取值范围为0.212m≤h≤0.5m．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题中的数量关系并结合实际分析是解题的关键．
21．（2022 温州）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【考点】二次函数的应用；坐标与图形变化﹣对称．
【答案】见试题解答内容
【点拨】任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；
任务2：根据该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m，灯笼长0.4m，计算悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m；
任务3：介绍两种方案：分别挂7盏和8盏．
【解析】解：任务1：
以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B（10，﹣5），
设抛物线的解析式为：y＝ax2，
把点B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，
∴a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2；
任务2：
∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，
∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，
即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m，
当y＝﹣1.8时，﹣x2＝﹣1.8，
∴x＝±6，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6；
任务3：
方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×3＝﹣4.8；
方案二：如图3，
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键．
22．（2023 兰溪市模拟）如图，已知抛物线y＝x2+bx与直线y＝2x交于点O（0，0），A（a，10），点B是抛物线上O，A之间的一个动点，矩形BCDE的两个顶点C、E在直线OA上，点E在点C右侧．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当BC∥x轴时，设点D的坐标为（m，n），求m关于n的函数关系式；
（3）当点C与点O重合时，若矩形BCDE的邻边之比为1：3，求点B的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线解析式为y＝x2﹣3x；
（2）m＝n2﹣n；
（3）点B的坐标为（4，4）或（，﹣）．
【点拨】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式求得a的值；然后把点A的坐标代入二次函数解析式求出b的值，即可得到答案；
（2）根据点D的坐标，表示出点E的坐标，点C的坐标，从而可表示点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线解析式可求出m，n之间的关系式；
（3）设B（t，t2﹣3t），①当BC＝3BE时，过B作GH∥y轴交x轴于H，过E作FG∥x轴交y轴于F，交GH于G，由△BCH∽△EBG，可求出BG＝CH＝t，EG＝BH＝，故E（，t2﹣t），又E在直线y＝2x上，有t2﹣t＝2×，可解得B（4，4）；②当BE＝3BC时，过B作TK∥x轴交y轴于T，过E作EK⊥x轴于R，交TK于K，同理可得B（，﹣）．
【解析】解：（1）∵点A（a，10）在直线y＝2x上，
∴10＝2a，
解得：a＝5，
∴A（5，10），
∵点A（5，10）是抛物线y＝x2+bx上的一点，
10＝52+5b，
解得b＝﹣3，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x；
（2）如图，
∵直线OA的解析式为y＝2x，点D的坐标为（m，n），
∴点E的坐标为（n，n），点C的坐标为（m，2m），
∴点B的坐标为（n，2m），
把点B（n，2m）代入y＝x2﹣3x得：
2m＝n2﹣3×n，
∴m、n之间的关系式为m＝n2﹣n；
（3）设B（t，t2﹣3t），
①当BC＝3BE时，过B作GH∥y轴交x轴于H，过E作FG∥x轴交y轴于F，交GH于G，如图：
∴CH＝FG＝t，BH＝t2﹣3t，
∵∠CBH＝90°﹣∠EBG＝∠BEG，∠BHC＝∠G＝90°，
∴△BCH∽△EBG，
∴＝＝，
∵BC＝3BE，
∴BG＝CH＝t，EG＝BH＝，
∴EF＝FG﹣EG＝t﹣＝，GH＝BH+BG＝t2﹣3t+t＝t2﹣t，
∴E（，t2﹣t），
∵E在直线y＝2x上，
∴t2﹣t＝2×，
解得t＝0（此时B与O重合，舍去）或t＝4，
∴B（4，4）；
②当BE＝3BC时，过B作TK∥x轴交y轴于T，过E作EK⊥x轴于R，交TK于K，如图：
同①可得E（﹣3t2+10t，t2），
代入y＝2x得：t2＝2（﹣3t2+10t），
解得t＝0（舍去）或t＝，
∴B（，﹣）；
综上所述，点E在点C右侧，点C与点O重合时，若矩形BCDE的邻边之比为1：3，点B的坐标为（4，4）或（，﹣）．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，动点问题，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．
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第三章 函数
第六节 二次函数的应用及综合问题
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次函数与方程（组） ☆☆ 二次函数与方程、不等式的关系，二次函数的综合问题近几年出现在几个市的中考题中，复习中需要注意； 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据复杂，还需根据实际情况判断所求结果是否合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。
考点2 二次函数与不等式（组） ☆☆
考点3二次函数的实际应用 ☆☆☆
考点4 二次函数的综合题 ☆☆
1.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
（1）抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.
