湖南省2009届高三数学月考模拟分类汇编

湖南省2009届高三数学月考模拟分类汇编——平面向量
一、选择题
1、（2009衡阳四校联考）设O、A、M、B为平面上四点，，且，则
A．点M在线段AB上 B点B在线段AM上w.w.w.k.s.5.u.c.o.
C．点A在线段BM上 D．O、A、B、M四点共线
B
2、（2009湘潭市一中12月考）若向量，，数列满足，则是（ ）
A、等差数列 B、等比数列
C、既是等差数列，又是等比数列 D、既不是等差数列，又不是等比数列
A
3、（2009雅礼中学第四次月考）．向量满足与的夹角为60°，则
Ａ．1 　　　 Ｂ． 　　　 Ｃ． w.w.w.k.s.5 u.c.o.m Ｄ．
B
4、（2009岳阳一中第四次月考）己知向量，，则与高考资源网版权所有 （ D ）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
D
5、（2009岳阳一中第四次月考）.已知△中，，，，，，则高考资源网版权所有
A.． B ． C． D． 或 （ C ）
C
6、（2009岳阳一中第四次月考）设点是所在平面内一点，若满足，则点必为的 A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 ( D )
D
二、填空题
1、（2009长郡中学第六次月考）△ABC的三内角所对边的长分别为设向量,，若，则角的大小为
2、（2009长沙一中期末）设定义域为[x1，x2]的函数y＝f（x）的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量＝（x1，y1），＝（x2，y2），＝（x，y），满足x＝λx1＋（1－λ）x2（0＜λ＜1），又有向量＝λ＋（1－λ），现定义“函数y＝f（x）在[x1，x2]上可在标准k下线性近似”是指||≤k恒成立，其中k＞0，k为常数。根据上面的表述，给出下列结论：①A、B、N三点共线；②直线MN的方向向量可以为＝（0，1）；③“函数y＝5x2在[0，1]上可在标准下线性近似”．④“函数y＝5x2在[0，1]上可在标准1下线性近似”； 其中所有正确结论的序号为_______________．、、
3、（2009衡阳四校联考）已知两个向量集合，
，若，则的取值范围是
（4、2009衡阳四校联考）已知，是原点，点的坐标满足。则（1）的最大值为 ； （2）的取值范围是 （1） ； （2） 　
5、（2009岳阳一中第四次月考）P1，P2，P是共线三点，点P分有向线段所成的比为λ，试求点P1分有向线段所成的比λ1= -1- ．
三、解答题
1、（2009长郡中学第六次月考）已知向量, ，，设函数
（Ⅰ）求函数的最大值及相应的自变量x的取值集合；
（II）当且时，求的值。
16、解：（Ⅰ），，
………………………………1分
……………………3分
………………………………4分
函数取得最大值为. ………………………5分
相应的自变量x的取值集合为{x|（Z）} …………………6分
（II）由得，即
因为,所以，从而………………8分
于是
-………………………………12分
2、（2009长沙一中期末）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若且的值．
【解析】（1）， …………1分
，
． …………3分
即， ． …………5分
， ∴，
∴△ABC为等腰三角形． …………7分
（2）由（1）知，
． …………10分
， ． …………12分
3、（2009常德期末）已知向量=(+,-),,∥,其中A、B、C为△ABC的内角, 、、分别是角A、B、C所对的边.
(1)求角C的大小; (2)求满足不等式的角A的取值范围.
