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八年级数学下册 预习篇
17.1 勾股定理
1.勾股定理
（1）文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）符号语言：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 ；
（3）勾股定理的变式：
3.勾股定理的应用
(1)已知直角三角形的两边，求第三边；
(2)表示长度为无理数的线段；
(3)在数轴上作出表示无理数的点；
（4）勾股定理的应用： 。
①利用勾股定理解题时应注意：一要确定直角三角形；二要分清直角边和斜边
②勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
选择题
1.以下三组数中是勾股数的一组是（ ）
A．6，7，8 B．2，3，4 C．，， D．5，12，13
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数，勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、因为，所以它们不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、因为，所以它们不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、因为，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项错误；
D、，所以它们是勾股数，故本选项正确；
故选：D．
2.如图是一个长方体包装盒，高为，底面是正方形，边长为，现需用绳子装饰，绳子从出发，沿长方体表面绕到处，则绳子的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平面展开——最短路径问题，把长方体右边的表面展开，连接，则就是绳子的最短时经过的路径，然后根据勾股定理求解，利用两点之间线段最短的性质，将长方体右边的表面展开是解题的关键．
【详解】如图，
将长方体右边的表面翻折（展开），连接，显然两点之间线段最短，为点到点的最短距离，由勾股定理知：
，
∴，即绳子最短为，
故选：．
3.已知点M在y轴上，点，若线段的长为5，则点M的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了用勾股定理求两点之间的距离，先设出点M的坐标，根据直角三角形三边的关系得到一个等式，求出结果即可，注意分情况讨论是解题的关键．
【详解】解：当点M位于y轴正半轴时，此时设点，过点P作y轴的垂线交y轴于一点N，如图所示：
，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
解得，
此时点；
当点M位于y轴负半轴时，此时设点，过点P作y轴的垂线交y轴于一点N，如图所示：
，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
解得，
此时点，
综上点M的坐标为或，
故选：D．
4.已知是某直角三角形的三边长，若，，则下列关于c的说法中，正确的是（）
A．c的值只能为 B．c的值只能为
C．c的值为或 D．c的值有无限多个
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，分两种情况讨论是解本题的关键．分两种情况：①当为直角边时，②当为直角边，利用勾股定理求出第三边长即可．
【详解】解∶分两种情况∶①当为直角边时，；
②当为直角边，为斜边时，．
故选∶C．
5.如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，如果正方形和正方形的面积分别为和，那么正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理直接求解即可，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为和，
∴，，
∵，
∴，
∴正方形的面积为，
故选：．
6.如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．若已知，则的值为（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．过F作于D，先证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可．
【详解】解：过F作于D，连接，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
同理可证，
∴．
由可得：，
∴，
∵，即，且，，
∴，又，
又，
∴四边形是长方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
∴
．
故选：A．
7.在中，，，，求的长（ ）
A．4 B．2 C．4或6 D．2或4
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的特征，过点A作于点D，然后进行分类讨论：当点B和点C在两侧时，当点B和点C在同侧时，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：过点A作于点D，
当点B和点C在两侧时，
∵，，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
当点B和点C在同侧时，
同理可得：，
∴，
综上：的长为2或4，
故选：D．
8.如图，与均为直角三角形，且，，，点E是BD的中点，则AE的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质．延长交的延长线于点，先证和全等，得出，，于是求出的长，在中利用勾股定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】解：延长交的延长线于点，
，
∴，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
在中，由勾股定理得，
，
故选：B．
填空题
1.葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高为时，这段葛藤的长为 ．
【答案】2.6
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可．
【详解】解：如图所示：
，
∴这段葛藤的长．
故答案为：．
2.如图，在平面直角坐标系中，已知、．现将折叠，使点A落在边的点处，折痕为，其中点C在y轴上，点D在边上，当是以CD为底的等腰三角形时，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查直角三角形中的翻转变换，等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
【详解】解：∵是以为底的等腰三角形，
∴，，
∵以为折痕，翻折得到，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
3.如图，在四边形中，、为对角线，，，，若，的面积为2，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件得出，过点作于点，设交于点，根据三角形的面积求得，构造等腰直角三角形，进而额电池的长，即可求解．
【详解】解：∵，设，，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴
如图所示，过点作于点，设交于点，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵
∴，
∵的面积为2，
∴
∴，则，
在中，，
如图所示，作关于的对称点，连接，交于点，
∵，则是等腰直角三角形，
则，
设，则，
在中，
解得：或（舍去）
∴
∴，
故答案为：．
4.已知中，，将它其中一个锐角沿着某条直线翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，则的长为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，分当锐角B翻折时，点B与点D重合，当锐角A翻折时，点A与点D重合，两种情况根据折叠前后对应线段相等，在中利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图，当锐角B翻折时，点B与点D重合，
由折叠的性质可得，
D为的中点，
，
设，则，
在中，由勾股定理得
，
解得
；
如图，当锐角A翻折时，点A与点D重合，
由折叠的性质可得，
D为的中点，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得
故答案为：或．
5.如图，在中，，，是等边三角形，，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理和角所对直角边是斜边的一半，过作于点，则，从而可得出，再根据等边三角形的性质得到，最后用勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】如图，过作于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴
