2023-2024学年人教版九年级数学下册第二十六章反比例函数单元复习题（含解析）

人教版九年级数学下册第二十六章反比例函数单元复习题
一、单选题
1．反比例函数y= 的图象分别位于（　　）
A．第一、第三象限 B．第一、第四象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
2．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即： 阻力 阻力臂=动力 动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是 和 ，则动力F （单位： N）关于动力臂L（单位： ）的函数解析式正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．若 是反比例函数，则 必须满足（　　）
A． B．
C． 或 D． 且
4．点（2，3）在反比例函数 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）
A．（-2，3） B．（2，-3） C．（-3，2） D．（-3，-2）
5．已知点P（－1，3）在反比例函数的图象上，则k的值是 (　　)
A． B． C．3 D．－3
6．某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数与平均每天烧的吨数之间的函数关系是（　　）
A． B．
C． D．
7．正比例函数y＝2x和反比例函数y都经过的点是（　　）
A．（0，0） B．（1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，4）
8．已知点 ， ， 三点都在反比例函数 的图像上，则下列关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+6于B、C两点，若函数y=（x＞0）的图象△ABC的边有公共点，则k的取值范围是（　　）
A．5≤k≤20 B．8≤k≤20 C．5≤k≤8 D．9≤k≤20
10．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（　　）
A．不大于m3 B．不小于m3 C．不大于m3 D．不小于m3
二、填空题
11．若反比例函数 的反比例系数是　 　.
12．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点A，B，点P在以 为圆心，1为半径的⊙C上，Q是 的中点，若 长的最大值为 ，则k的值为　 　.
13． 如图，点在反比例函数的图象上，连接交反比例函数的图象于点，若点的横坐标为，则点的横坐标为　 　 ．
14．如图，点P在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，过P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点A，B，已知矩形PAOB的面积为3，则k＝　 　．
三、解答题
15．已知y=y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与（x﹣2）成正比例．当x=1时，y=﹣1；x=3时，y=3．求：
（1）y与x的函数关系式；
（2）当x=﹣1时，y的值．
16．如图，矩形OABC，点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，直线y=﹣x+6交边BC于点M（m，n）（m＜n），并把矩形OABC分成面积相等的两部分，过点M的双曲线y=（x＞0）交边AB于点N．若△OAN的面积是4，求△OMN的面积．
17．已知y=y1﹣y2，y1与x2成正比例，y2与x+3成反比例，当x=0时，y=2；当x=2时，y=0，求y与x的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
18．已知y是x的反比例函数，且当x=2时，y=﹣3，请你确定该反比例函数的解析式，并求当y=6时，自变量x的值．
四、综合题
19．如图，直线y= x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα= ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）求S△OAB．
20．已知点（﹣2，3）在反比例函数y 的图象上.
（1）求k的值；
（2）已知a＞0，且a≠1，A（a，y1）与B（a﹣1，y2）两点都在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小.
21．已知反比例函数y= 和一次函数y=﹣x+a﹣2（a为常数）
（1）当a=0时，求反比例函数与一次函数的交点坐标．
（2）当反比例函数与一次函数有两个交点时，请确定a的范围．
22．如图，在中，，点P从点B出发，沿折线运动，当它到达点A时停止，设点P运动的路程为点Q是射线CA上一点，，连接设，.
（1）求出，与x的函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）补全表格中的值；
x 1 2 3 4 6
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在x的取值范围内画出的函数图象：
（3）在直角坐标系内直接画出函数图象，结合和的函数图象，求出当时，x的取值范围.
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，A点坐标为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）已知，若的面积为10，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵反比例函数 y= ，
k=6>0，
∴图象经过第一、第三象限象限.
故答案为：A.
【分析】反比例函数 y= （k≠0），当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过二、四象限；依此解答即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂.
小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1500N和0.4m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂L（单位：m）的函数解析式为：1500×0.4=FL，
则F= .
故答案为：C.
【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而将已知量代入得出函数关系式.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：根据反比例函数的定义，有m(m-3)≠0，所以m≠3且m≠0.
故答案为：D
【分析】形如y=(k≠0，k为常数)的式子，叫做反比例函数。根据反比例函数的定义可得m(m-3)≠0，解不等式即可求解。
4．【答案】D
【解析】【解答】k=2 3=6，
A.-2 3=-6，该点不在反比例函数 的图象上；
B.2 （-3）=-6，该点不在反比例函数 的图象上；
C.-3 2=-6，该点不在反比例函数 的图象上，
D.-3 (-2)=6，该点在反比例函数 的图象上，
故答案为：D.
【分析】计算k值相等即可判断该点在此函数图象上.
5．【答案】D
【解析】【分析】根据点在曲线图上点的坐标满足方程的关系，把P（1，3）代入，得，即.
故选D
6．【答案】A
【解析】【解答】总共有300吨煤，平均每天烧的吨数为x，
煤能烧的天数为
故答案为：A.