(1)∵m∥n, ∴(+)(sin A-sin C)= (-)(sin B)………………2分
∴(+)(-)=(-),即 ……………………4分
∴,∴.…………………………………6分
(2) ∵,∴,
即,∴,………10分
∴.…………………………………12分
4、（2009岳阳一中第四次月考）已知向量，（）
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）求的最大值．
解：（Ⅰ）若，则
由此得 ，所以
（Ⅱ）由,得
=
=｜
当时，取得最大值，
即当时，最大值为
第 1 页 共 4 页湖南省2009届高三数学月考模拟分类汇编——函数
一、选择题
1、（2009长郡中学第六次月考）已知函数是连续函数，则实数的值是（ ）
A． w.w.w.k.s.5 u.c.o.m B C． D．
C
2、（2009长沙一中期末）定义在R上的偶函数满足，且在[1，0]上单调递增，设， ，，则大小关系是( D )
A． B． C． D．
D
3、（2009常德期末）函数的图象经过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象不经过
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A
4、（2009衡阳四校联考）函数 w.w.w.k.s.5 u.c.o.m的图象的大致形状是
D
5、、（2009湘潭市一中12月考）已知定义在R上的函数满足，且，，则（ ）
A、 B、 C、 D、
A
6、（2009岳阳一中第四次月考）函数的图象大致是高考资源网版权所有 ( D )
二、填空题
1、（2009长郡中学第六次月考）定义区间的长度为,已知函数的定义域为,值域为,则区间的长度的最大值与最小值的差为 .3
2、（2009长沙一中期末）已知函数的反函数，若，则的值为 ．
2
3、（2009常德期末）已知函数满足对恒成立，且，则 ．
1004
4、（2009湖南师大附中第四次月考）已知最小正周期2的函数y=f(x)，当x∈[ -1，1]时,
f(x)= ,则函数y=(x),（ x∈R）的图象与y=/ /的图象交点个数为 。
5
5、（2009雅礼中学第四次月考）已知定义在上的单调函数满足：存在实数，使得对于任意实数，总有恒成立，则（i）＿＿＿；（ii）的值为＿＿＿＿；
0,　1
三、解答题
1、（2009常德期末）已知变量，满足关系式 (a>0且a≠1，t>0且t≠1) ，变量．
(1)求关于的函数表达式；
(2)若（1）中确定的函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围。
解：
(1）由loga得logat－3=logty－3logta
由t=ax知x=logat，代入上式得x－3=, …………………3分
∴logay=x2－3x+3，即y=a (x≠0)。 ………………………………6分
(2)令u=x2－3x+3=(x－)2+ (x≠0)，则
解法一：若函数是增函数，则有或…9分
若函数是减函数，则有或
综合得的取值范围：………………………………12分
解法二：函数是单调函数
2、（2009湖南师大附中第四次月考）已知f(x)=az-lnx,，x∈(0，e]，g(x) =，其中e是自然常数，a∈R
(1)讨论a=1时，f(x)的单调性、极值；
(2)求证：在(1)的条件下，/f(z)/>g(x)+ ;
(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：
(1)
当1〈x≤e时，f’(x)>0,此时单调递减（3分）
当f（x）有极小值为f(1)=1(4分)
（2）（6分）
（7分）
（9分）
（10分）
，所以，此时f(x)无最小值（11分）
满足条件（12分）
综上，存在实数a，使f(x)的最小值是3
3、（2009湘潭市一中12月考）已知函数是定义在R上的奇函数，且时，函数取极值1．
(1)求的值；
(2)若，求证：；
(3)求证：曲线上不存在两个不同的点，使过两点的切线都垂直于直线．
解：(1)函数是定义在R上的奇函数,
即对于恒成立，.
,
时，函数取极值1. ∴,
解得: ． ……………………………………………4分
(2),,
时,上是减函数, ……………6分
即，则,
当时,．…9分
(3)设,
，过两点的切线平行,
．
， 则, ,
由于过点的切线垂直于直线,
∴，∵的方程无解．
曲线上不存在两个不同的点,使过两点的切线
都垂直于直线．……………………………………………13分
4、（2009雅礼中学第四次月考）已知函数．点均在函数
的图象上，且，其公差为．
（１）判断函数是否有极值，并说明理由；
（２）求证：△ABC是钝角三角形；
（３）求△ABC面积的最大值．
解：（１）因为 ，所以，且，
即函数在上是单调减函数，故函数没有极值．……………3分
（２）证明：据题意且x1由（１）知f (x1)>f (x2)>f (x3), x2= ，
，
，
，
，即⊿是钝角三角形． ………………………8分
（３）取线段的中点为，．
由已知得，
所以
又，，
所以． ………………………………11分
令，则，
所以当时，则，即得当时，为增函数；
当时，w.w.w.k.s.5 u.c.o.m则，即得当时，为减函数．
由函数是上的连续函数知当时有．
所以△ABC面积的最大值为． ……………13分
（另解）
。
5、（2009岳阳一中第四次月考）设函数为实数。
（1）已知函数在处取得极值，求的值；
（2）已知不等式都成立，求实数的取值范围。
解：（1）
（2）由题有
当a>0时，恒成立
令
为增函数
只需成立即可，
的取值范围是
O
y
x
第 1 页 共 7 页湖南省2009届高三数学月考模拟分类汇编——三角函数
一、选择题
1、（2009长郡中学第六次月考）下列命题：
①若是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，，则
；
②若锐角、满足 则; w.w.w.k.s.5 u.c.o.m
③在中，“”是“”成立的充要条件;
④要得到函数的图象, 只需将的图象向左平移个单位.