∴，解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
解答题
1.如图，在矩形中，，，点E在上，等于，，连接．作，垂足为M．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理：
（1）根据证明即可得到结论；
（2）由勾股定理求出，由得，由勾股定理得，故可得，再根据勾股定理得．
【详解】（1）∵四边形为矩形，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
即．
又∵，
∴．
∴．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，．
在中，．
∴．
在中，．
2.如图，是一棵古老的大树，其两侧各有一根斜拉的绳子，经测量，于点B，米，米，米，请你求出绳子的长．
【答案】米
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，由可得两个直角三角形，由米，米可得米，由米结合勾股定理即可求解．
【详解】解：于点B，
．
米，米，
米
又米，
米．
3.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为“双腰三角形”．
(1)如图1，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证是的双腰分割线．
(2)如图2，已知中，，是的双腰分割线，且，求的度数，
(3)在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理
（1）由线段垂直平分线的性质可得，可得，由外角的性质可得，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可得，即可求解；
（3）由勾股定理列出方程，可求解．
【详解】（1）证明：线段的垂直平分线交于点，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条双腰分割线；
（2）解：是三角形的双腰分割线，且．
，
，
，
；
（3）解：过点作于点，
，
，
设为，
中，，
中，，
，
解得，，
．
4.如图，在中，，，点在线段上，连接，点在的延长线上且．
(1)求证：；
(2)点关于直线的对称点为，连接、、，用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（）由，得到，由得到，根据，即可求证；
（）：过点作，证明，得到，，由勾股定理得到，根据即可求证；
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：．
理由：过点作，交于点M，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
故．
5.如图，在等腰中，，点O是的中点，边的长为，将一块边长足够大的三角板的直角顶点放在O点处，将三角板绕点O旋转，始终保持三角板的直角边与相交，交点为点D，另一条直角边与相交，交点为点E，求等腰直角三角形的边被三角板覆盖部分的两条线段与的长度之和．
【答案】10
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理．
连接，根据等腰可求得，再由“三线合一”与“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求得，，由 ，，得到，从而通过“”证明，得到．在等腰中，根据勾股定理求得，从而．
【详解】连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在等腰中，点O是的中点，
∴，，
，，
∴，，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
∵在等腰中，，，
∴，即，
∴，
∴．
6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线成轴对称的；
(2)在直线上找一点，使得的周长最小；
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】本题考查了作图-轴对称变换，勾股定理，轴对称-最短路线问题，利用网格求三角形面积．
（1）根据轴对称的性质即可在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）连接交直线l一点P，即可使得的周长最小；
（3）根据网格利用割补法即可求的面积．
【详解】（1）解：如图即为所求，
（2）如图，点P即为所求；
（3）．
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八年级数学下册 预习篇
17.1 勾股定理
1.勾股定理
（1）文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）符号语言：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 ；
（3）勾股定理的变式：
3.勾股定理的应用
(1)已知直角三角形的两边，求第三边；
(2)表示长度为无理数的线段；
(3)在数轴上作出表示无理数的点；
（4）勾股定理的应用： 。
①利用勾股定理解题时应注意：一要确定直角三角形；二要分清直角边和斜边
②勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
选择题
1.以下三组数中是勾股数的一组是（ ）
A．6，7，8 B．2，3，4 C．，， D．5，12，13
2.如图是一个长方体包装盒，高为，底面是正方形，边长为，现需用绳子装饰，绳子从出发，沿长方体表面绕到处，则绳子的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
3.已知点M在y轴上，点，若线段的长为5，则点M的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
4.已知是某直角三角形的三边长，若，，则下列关于c的说法中，正确的是（）
A．c的值只能为 B．c的值只能为
C．c的值为或 D．c的值有无限多个
5.如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，如果正方形和正方形的面积分别为和，那么正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
6.如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．若已知，则的值为（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
7.在中，，，，求的长（ ）
A．4 B．2 C．4或6 D．2或4
8.如图，与均为直角三角形，且，，，点E是BD的中点，则AE的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
填空题
1.葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高为时，这段葛藤的长为 ．
2.如图，在平面直角坐标系中，已知、．现将折叠，使点A落在边的点处，折痕为，其中点C在y轴上，点D在边上，当是以CD为底的等腰三角形时，点的坐标为 ．
3.如图，在四边形中，、为对角线，，，，若，的面积为2，则的长为 ．
4.已知中，，将它其中一个锐角沿着某条直线翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，则的长为 ．
5.如图，在中，，，是等边三角形，，则 ．
解答题
1.如图，在矩形中，，，点E在上，等于，，连接．作，垂足为M．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
2.如图，是一棵古老的大树，其两侧各有一根斜拉的绳子，经测量，于点B，米，米，米，请你求出绳子的长．
3.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为“双腰三角形”．
(1)如图1，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证是的双腰分割线．
(2)如图2，已知中，，是的双腰分割线，且，求的度数，
(3)在（2）的条件下，若，，求的长．
4.如图，在中，，，点在线段上，连接，点在的延长线上且．
(1)求证：；
(2)点关于直线的对称点为，连接、、，用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由．
5.如图，在等腰中，，点O是的中点，边的长为，将一块边长足够大的三角板的直角顶点放在O点处，将三角板绕点O旋转，始终保持三角板的直角边与相交，交点为点D，另一条直角边与相交，交点为点E，求等腰直角三角形的边被三角板覆盖部分的两条线段与的长度之和．
6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线成轴对称的；
(2)在直线上找一点，使得的周长最小；
(3)求的面积．
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