（2）若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=.
（3）二次函数与轴交点情况
对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：
①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
2.二次函数与不等式（组）
（1）涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象
与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点
ax2＋bx＋c>0 的解集情况 xx2 x≠ 取任意实数
ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1（2）两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.
3.利用二次函数解决实际问题的一般步骤：
（1）设实际问题中的变量
（2）建立变量与变量之间的函数关系
（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义
（4）利用函数的性质解决问题
（5）写出答案
■考点一 二次函数与方程（组）
◇典例1：（2024 雁塔区校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的一部分经过点A（﹣1，0），且其对称轴是直线x＝2，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 ．
◆变式训练
1．（2021 丽水模拟）根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围可能是（ ）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
2．（2023 衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（ ）
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2
■考点二 二次函数与不等式（组）
◇典例2：（2022 汉川市模拟）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 ．
◆变式训练
1．（2023 沭阳县三模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 ．
2．（2023 青岛一模）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为A（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．
①2a+b＝0；②abc＜0； ③抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）；
④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；
⑤a+b+c＞﹣m+n；
⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．
其中结论正确的是（ ）
A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥
3．（2022 宁海县校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点A坐标为（1，﹣1），与直线相交于O、B两点，点O是原点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求点B的坐标．
（3）直接写出不等式的解．
■考点三 二次函数的实际应用
◇典例3：（2023 湖州）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示：
销售价格x（元/千克） 50 40
日销售量y（千克） 100 200
（1）试求出y关于x的函数表达式．
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
◆变式训练
1．（2022 台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．
■考点四 二次函数的综合题
◇典例4：（2023 余姚市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交点C的坐标为（0，﹣3），且经过D（2，﹣3）．
（1）求b和c的值；
（2）点P是坐标平面内的一动点，将线段AB绕点P顺时针旋转90°得A′B′，其中A、B的对应点分别是A′、B′．
①当B′与D点重合时，请在图中画出线段A′B′，并直接写出点P的坐标；
②当点P在线段AB上，若线段A′B′与抛物线y＝x2+bx+c有公共点，请直接写出P点的横坐标m的取值范围．
◆变式训练
1．（2023 临平区二模）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）．
（1）已知a＝1．
①若函数的图象经过（0，3）和（﹣1，0）两点，求函数的表达式；
②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求b+c的最小值．
（2）若函数图象经过（﹣2，m），（﹣3，n）和（x0，c），且c＜n＜m，求x0的取值范围．
1．（2022 绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（ ）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
2．（2023 丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（ ）
A．5 B．10 C．1 D．2
3．（2023 越秀区校级二模）若函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴没有交点，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
4．（2021 宁波模拟）已知函数y1＝mx2+n，y2＝mx+n（m＞0），当p＜x＜q时，y1＜y2，则（ ）
A．0＜q﹣p≤1 B．0＜q﹣p＜1 C．0＜q﹣p≤2 D．0＜q﹣p＜2
5．（2022 宁波模拟）一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c
C．若（﹣，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c D．﹣ac+bk＞0
6．（2023 余杭区模拟）已知二次函数y1＝（ax+1）（bx+1），y2＝（x+a）（x+b），（a，b为常数，且ab≠0），则下列判断正确的是（ ）
A．若ab＜1，当x＞1时，则y1＞y2 B．若ab＞1，当x＜﹣1时，则y1＞y2
C．若ab＜﹣1，当x＜﹣1时，则y1＞y2 D．若ab＞﹣1，当x＞1时，则y1＞y2
7．（2023 宁波）已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（ ）
A．点（1，2）在该函数的图象上 B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧
8．（2021 普陀区模拟）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的一个交点是B（3，0），下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2020 温州模拟）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加 m．
10．（2023 拱墅区校级模拟）公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝16t﹣4t2，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车要滑行 m才能停下．
11．（2023 瓯海区一模）某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量y（瓶）与每瓶销售价x（元）之间满足函数关系式y＝1360﹣80x．当销售价格定为每瓶 元时，所得日均毛利润最大（每瓶毛利润＝每瓶售价﹣每瓶进价）．
12．（2023 宁波模拟）教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是 m．
13．（2021 台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝ ．
14．（2023 余姚市一模）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