其中真命题的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
B
2、（2009长沙一中期末）函数f(x)=sin2x+在区间上的最大值是 ( C )
A.1 B w.w.w.k.s.5 u.c.o.m C. ( http: / / www. / ) D.1+
C
3、（2009常德期末）若函数的图象过点，则它的一条对称轴方程可能是
A. B. C. D.
C
4、（2009衡阳四校联考）已知函数，则是
A．最小正周期为的奇函数w.w.w.k.s.5 u.c.o.m B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
D
5、（2009湖南师大附中第四次月考）已知函数y=2sin(wx+β)为偶函数(O<βA． B. C. D.
D
6、（2009湖南师大附中第五次月考）函数的递减区间是 (A)
A． w.w.w.k.s.5 u.c.o.m B．
C． D．
A
7、（2009湘潭市一中12月考）（6）（ ）
A、 B、 C、 D、
A
8、（2009湘潭市一中12月考）（9）若△ABC的对边分别为、、C且，，，则（ ）
A、5 B、25 C、 D、
A
9、（2009岳阳一中第四次月考）将函数的图象按向量平移后的图象的函数解析式为 ( A )
A. B. C． D．
二、填空题
1、（2009常德期末）已知函数的最小正周期为 ．
2、（2009衡阳四校联考）已知是第三象限角，且，则的值是
1
三、解答题
1、（2009长郡中学第六次月考）已知函数为常数）．
（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间；
(3) 若时，的最小值为，求的值．
解:(1)
∴的最小正周期. ………………………………4分
(2) 当,
即时，函数单调递增，
故所求区间为 ………………………………8分
(3) 当时，
∴当时取得最小值,
即, ∴. ……………………………12分
2、（2009常德期末）
4、（2009衡阳四校联考）中，角所对的边分别为 且
（1）求角的大小
（2）若向量，向量，求的值
解：（1）∵
∴， …………………（2分）
∴，∴
∴ …（6分）
（2）∵ ∴，即
又，∴，即② ………8分
由①②可得，∴ ……………………………（10分）
又∴，∴………（12分）
3、（2009湖南师大附中第五次月考）已知函数
(I)求函数f（x）图象的对称中心与对称轴；
(Ⅱ)求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．
解：(I)．………(2分)
因此，函数图象的对称中心为,……………………………………(4分)
对称轴为.…………………………………………………………(6分)
(Ⅱ)因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，……(10分)
故函数在区间上的最大值为，最小值为－１．………………．(12分)
4、（2009湘潭市一中12月考）在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若=，且，求．
解：（1）
又 解得．
，是锐角． ． …………6分
（2）， ， ．
又 ． ．
． ． …………12分
5、（2009雅礼中学第四次月考）已知函数， ( http: / / www. / )．
（１）求的最值和最小正周期；
（２）设，，若是的充分条件，求实数的取值范围
解：（１）
． …………………………………………………………………４分
;T=．　　 …………………………………6分（２）由题意可知: 在上恒成立
，，即，
． …………………………………………………9分
，，
且，
，即的取值范围是．　　 …………………………………12分
第 1 页 共 5 页湖南省2009届高三数学月考模拟分类汇编—集合与常用逻辑用语
一、选择题
1、（2009长郡中学第六次月考）已知集合
且,则=( )
A. B. ( http: / / www. / ) C. D.
D
2、（2009长沙一中期末）若集合，集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C充分必要条件w.w.w.k.s.5 u.c.o.m D．既不充分也不必要条件
A
3、（2009常德期末）1．设集合，则集合等于
A． B．
C． D．
C
4、（2009常德期末）已知命题p：，命题q：，则是成立的
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件w.w.w.k.s.5 u.c.o.m D.既不充分也不必要条件
B
5、（2009衡阳四校联考）已知，则是的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件w.w.w.k.s.5 u.c.o.m D．既不充分也非必要条件
B
6、（2009宁乡一中第三次月考）已知p：；q：成等比数列，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
D
7、（2009湖南师大附中第四次月考）1．“｜x｜<2”是的
A．充分而不必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充要条件 D．必要而不充分条件
A
8、（2009湖南师大附中第五次月考）a 、b为实数，集合，1｝，N=｛a，0｝，f：x→2x表示把集合M中的元素x映射到集合N中为2x，则a+b= (C)
A．一2 w.w.w.k.s.5 u.c.o.m B．0 C．2 D．±2
C
9、（2009湘潭市一中12月考）已知集合，，则（ ）
