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七年级数学下册 预习篇
5.3.2 命题、定理、证明
一、命题
1.命题的定义：判断一件事情的语句叫作命题。
2.命题的组成：命题由题设和结论两部分组成。
3.命题的表达形式：命题通常写成：“如果……那么……”的形式。“如果”后面接的是题设部分，“那么”后面接的部分是结论。
4.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫作真命题。
5.假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题叫作假命题。
二、公理、定理与证明
1.公理：从实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据的真命题。
2.定理：经过推理证实的真命题叫作定理，它可以作为继续推理的依据。
3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明。
4.举反例：判断一个命题是假命题，一般举反例说明，它符合命题的题设，但不满足结论。
选择题
1.下列命题：①内错角相等；②相等的角是对顶角；③同旁内角互补，两直线平行；④一个角的余角一定大于这个角．其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查的是真假命题的判断，熟记定义与性质是解本题的关键；根据平行线的性质对①进行判断；据对顶角的定义对②进行判断；根据平行线的判定对③进行判断；根据余角的定义对④进行判断．
【详解】解：①两直线平行，内错角相等，原命题为假命题；
②相等的角不一定是对顶角，原命题为假命题；
③同旁内角互补，两直线平行，原命题为真命题；
④一个角的余角不一定大于这个角，原命题为假命题；
故选A
2.能说明命题“对于任何实数”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确举出反例是解题的关键．
根据题意、乘方的意义举例即可．
【详解】解：当时，
∴此时，故“对于任何实数”是假命题，
当时，，
故选：A．
3.下列语句是命题的是（ ）
A．画一条直线 B．正数都大于零
C．同位角相等吗？ D．明天晴天吗？
【答案】B
【分析】本题考查了命题．解题关键点：理解命题的意义．判断一件事情的语句叫命题，以此进行判断求解即可．
【详解】A．画一条直线，不是命题，故不符合题意；
B．正数都大于零，是一个命题，故不符合题意；
C．同位角相等吗？不是命题，故不符合题意；
D．明天晴天吗？不是命题，故不符合题意．
故选B．
4.下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．若数a、b满足，则
C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．垂线段最短
【答案】D
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、垂线段的性质、平行公理等等知识，难度不大．利用对顶角的定义、数的平方运算、平行公理以及垂线段的性质、逐项判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、若数a、b满足，则或，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、垂线段最短，故原命题正确，符合题意；
故选：D．
5.下列命题是真命题的是（ ）
A．在平面直角坐标系中，点在轴上
B．同旁内角互补
C．一次函数中，随着的增大而减小
D．的算术平方根是
【答案】C
【分析】根据点的坐标特征、一次函数的增减性、平行线的性质、算术平方根的性质判断即可得到答案．
【详解】解：A、在平面直角坐标系中，点在轴上，故原说法错误，故A是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误，故B是假命题，不符合题意；
C、在一次函数中，随着的增大而减小，故原说法正确，故C是真命题，符合题意；
D、的算术平方根是，故原说法错误，故D是假命题，不符合题意；
故选：C．
6.下列命题中是真命题的为（ ）
A．两锐角之和为钝角 B．两锐角之和为锐角
C．钝角大于它的补角 D．锐角大于它的余角
【答案】C
【分析】本题考查了补角、余角的定义，熟记概念：如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角，如果两个角的和是等于，那么称这两个角互为补角，可以举具体角的度数来证明结合反例即可作出判断．
【详解】A、两个角的和是，是锐角，故不符合题意；
B、两个的角之和是，是钝角，故不符合题意；
C、钝角大于，它的补角小于，故符合题意；
D、锐角的余角是，故不符合题意．
故选：C．
7.命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短．其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质，邻补角和对顶角的定义，两点之间线段最短等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：①邻补角互补，原命题是真命题；