（2）若一次函数y2＝kx+3的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当y1＞y2时x的取值范围．
15．（2022 宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
16．（2023 温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
17．（2023 嵊州市一模）如图，二次函数y＝x2+ax+b的图象与直线y＝﹣x+3的图象交于A，B两点，点A的坐标为（﹣4，7），点B的坐标为（1，2）．
（1）求二次函数y＝x2+ax+b的表达式；
（2）点M是线段AB上的动点，将点M向下平移h（h＞0）个单位得到点N．
①若点N在二次函数的图象上，求h的最大值；
②若h＝4，线段MN与二次函数的图象有公共点，请求出点M的横坐标m的取值范围．
18．（2021 衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．
1．（2022 高密市一模）下表是若干组二次函数y＝x2﹣5x+c的自变量x与函数值y的对应值：
x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 …
y … 0.36 0.13 ﹣0.08 ﹣0.27 ﹣0.44 …
那么方程x2﹣5x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）是（ ）
A．1.4 B．1.5 C．3.4 D．3.6
2．（2023 陕西）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣3 0 3 5 …
y … 16 ﹣5 ﹣8 0 …
则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ）
A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值﹣8
C．图象与x轴的一个交点是（﹣1，0） D．图象开口向下
3．（2023 湛江一模）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+1的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
4．（2023 秦皇岛一模）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．
A．50 B．90 C．80 D．70
5．（2021 萧山区一模）已知二次函数y1＝ax2+ax﹣1，y2＝x2+bx+1，令h＝b﹣a，（ ）
A．若h＝1，a＜1，则y2＞y1 B．若h＝2，a＜，则y2＞y1
C．若h＝3，a＜0，则y2＞y1 D．若h＝4，a＜﹣，则y2＞y1
6．（2023 路桥区一模）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜1 B．1≤t＜2 C． D．
7．（2023 振兴区校级一模）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≤kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
8．（2023 自贡）经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB的长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
9．（2023 济南模拟）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
10．（2022 鄞州区校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝0；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3．正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2023 郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ ．
12．（2023 洪雅县模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1）、B（0，3）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 ．
13．（2022 大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．
14．（2023 晋城模拟）根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值．
x 1.63 1.64 1.65 1.66 …
x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 …
根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是 .（精确到0.01）
15．（2023 宝山区一模）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为y平方米，那么y关于x的函数解析式为 ．（不要求写出定义域）
16．（2023 舒城县二模）已知直线y1＝kx﹣4k经过抛物线y2＝ax2﹣4ax（a≠0）的顶点，且当x＜2时，y1＞y2．则：
（1）直线y1与抛物线y2都经过同一个定点，这个定点的坐标是 ．
（2）当y2＞y1时，x的取值范围是 ．
17．（2022 余姚市一模）已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），
（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．
（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．
18．（2022 拱墅区模拟）已知二次函数y1＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）与一次函数y2＝kx+c（k是常数，k≠0）．
（1）若y1的图象与x轴只有一个交点（2，0），求b，c的值；
（2）若y1的图象可由抛物线y＝ax2+2c（a是常数，a≠0）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，求出y1的函数关系式；
（3）若k+b＝3，当x≥2时，y1＜y2恒成立，求k的取值范围．
19．（2021 湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．
（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
购票方式 甲 乙 丙
可游玩景点 A B A和B
门票价格 100元/人 80元/人 160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
20．（2023 义乌市模拟）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．
（1）喷水口A离地高度为0.35m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为3m处达到最高，高度为0.8m，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
①在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
（2）现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形BCDE（如图3），其中高CD为0.5m．宽CB为0.8m．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高hm，使水柱落在花坛的上方DE边上，求h的取值范围．
21．（2022 温州）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
22．（2023 兰溪市模拟）如图，已知抛物线y＝x2+bx与直线y＝2x交于点O（0，0），A（a，10），点B是抛物线上O，A之间的一个动点，矩形BCDE的两个顶点C、E在直线OA上，点E在点C右侧．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当BC∥x轴时，设点D的坐标为（m，n），求m关于n的函数关系式；
（3）当点C与点O重合时，若矩形BCDE的邻边之比为1：3，求点B的坐标．
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