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七年级数学下册 预习篇
5.3.1 平行线的性质
1.性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；即两直线平行，同位角相等。
2.性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；即两直线平行，内错角相等。
3.性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；即两直线平行，同旁内角互补。
选择题
1.如图，，的平分线与的平分线交于点 ，当时，的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，过G作，则，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可．添加平行线求解是解答的关键．
【详解】解：过G作，则，
∴，，
∵，
∴，则，
∵的平分线与的平分线交于点 ，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故选：C．
2.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，，则的度数为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．根据光在水中是平行的线，由平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
故选∶D．
3.如图所示，平分，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及角的和差关系．由平行线的性质和角平分线的定义求得，即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
4.如图，直线，直线与直线a相交于点P，与直线b相交于点Q，于点P，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线性质，根据两直线平行，同位角相等，平角的定义计算即可．
【详解】如图，∵，，
∴，
∵，
∴，
故选A．
5.如图，已知，直线与分别交于点A，B，直线平分且交于点C，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等，以及角平分线的定义．根据平行线的性质，对顶角相等，以及角平分线平分角，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵直线平分，
∴，
∴；
故错误的是D选项；
故选：D．
6.如图，在三角形中，已知，．对于下列五个结论：
①；②；③；④；⑤与互余．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，互余的概念，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
根据平行线的判定与性质即可进行逐一判断．
【详解】解：①，
；
所以①正确；
②，
，
，
，
；
所以②正确；
③，
；
所以③正确；
④，
，
，
；
所以④正确；
⑤．
，
与互余．
所以⑤正确．
其中正确的有①②③④⑤5个．
故选：D．
7.已知与是直线、被直线所截得的同位角，且，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】D
【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，根据平行线的性质进行判断即可，解题的关键是理解同位角的定义以及两直线平行线，同位角相等．
【详解】解：∵与是两条直线被第三条直线所截的同位角，两条直线不一定平行，
∴不能确定，
故选：．
8.如图，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，根据，得出，根据，可得．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
故选：A．
填空题
1.如图，直线，直线分别交直线于点． 若，则的度数为 °．
【答案】36
【分析】本题考查求角度，涉及补角定义、平行线的性质等知识，由互补得到，再结合平行线的性质即可求出的度数，熟练掌握平行线的性质，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
2.如图，，直线分别交，于点，，平分，，则的度数为 ．
【答案】/80度
【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的定义．根据可得，由平分可得，最后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
，
故答案为：．
3.如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度．
【答案】130
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是数形结合．先根据平行线的判定定理得出，再由邻补角的定义求出的度数，最后由平行线的性质即可求解．
【详解】，
，
，
，
，
．
4.如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则等于 ．
【答案】/50度
【分析】本题考查的是平行线的性质以及垂线的定义的运用．先利用余角的性质求得，再根据“两直线平行，内错角相等”可求得的度数．
【详解】解：如图，
∵直角三角板的直角顶点在直线a上，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
5.已知直线，现将一副直角三角板作如图摆放，且．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号为 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查平行线的判断和性质，三角板中角度的计算．内错角相等，两直线平行，判断①，邻补角求出的度数，判断②，过点作，利用平行线的判定和性质，判断③和④．掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，，
∴；故②正确；
过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
故③错误，④正确；
故答案为：①②④．
1.如图， ，，，求的度数．请完善解题过程，并在括号内填上相应的理论依据．
解：，（已知）
，（ ）
，（已知）
，（等量代换）
_____ （ ）
______ ，（ ）
，
______ ．
【答案】两直线平行，同位角相等 ； ； 内错角相等，两直线平行 ； ；两直线平行，同旁内角互补 ；
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．由与平行，利用两直线平行，同位角相等得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到与平行，利用两直线平行同旁内角互补得到两个角互补，即可求出所求角的度数．
【详解】解：解：，（已知）
，（两直线平行，同位角相等）
，（已知）
，（等量代换）
，（内错角相等，两直线平行）
，（两直线平行，同旁内角互补）
，
．
故答案为：两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；．
2.如图，点F在上，于点G，与相交于点H，且．
(1)求证：．在下列解答中，填空：
证明：∵（已知）
___①___（对顶角相等）
∴___②___（等量代换）
∴（ ③ ）
∴___④___（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（垂直的定义．）
∴___⑤___（等量代换）
∴（垂直的定义）
(2)若平分，且，求的度数．
【答案】(1)；；同旁内角互补，两直线平行；；
(2)
【分析】（1）证明得，从而，然后再证明即可；
（2）由角平分线的定义得，然后利用平行线的性质可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵（已知）
（对顶角相等）
∴（等量代换）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（垂直的定义．）
∴（等量代换）
∴（垂直的定义）
故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；；；