②对顶角相等，原命题是真命题；
③两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
④两点之间线段最短，原命题是真命题；
∴真命题有3个，
故选C．
8.下列语句中，不是命题的是（ ）
A．x一定小于吗 B．两点之间线段最短
C．等腰三角形是轴对称图形 D．对顶角相等
【答案】A
【分析】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题，根据命题的概念判断即可．
【详解】解：A、一定小于吗？，不是命题，符合题意；
B、两点之间线段最短，是命题，不符合题意；
C、等腰三角形是轴对称图形，是命题，不符合题意；
D、对顶角相等，是命题，不符合题意；
故选：A．
填空题
1.命题：若两个数相等，则它们的绝对值相等是 （填“真”或“假”）命题．
【答案】真
【分析】本题主要考查真假命题，根据真假命题可进行求解．熟练掌握概念是解题的关键．
【详解】解：命题：若两个数相等，则它们的绝对值相等是真命题．
故答案为：真．
2.命题“同角的补角相等”是 命题．写成“如果…那么…”的形式 ．
【答案】 真 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果．．．那么．．”形式是解决问题的关键．
把命题的题设和结论，写成“如果．．．那么”的形式即可；
【详解】解：命题“同角的补角相等”是真命题，把命题“同角的补角相等”改写成“如果．．．那么”的形式为如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；
故答案为：真；如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
3.写出命题“直角三角形只有两个锐角”的逆命题 ．
【答案】只有两个锐角的三角形是直角三角形
【分析】本题主要考查命题的逆命题，把原命题的题设和结论互换位置，则为逆命题，即可作答．
【详解】解：∵命题“直角三角形只有两个锐角”
∴逆命题：只有两个锐角的三角形是直角三角形．
故答案为：只有两个锐角的三角形是直角三角形．
4.“平行于同一条直线的两条直线平行”这个命题的条件是 ．
【答案】两条直线平行于同一条直线
【分析】本题考查了对命题的题设和结论的理解，把命题改写成“如果 那么 ”的形式，即可求解，把命题改写成“如果那么”的形式是解题的关键．
【详解】解：命题“平行于同一条直线的两条直线平行”可改写为：“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行”，
∴命题的条件是“两条直线平行于同一条直线”，
故答案为：两条直线平行于同一条直线．
5.“若，则，”是 命题（选填“真”或“假”）.
【答案】假
【分析】根据有理数乘法法则可知若，也有可能，，即可得到答案．本题主要考查真假命题的判断，熟练掌握乘法法则是解题的关键．
【详解】解：若，根据有理数的乘法法则可知也有可能，，
∴“若，则，”是假命题．
故答案为：假．
解答题
1.如图，已知两平行直线、被直线所截，射线、分别平分和．
(1)判断与之间的位置关系，并证明你的结论；
(2)由（1）的结论可以得到一个命题：如果（ ），那么（ ）．
【答案】(1)，证明见解析
(2)两条直线平行，内错角的角平分线平行
【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质：
（1）根据平行线的性质可得，再结合角平分线的性质可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可得证；
（2）结合（1）的结论即可得到答案．
【详解】（1）解：．证明如下：
（已知）
（两直线平行，内错角相等）
射线、分别平分和（已知）
，（角平分线的定义）
（已证）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
（2）解：如果两条直线平行，那么内错角的角平分线平行．
故答案为：两条直线平行，内错角的角平分线平行．
2.（1）如图，，，．求证：；
（2）若把（1）中的“”与结论“”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由；
（3）若把（1）中的“”与结论“”对调呢？
【答案】（1）证明见解析；（2）所得命题为真命题．理由见解析；（3）所得命题为真命题．理由见解析
【详解】（1）证明：，
．又，
．．
．
，．
．．
（2）所得命题为真命题．理由如下：
，，
．．
，．
．
（3）所得命题为真命题．理由如下：
同（2）可得．
，．
3.（1）如图，“若，则”该命题是______（填“真命题”或“假命题”）．
（2）若上述命题为真命题，请说明理由；若上述命题为假命题，请你再添加一条件，使该命题成为真命题，并说明理由．
【答案】（1）假命题；（2）添加（答案不唯一）；证明见解析．
【分析】（1）本问考查真假命题的判定以及平行线的判定，利用平行线的判定方法进而判断即可；
（2）本问考查了平行线的性质和判定，正确利用平行线的判定方法求出即可．
【详解】解：（1）假命题；
由图形可知，既不是同位角也不是内错角，即使也不能得到，故该命题为假命题；
故答案为：假命题
（2）添加（答案不唯一）；
∵
∴.