【分析】根据煤能烧的天数=煤的总吨数平均每天烧煤的吨数，即可求解.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：联立得：，
解得，
∴解得或
∴正比例函数和反比例函数都经过（1，2）或（-1，-2），
故答案为：B．
【分析】联立方程组即可求出交点坐标，即可得到答案。
8．【答案】C
【解析】【解答】∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】由非负性的性质得出，再由反比例函数的性质得出 ， ，由此即可得出。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+6于B、C两点，
∴点B的纵坐标为5，点C的横坐标为4，
将y=5代入y=﹣x+6，得x=1；将x=4代入y=﹣x+6得，y=2，
∴点B的坐标为（1，5），点C的坐标为（4，2），
∵函数y=（x＞0）的图象与△ABC的边有公共点，点A（4，5），点B（1，5），点B（4，2），
∴1×5≤k≤4×5
即5≤k≤20，
故选A．
【分析】根据题意可以分别求得点B、点C的坐标，从而可以得到k的取值范围，本题得以解决．
10．【答案】B
【解析】【解答】解：设球内气体的气压P(kPa)和气体体积V(m3)的关系式为，
∵图象过点(1.5，64)，
∴
解得：k=96，
即.
在第一象限内，P随V的增大而减小，
∴当时，即时，气球才不会爆炸.
故答案为：B.
【分析】设P与V的关系式为p=，将(1.5，64)代入可得k的值，据此可得函数关系式，令p≤144，求出V的取值范围，然后结合反比例函数的性质进行求解.
11．【答案】-3
【解析】【解答】解：∵ ，
∴反比例函数 的比例系数是-3.
故答案为：-3.
【分析】在反比例函数y=中，比例系数为k，据此解答.
12．【答案】
【解析】【解答】解：连接BP，
由对称性得：OA=OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ=BP，
∵OQ长的最大值为 ，
∴BP长的最大值为 ×2=3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B(t，2t)，则CD=t ( 2)=t+2，BD= 2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：；BC2=CD2+BD2，
∴22=(t+2)2+( 2t)2，
t=0(舍)或 ，
∴B( ， )，
∵点B在反比例函数y= (k>0)的图象上，
∴k= ×( )= ；
故答案为： .
【分析】连接BP，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，设B(t，2t)，在Rt△BCD中，由勾股定理可得关于t的方程，解方程求得t的值，于是可得点B的坐标，再把点B的坐标代入反比例函数的解析式计算可求解.
13．【答案】
【解析】【解答】将x=3代入，可得，
∴点A的坐标为（3，），
设直线OA的解析式为y=mx，
将点A（3，）代入y=mx，可得，
解得：，
∴直线OA的解析式为：，
联立方程组可得：，
∴，
解得：，
∴点B的横坐标为，
故答案为：.
【分析】先求出点A的坐标，再求出直线OA的解析式，联立方程组，再求出x的值，即可得到点B的横坐标.
14．【答案】﹣3
【解析】【解答】解：∵S矩形PAOB=3，
∴|k|=3，
∵图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴k=-3，
故答案为：-3．
【分析】根据反比例函数k的几何意义可得|k|=-3，再根据图象在二、四象限可确定k＜0，进而得到解析式．
15．【答案】解：（1）∵y=y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与（x﹣2）成正比例，
∴设出y1=，y2=k2（x﹣2），（k1≠0，k2≠0），则y=+k2（x﹣2），
把当x=1时，y=﹣1；x=3时，y=3代入得：
，
解得： ，
∴y=+k2（x﹣2）=+（x﹣2）=+x﹣5；
（2）当x=﹣1时，y=+x﹣5=﹣﹣﹣5=﹣9．
【解析】【分析】（1）根据题意设出y1=，y2=k2（x﹣2），（k1≠0，k2≠0），再表示出函数解析式y=+k2（x﹣2），然后利用待定系数法把当x=1时，y=﹣1；x=3时，y=3代入，计算出k1，k2的值，进而得到解析式；
（2）利用（1）中所求算出y的值即可．
16．【答案】解：∵点M、N在双曲线y=（x＞0）上，
∴S△OCM=S△OAN=4，
∴mn=4，
∴mn=8，
∵点M（m，n）在直线y=﹣x+6上，
∴﹣m+6=n，
∴
解得：或（舍去）
∵直线y=﹣x+6分矩形OABC面积成相等的两部分，
∴直线y=﹣x+6过矩形OABC的中心，
设B（a，4）
∴E（，2）
∴+6=2
∴a=8，
∴OA=BC=8，AB=OC=4，BM=6，BN=3，
∴S△OMN=S矩形OABC﹣S△OCM﹣S△BMN﹣S△OAN=32﹣4﹣9﹣4=15．