（2）∵平分，且，
∴．
∵，
∴
3.如图，点B、C在线段的异侧，E、F分别是线段、上的点，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的判定与性质等知识点，灵活运用平行线的判定定理是解答本题的关键．
（1）由已知条件结合对顶角相等可得，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论；
（2）由（1）可得，再结合可得，进而证得，由平行线的性质可得．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
4.已知如图，，，直线与平行吗？直线与平行吗？说明理由（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）．
解：直线与平行，直线与平行．
理由如下：
∵（已知），
∴ （ ），
∴（ ），
又∵（ ），
∴_____（等量代换），
∴ （ ）．
【答案】直线与平行，直线与平行．理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，由，根据内错角相等，两直线平行可以证明，根据平行线的性质可得，结合已知条件，等量代换可得，即可证明，解题的关键是结合图形熟练运用平行线的性质和判定进行证明推理．
【详解】解：直线与平行，直线与平行．
理由如下：
∵（已知），
∴（内错角相等，两条直线平行），
∴（两条直线平行，内错角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两条直线平行）．
故答案为：；；内错角相等，两条直线平行；两条直线平行，内错角相等；已知；；；；同位角相等，两条直线平行．
5.【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题探究】（1）如图1，，为、之间一点，连接、．可以得到与、之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【灵活应用】（2）如图2，直线，若，，求的度数．
【答案】（1），理由见解析；（2）
【分析】本题考查平行线的性质及应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理，并能熟练应用．
（1）过点作，利用平行线的性质即可解答；
（2）先利用三角形的内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得，然后利用“猪蹄模型”可得，最后进行计算即可解答．
【详解】（1），
理由：如图，过点作，
，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
由（1）可得：，
，
．
6.如图，已知．点P是射线上一动点（与点A不重合），， 的角平分线分别交射线于点C，D．
(1)①的度数是______；
②∵，∴______；
(2)求的度数；
(3)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系；若变化，请写出变化规律．
(4)当点P运动到使时，的度数是______．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)，理由见解析
(4)
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等：
（1）①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行线的性质，两直线平行，内错角相等可直接写出；
（2）由角平分线的定义可以证明，即可求出结果；
（3）不变，，证，即可推出结论；
（4）可先证明，由（2），可推出，可得，即可求出的度数．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（4）解：∵，
∴，
当时，则有，
∴，
∴，
由（2），
∴，
∴，
故答案为：．
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七年级数学下册 预习篇
5.3.1 平行线的性质
1.性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；即两直线平行，同位角相等。
2.性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；即两直线平行，内错角相等。
3.性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；即两直线平行，同旁内角互补。
选择题
1.如图，，的平分线与的平分线交于点 ，当时，的度数为 （ ）
A． B． C． D．
2.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，，则的度数为（）
A． B． C． D．
3.如图所示，平分，，则为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，直线，直线与直线a相交于点P，与直线b相交于点Q，于点P，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，已知，直线与分别交于点A，B，直线平分且交于点C，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
6.如图，在三角形中，已知，．对于下列五个结论：
①；②；③；④；⑤与互余．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7.已知与是直线、被直线所截得的同位角，且，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
8.如图，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
填空题
1.如图，直线，直线分别交直线于点． 若，则的度数为 °．
2.如图，，直线分别交，于点，，平分，，则的度数为 ．
3.如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度．
4.如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则等于 ．
5.已知直线，现将一副直角三角板作如图摆放，且．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号为 ．
1.如图， ，，，求的度数．请完善解题过程，并在括号内填上相应的理论依据．
解：，（已知）
，（ ）
，（已知）
，（等量代换）
_____ （ ）
______ ，（ ）
，
______ ．
2.如图，点F在上，于点G，与相交于点H，且．
(1)求证：．在下列解答中，填空：
证明：∵（已知）
___①___（对顶角相等）
∴___②___（等量代换）
∴（ ③ ）
∴___④___（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（垂直的定义．）
∴___⑤___（等量代换）
∴（垂直的定义）
(2)若平分，且，求的度数．
3.如图，点B、C在线段的异侧，E、F分别是线段、上的点，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
4.已知如图，，，直线与平行吗？直线与平行吗？说明理由（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）．
解：直线与平行，直线与平行．
理由如下：
∵（已知），
∴ （ ），
∴（ ），
又∵（ ），
∴_____（等量代换），
∴ （ ）．
5.【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题探究】（1）如图1，，为、之间一点，连接、．可以得到与、之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【灵活应用】（2）如图2，直线，若，，求的度数．
6.如图，已知．点P是射线上一动点（与点A不重合），， 的角平分线分别交射线于点C，D．
(1)①的度数是______；
②∵，∴______；
(2)求的度数；
(3)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系；若变化，请写出变化规律．
(4)当点P运动到使时，的度数是______．
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