A、 B、 C、 D、
A
10、（2009湘潭市一中12月考）若：；：，则是的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分又不必要条件
D
11、（2009雅礼中学第四次月考）命题“若则”的逆否命题是
　　A．若，则　　　　 　 Ｂ．若，则
　　C．若，则 w.w.w.k.s.5 u.c.o.m　　　 Ｄ．若，则
D
12、（2009雅礼中学第四次月考）已知集合，则下列正确的是
Ａ． w.w.w.k.s.5 u.c.o.m 　Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
A
13、（2009岳阳一中第四次月考）已知全集U=R，且，,则（ C ）
A． 　　　B． 　　　　C． 　　　　　Ｄ．
C
第 1 页 共 2 页湖南省2009届高三数学月考模拟分类汇编——排列组合二项式定理极限
1、（2009长沙一中期末）高三（一）班学生要安排元旦晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）
A．1800 B3600 C．4320 D．5040
B
2、（2009常德期末）由1，2，3，4能组成被3整除且没有重复数字的三位数的个数是
A．6个 B．12个 C．18个 D．24
B
3、（2009衡阳四校联考）若（P∈R，P为常数），则a和P的值分别为
A． 0， w.w.w.k.s.5 u.c.o.m B． 1， C． D．
D
4、（2009湖南师大附中第四次月考）若的展开式中只有第六项的二项式系数最则展开式中的常数项是
A．45 B. 90 C．180 D．360
C
5、（2009湖南师大附中第五次月考）摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有 (B)
A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种
B
6、（2009湖南师大附中第五次月考）等比数列｛an｝满足，则的取值范围是 (D)
A．(一，) B．(0，) C．(0，) D．(0，)U(，)
7、（2009长郡中学第六次月考）已知
若，那么自然数n的值为（ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
B
9、（2009长沙一中期末）二项式的展开式中，常数项为第 项。
7
10、（2009湖南师大附中第五次月考）若的二项展开式中的系数为，则a= 2 (用数字作答) ．
11、（2009西南名校第一次联考）从6人中选出4人分别到崀山、韶山、衡山、张家界4个旅游景点游览，要求每个景点只有一人游览，每人只游览一个景点，且这6人中甲不去衡山景点游览，乙不去崀山景点游览，则不同的安排方案有 种。252
12、（2009湘潭市一中12月考）若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数为 。20
13、（2009张家界市11月考）的展开式中常数项为_________。（用数字表示）－42
14、（2009张家界市11月考）已知，则= （其中为虚数单位）1-i.
20070324
第 1 页 共 2 页湖南省2009届高三数学月考模拟分类汇编——数列
一、选择题
1、（2009长郡中学第六次月考）设等差数列的前项和为，已知则下列结论中正确的是（ ）
A. B
C. D.
A
2、（2009长沙一中期末）各项不为零的等差数列中，，则的值为（ B ）
A． B．4 C． D．
B
3、（2009宁乡一中第三次月考）已知，且成等差数列，成等比数列，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
D
4、（2009宁乡一中第三次月考）等差数列中，，，且，为其前项之和，则（ ）
A．都小于零，都大于零
B．都小于零，都大于零
C．都小于零，都大于零
D．都小于零，都大于零
C
二、填空题
1、（2009长郡中学第六次月考）设数列满足: , 则= .
2、（2009常德期末）在数列{an}中，a1 = 1，a2 = 2，且an +2－an = 1 + (－1)n（n∈N*），则S50 = ．675
3、（2009宁乡一中第三次月考）11、等差数列中，且，则公差= 10
4、（2009宁乡一中第三次月考）12、已知成等差数列，成等比数列，则的值是
5、（2009宁乡一中第三次月考）13、
6、（2009宁乡一中第三次月考）14、数列中，且前项和，则
7、（2009宁乡一中第三次月考）15、单个蜂巢可以近似地看作一个正六边形图形，如图所示，这是一组蜂巢的图形，设第（1）图中有1个蜂巢，第（2）图中有7个蜂巢，第（3）图中有19个蜂巢，按此规律，第(4)图中有个 蜂巢,第图中有 个蜂巢
37；
三、解答题
1、（2009长郡中学第六次月考）数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有．
(1)求数列的通项公式；
(2) 设正数数列满足，求数列中的最大项；
(3) 求证：．
解：（1）由已知：对于，总有 ①成立
∴②
①②得
∴∵均为正数，∴
∴数列是公差为1的等差数列 又=1时，， 解得=1.
∴. ………………………………………4分
（2）(解法一)由已知 ，
易得　 猜想 时，是递减数列.
令
∵当
∴在内为单调递减函数.
由.
∴时, 是递减数列.即是递减数列.
又 , ∴数列中的最大项为. ………………………………9分
(解法二) 猜测数列中的最大项为. 易直接验证;
以下用数学归纳法证明 时,
(1)当时,, 所以时不等式成立;
(2)假设时不等式成立,即,即,
当时,,
所以,即时不等式成立.