又∵
∴，
即
∴．
4.如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
(1)这三个命题中，真命题有______个；
(2)选择一个真命题，并且完成证明过程．
【答案】(1)3
(2)见解析
【分析】（1）利用平行线的判定和性质，进行判定即可；
（2）利用平行线的判定和性质，进行证明即可．
【详解】（1）解：这三个命题中，真命题有3个；理由见（2）
故答案为：3；
（2）已知，，求证：．
证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
已知，，求证：．
证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
已知，，求证：．
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
5.如图，在中，点是上的一点，
(1)给出以下3个条件：①是角平分线，②，③与平行；从中选择两个作为条件，另外一个作为结论．你选择的条件是______，结论是______（填序号）；
(2)请证明你的结论．
【答案】(1)①②，③
(2)见解析
【分析】（1）从3个条件中选两个作为条件，一个结论即可解答；
（2）根据角平分线的定义、等量代换可得，再根据内错角相等、两直线平行即可解答．
【详解】（1）解：可以选①②作为条件，③作为结论．
故答案为：①②，③（答案不唯一）．
（2）证明：∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴与平行．
6.如图，已知：点G、点D和点F分别在和上，于E．给出下面三个条件：
①；②；③．
请你在以上三个条件中选两个作为添加的已知条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（如果不止一个，请用小括号标序号），并任选其中一个真命题证明．（解题书写格式：解：真命题：（1）如果，那么；（2）……．选（x）证明如下：……）
【答案】命题见解析，证明见解析
【分析】由题意知，符合条件的真命题有三个：（1）如果，，，那么；（2）如果，，，那么；（3）如果，，，那么；证明（1），由，可得，，由，可得，即，进而可证．
【详解】解：由题意知，符合条件的真命题有三个：
（1）如果，，，那么；
（2）如果，，，那么；
（3）如果，，，那么；
证明（1），过程如下：
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
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5.3.2 命题、定理、证明
一、命题
1.命题的定义：判断一件事情的语句叫作命题。
2.命题的组成：命题由题设和结论两部分组成。
3.命题的表达形式：命题通常写成：“如果……那么……”的形式。“如果”后面接的是题设部分，“那么”后面接的部分是结论。
4.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫作真命题。
5.假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题叫作假命题。
二、公理、定理与证明
1.公理：从实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据的真命题。
2.定理：经过推理证实的真命题叫作定理，它可以作为继续推理的依据。
3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明。
4.举反例：判断一个命题是假命题，一般举反例说明，它符合命题的题设，但不满足结论。
选择题
1.下列命题：①内错角相等；②相等的角是对顶角；③同旁内角互补，两直线平行；④一个角的余角一定大于这个角．其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.能说明命题“对于任何实数”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
3.下列语句是命题的是（ ）
A．画一条直线 B．正数都大于零
C．同位角相等吗？ D．明天晴天吗？
4.下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．若数a、b满足，则
C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．垂线段最短
5.下列命题是真命题的是（ ）
A．在平面直角坐标系中，点在轴上
B．同旁内角互补
C．一次函数中，随着的增大而减小
D．的算术平方根是
6.下列命题中是真命题的为（ ）
A．两锐角之和为钝角 B．两锐角之和为锐角
C．钝角大于它的补角 D．锐角大于它的余角
7.命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短．其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.下列语句中，不是命题的是（ ）
A．x一定小于吗 B．两点之间线段最短
C．等腰三角形是轴对称图形 D．对顶角相等
填空题
1.命题：若两个数相等，则它们的绝对值相等是 （填“真”或“假”）命题．
2.命题“同角的补角相等”是 命题．写成“如果…那么…”的形式 ．
3.写出命题“直角三角形只有两个锐角”的逆命题 ．
4.“平行于同一条直线的两条直线平行”这个命题的条件是 ．
5.“若，则，”是 命题（选填“真”或“假”）.
解答题
1.如图，已知两平行直线、被直线所截，射线、分别平分和．
(1)判断与之间的位置关系，并证明你的结论；
(2)由（1）的结论可以得到一个命题：如果（ ），那么（ ）．
2.（1）如图，，，．求证：；
（2）若把（1）中的“”与结论“”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由；
（3）若把（1）中的“”与结论“”对调呢？
3.（1）如图，“若，则”该命题是______（填“真命题”或“假命题”）．
（2）若上述命题为真命题，请说明理由；若上述命题为假命题，请你再添加一条件，使该命题成为真命题，并说明理由．
4.如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
(1)这三个命题中，真命题有______个；
(2)选择一个真命题，并且完成证明过程．
5.如图，在中，点是上的一点，
(1)给出以下3个条件：①是角平分线，②，③与平行；从中选择两个作为条件，另外一个作为结论．你选择的条件是______，结论是______（填序号）；
(2)请证明你的结论．
6.如图，已知：点G、点D和点F分别在和上，于E．给出下面三个条件：
①；②；③．
请你在以上三个条件中选两个作为添加的已知条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（如果不止一个，请用小括号标序号），并任选其中一个真命题证明．（解题书写格式：解：真命题：（1）如果，那么；（2）……．选（x）证明如下：……）
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