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八年级数学下册 预习篇
17.2 勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足d+b>ee2，那么这个三角形是直角三角形。
2.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck(k是正整数)也是一组勾股数.
3.勾股定理的逆定理的应用
运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：
(1)先确定最长边，算出最长边的平方；
(2)计算另两边的平方和；
(3)比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形.
4.互逆命题
（1）一般地，如果两个命题的题设、结论正好相反，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（2）每个命题都有逆命题，说逆命题时只需将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
选择题
1.以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．，3，5 C．1，2，3 D．2，3，4
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，
∴三边长为1，，，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵，
∴三边长为，3，5，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴三边长为1，2，3，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴三边长为2，3，4，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2.如图，P是等边三角形内的一点，连接，，，以为边作，且，，，，连接．连接，则下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
连接，证明为正三角形．得出，，根据等边三角形的性质利用判定，得出，，证出，得出，则可得出结论．
【详解】解：连接，
，，
为正三角形．
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，
是直角三角形，
，
，
，
若，则，
由题意可知，，
故①②③正确，
故选：C．
3.在中，，，，则最长边上的高为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了与三角形高有关的计算、勾股定理的逆定理，先判断出三角形为直角三角形，然后根据三角形面积相等得到最长边上的高，熟练运用定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
即，
满足，
∴是以为直角的直角三角形，
设最长边上的高为，
根据，
解得，
故选：C．
4.满足下列条件的，其中是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】解：A、，，
∴最大角为，
不是直角三角形，
故该选项不符合题意；
B、设分别为，
，
，
是直角三角形，
故本选项符合题意；
C、，
∴不符合三角形三边关系，
故本选项不符合题意；
D、，
，
不是直角三角形，
故该选项不符合题意；
故选：B．
5.若某三角形的三边长分别为5，12，13，则该三角形的面积是（ ）
A．65 B．60 C．30 D．15
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．先判断是直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形的面积．
故选：C．
6.由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和．根据勾股定理的逆定理可以判断A、B、C，根据三角形内角和可以判断D．
【详解】解：由，可得，则，即由线段，，组成的三角形是直角三角形，故选项A不符合题意；
，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项B不符合题意；
，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项C不符合题意；
，最大的，故选项D中的三角形不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
7.由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，
∴线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选D．
8.两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，海里，海里，，
∵，，
∴，
∴点三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴乙船的航向为南偏东或北偏西，
故选：．
填空题
1.如图，中，，．平分．则
（1） °；
（2）点到的距离为 ．
【答案】
【分析】（1）本题根据勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，即可求解．
（2）本题过点作于点，根据证明，再根据角平分线性质得到，设，则，，最后结合勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：，，满足，
，即为等腰直角三角形，
，
故答案为：．
（2）解：过点作于点，如图所示
，
，
，
，
平分，且，
，
设，则，，
，有，
整理得，解得（舍去），，
．
故答案为：．
2.已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 度．
【答案】30
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再证明得到，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，中，，点D是延长线上一点，且，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为30度，
故答案为：30．
3.在中，的对边分别为a、b﹑c，下列条件中：①；②；③；④．能判断是符合条件的直角三角形的有 个．
【答案】3
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，逐项判断即可．
【详解】解：①由题意知，，则是符合条件的直角三角形，符合题意；
②由题意知，，则是直角三角形，但不是符合的条件形，故不符合题意；
③由题意知，则是符合条件的直角三角形，符合题意；
④由题意知，则是符合条件的直角三角形，符合题意；
即符合要求的只有3个，
故答案为：3．
4.如图，点是某景点所在位置，游客可以在游客观光车站或处乘车前往，且，因道路施工，点到点段现暂时封闭，为方便出行，在这条路上的处修建了一个临时车站，由处亦可直达处，若．则路线的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再根据勾股定理计算求解．
【详解】解：是直角三角形．
理由如下：
，，，
，，，
，
是直角三角形；
，
设，则，
由勾股定理得：，
即，
解得，
．
故答案为：．
5.如图，在中，D是边上一点， ，，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理的综合运用：先由三边的数值关系，得，根据勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴，
即，
故，
∴，
故答案为：4．
解答题
1.城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，已知，，，，试求这块可绿化的空地的面积．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴．