【解析】【分析】由反比例函数性质求出S△OCM=S△OAN=4，得到mn=8，根据点M（m，n）在直线y=﹣x+6上，得到﹣m+6=n，联立解方程组，得m、n的值，再根据直线y=﹣x+6分矩形OABC面积成相等的两部分，求出点B的坐标，进而求出OA=BC=8，AB=OC=4，BM=6，BN=3，由S△OMN=S矩形OABC﹣S△OCM﹣S△BMN﹣S△OAN计算即可．
17．【答案】解：设y1=k1x2成正比例，y2= ，则y=k1x2﹣ ，根据题意得 ，
解得 ，
所以y=﹣ x2+ ，
指出自变量x的取值范围为x≠﹣3
【解析】【分析】先y1=k1x2成正比例，y2= ，则有y=k1x2﹣ ，再把x=0，y=2；x=3，y=0分别代入得到k1与k2的方程组，然后解方程组即可．
18．【答案】解：设反比例函数y= （k≠0），
∵当x=2时，y=﹣3，
∴k=xy=2×（﹣3）=﹣6，
∴y与x之间的函数关系式y=﹣ ．
把y=6代入y=﹣ ，则x=﹣1
【解析】【分析】由题意y是x的反比例函数，可设y= （k≠0），然后利用待定系数法进行求解；把y=6代入函数解析式求得相应的x的值即可．
19．【答案】（1）解：∵直线y= x与反比例函数的图象交于点A（3，a），
∴a= ×3=4，
∴点A的坐标为（3，4），
∴k=3×4=12，
∴反比例函数解析式y=
（2）解：∵点B在这个反比例函数图象上，设点B坐标为（x， ），
∵tanα= ，
∴ = ，解得：x=±6，
∵点B在第一象限，
∴x=6，
∴点B的坐标为（6，2）
（3）解：设直线OB为y=kx，（k≠0），将点B（6，2）代入得：2=6k，解得：k= ，∴OB直线解析式为：y= x．过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如图所示：则点C坐标为（3，1），∴AC=3．
S△OAB的面积=S△OAC的面积+S△ACB的面积= ×|AC|×6=9．
∴△OAB的面积为9．
【解析】【分析】（1）由题意将点A（3，a）代入直线解析式y=x即可求得点A的坐标，用待定系数法可求反比例函数的解析式；
（2）因为点B在反比例函数图象上，可设点B的坐标为（x，），则由题意可得tanα=，解方程即可求解；
（3）过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，用待定系数法易求得直线OB的解析式为，，可得点C（3，1），所以OAB的面积=OAC的面积+ABC的面积=×|AC|×点B的横坐标。
20．【答案】（1）解：∵点（-2，3）在反比例函数 的图象上，
∴ .
（2）解：∵反比例函数为 ，其图象在二、四象限内，且在每一象限内y随x的增大而增大，
又 ，
∴①当 时，有 ，
此时点 在第四象限的图象上， ，
点 在第二象限的图象上， ，
则 ，
②当 时，有
∴ .
【解析】【分析】(1)把已知点坐标代入函数式求解即可；
(2)由于k<0，则可得出图象在二、四象限内，且在每一象限内y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论，即①当 时，②当 时， 分别求出 的范围 ，再根据反比例函数的性质解答即可.
21．【答案】（1）解：当a=0时，一次函数y=﹣x+a﹣2的解析式是y=﹣x﹣2，
联立反比例函数解析式、一次函数解析式，得 ，
解得 ．
故当a=0时，反比例函数与一次函数的交点坐标是（﹣1，﹣1）
（2）解：存在实数a，使反比例函数与一次函数有两个交点，
联立反比例函数解析式、一次函数解析式，得 ．
由方程组有2组解，得
x2﹣（a﹣2）x+1=0有两个不相等的实数根．
△=[﹣（a﹣2）]2﹣4＞0，
解得a＜0或a＞4．
故a的范围是a＜0或a＞4
【解析】【分析】（1）根据a的值，可得一次函数的解析式，联立反比例函数与一次函数的解析式，可得方程组，解方程组，可得交点坐标；（2）联立反比例函数与一次函数的解析式，可得方程组，根据反比例函数与一次函数有两个交点，可得方程组有2组解，根据一元二次方程的判别式，可得答案．
22．【答案】（1）解：由题意可得，
，
当时，，
当时，，
即，；
（2）解：12；6；4；3；2；
在x的取值范围内画出的函数图象如图所示；
（3）解：，
则函数图象如图所示，
当时，得；当时，；
则由图象可得，当时，x的取值范围是.
【解析】【解答】解：（2），
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；
故答案为12，6，4，3，2；
【分析】（1）利用三角形的面积公式，可得到y1与x的函数解析式，分情况讨论：当0＜x≤4时，y2与x的函数解析式；当4＜x≤7时，y2与x的函数解析式.
（2）根据（1）中的函数解析式，先求出对应得y的值，利用描点法画出函数图象.
（3）分别求出两个函数图象的交点坐标，利用交点的横坐标，可得到y1＜y2时的x的取值范围.
23．【答案】（1）解：将点 代入 得： ，
解得 ，故反比例函数的解析式为 ；
将点 代入 得： ，
解得 ，故一次函数解析式为： ；
（2）解：联立 ，化简得 ，解得 或 ，
故 ，
时， ，一次函数 与 轴交点为 ，
，
，
解得 或 ．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可。