∵，，
∴，，
∴是直角三角形，，
∴．
答：这块可绿化的空地的面积为．
2.如图，在中，，，，点D、E分别在AB、AC上，连接DE．
(1)求证：；
(2)若为线段的垂直平分线，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方；垂直平分线上的点到两端距离相等．
（1）根据勾股定理逆定理，得出是直角三角形，即可求证；
（2）连接，根据垂直平分线的性质得出，．设，则．根据勾股定理可得，列出方程求出，则，，最后根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（2）解：连接，如图．
∵DE为线段AC的垂直平分线，
∴，．
设，则．
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
3.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，点、、均在格点上．
(1)图中线段________，________，________；
(2)求证：是直角三角形．
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，化为最简二次根式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理，即可求解；
（2）根据勾股定理逆定理，即可求解；
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：；
（2）证明：是直角三角形，理由如下：
由（1）得：，，，
∴，
∴是直角三角形
4.在中，，D为内一点．连接，，延长到点E，使得．
(1)如图1，延长到点F．使得．连接，．求证：；
(2)连接，交的延长线于点H．依题意补全图2．若．判断与位置关系．并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆定理．
（1）利用“”证明，即可得证结论；
（2）延长至点M，使，延长交于G，连接，，由（1）同理可得，得到，，由，，可得，从而有，证得，进而根据得到，得证．
【详解】（1）在和中，
∴，
∴
（2），理由如下：
延长至点M，使，延长交于G，连接，，
在和中，
∴，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
∴．
5.如图，在中，，，，点D是外一点，连接，， 且，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积
【答案】(1)5
(2)36
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
(1)利用勾股定理直接计算求解即可．
(2) 根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可．
【详解】（1）∵，，，
∴，
故得长为5．
（2）∵，，，
且，
∴，
∴四边形面积为：
=．
6.2021年是第七届全国文明城市创建周期的第一年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．
(1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】(1)测量的是点，之间的距离；理由见解析．
(2)绿化这片空地共需要元．
【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理即可判断；
（2）由（1）中的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式，最后计算费用即可．
【详解】（1）解：测量的是点，之间的距离；
依据是：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．
（2）如图，连接，
，，，
，
由勾股定理，得，
又，，
，
是直角三角形，
．
．
绿化费用为：（元）．
答：绿化这片空地共需要元．
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17.2 勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足d+b>ee2，那么这个三角形是直角三角形。
2.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck(k是正整数)也是一组勾股数.
3.勾股定理的逆定理的应用
运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：
(1)先确定最长边，算出最长边的平方；
(2)计算另两边的平方和；
(3)比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形.
4.互逆命题
（1）一般地，如果两个命题的题设、结论正好相反，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（2）每个命题都有逆命题，说逆命题时只需将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
选择题
1.以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．，3，5 C．1，2，3 D．2，3，4
2.如图，P是等边三角形内的一点，连接，，，以为边作，且，，，，连接．连接，则下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
3.在中，，，，则最长边上的高为（ ）
A．3 B．4 C． D．
4.满足下列条件的，其中是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
5.若某三角形的三边长分别为5，12，13，则该三角形的面积是（ ）
A．65 B．60 C．30 D．15
6.由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．
7.由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8.两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定
填空题
1.如图，中，，．平分．则
（1） °；
（2）点到的距离为 ．
2.已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 度．
3.在中，的对边分别为a、b﹑c，下列条件中：①；②；③；④．能判断是符合条件的直角三角形的有 个．
4.如图，点是某景点所在位置，游客可以在游客观光车站或处乘车前往，且，因道路施工，点到点段现暂时封闭，为方便出行，在这条路上的处修建了一个临时车站，由处亦可直达处，若．则路线的长为 ．
5.如图，在中，D是边上一点， ，，则的长为 ．
解答题
1.城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，已知，，，，试求这块可绿化的空地的面积．
2.如图，在中，，，，点D、E分别在AB、AC上，连接DE．
(1)求证：；
(2)若为线段的垂直平分线，求四边形的面积．
3.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，点、、均在格点上．
(1)图中线段________，________，________；
(2)求证：是直角三角形．
4.在中，，D为内一点．连接，，延长到点E，使得．
(1)如图1，延长到点F．使得．连接，．求证：；
(2)连接，交的延长线于点H．依题意补全图2．若．判断与位置关系．并证明．
5.如图，在中，，，，点D是外一点，连接，， 且，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积
6.2021年是第七届全国文明城市创建周期的第一年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．
(1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
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