由(1)(2)知对一切不小于3的正整数都成立.
………………………………9分
(3)(解法一)当时,可证:
………………………………13分
(解法二) 时,
……………13分
2、（2009常德期末）已知数列的前n项和为且，数列满足且．
（１）求的通项公式；
（２）求证：数列为等比数列;
（３）求前n项和的最小值．
解： (1)由得, ……2分
∴ ……………………………………4分
(2)∵,∴,
∴;
∴由上面两式得,又
∴数列是以-30为首项,为公比的等比数列.…………………8分
(3)由(2)得，∴
= ，∴是递增数列 ………11分
当n=1时, <0；当n=2时, <0；当n=3时, <0；当n=4时, >0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.
且…………………………13分
3、（2009衡阳四校联考）已知等差数列的前9项和为153．
（1）求；
（2）若，从数列中，依次取出第二项、第四项、第八项，……，第项，按原来的顺序组成一个新的数列，求数列的前n项和.
解：（1） ………5分
（2）设数列 的公差为d，则
………9分
…12分
4、（2009湘潭市一中12月考）在等差数列中，公差，且，
（1）求的值．
（2）当时，在数列中是否存在一项（正整数），使得 ， ，成等比数列，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
（3）若自然数(为正整数)满足< << < <， 使得成等比数列，当时， 用表示
解：（1）在等差数列中，公差，且，
则 …………………… 3分
（2）在等差数列中，公差，且，
则
又 则 …………… 7分
（3）在等差数列中，公差，且，
则
又因为公比首项，
又因为 ………… 12分
5、（2009雅礼中学第四次月考）已知定义在上的函数满足：对任意实数，总有
恒成立，，且对任意正整数，有，．
（１）求数列的通项公式；
（２）记，，比较与的大小关系，并给出证明；
解：（１）因为，所以
又因为……………………………3分
又
． …………………6分
（２）
， …………………………8分
……………………………10分
（用数学归纳法也行）．　………13分
…………
（1）
（2）
（3）
第 1 页 共 7 页湖南省2009届高三数学月考模拟分类汇编——应用题
1、（2009雅礼中学第四次月考）一避暑山庄占地的平面图如图所示，它由三个正方形和四个三角形构成，其中三个正方形的面积分别为18亩、20亩和26亩，则整个避暑山庄占地．
Ａ．100亩 Ｂ136亩
Ｃ．亩 Ｄ．128亩
2、（2009长沙一中期末）一位救生员站在边长为100米的正方形游泳池ABCD的A处（如图），发现C处有一位溺水者．他跑到E处后，马上跳水沿直线EC游到C处，已知救生员跑步的速度为米／分，游泳的速度为米／分．试问，救生员选择在何处入水才能最快到达C处，所用的最短时间是多少？
解析:方法一： 设AE=x（米），所用时间,
．……（2分）
令
由y’=0,得,……（8分）
解得(“+”舍),……（10分）
所以时,所用时间最少.……（12分）
也即，救生员应该在AB边上距B点米处入水，才能最快到达C处，所用的最短时间为．
方法二:设，则，所以，
等号当且仅当，即，即时成立．
此时，，．
3、（2009常德期末）如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角（图中阴影部分），边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离。工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB=1米，AD=0.5米，问如何画切割线EF可使剩余部分五边形ABCEF的面积最大？
解：由条件易知，边缘线OM是以点D为焦点，直线AB为准线的抛物线的一部分。
以O点为原点，AD所在直线为y轴建立直角坐标系，则，易求得边缘线OM所在抛物线的方程为：………………………3分
要使如图的五边形ABCEF面积最大，则必有
EF所在直线与抛物线相切，设切点为
则直线EF的方程为：，即
，由此可求得点E、F的坐标分别
为：，…………………………………………… ……6分
∴，……………………8分
∵
显然函数在上是减函数，在上是增函数，∴当时，取得最小值，相应地，五边形ABCEF的面积最大。…………………………12分
此时点E、F的坐标分别为，
即沿直线EF画线段切割可使五边形ABCEF的面积最大。………………13分
4、（2009衡阳四校联考理）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2．7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且．
（1）写出年利润W（万元）关于年产品x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？
（注：年利润=年销售收入－年总成本）
解：（1）当0当x >10时， …………4分
…………………………………5分
（2）①当0当
∴当x=9时，W取最大值，且 ……9分
②当x>10时，W=98
当且仅当
综合①、②知x=9时，W取最大值．
所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大． ………12分
5、（2009衡阳四校联考文）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，
（I）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（II）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．
解：设AN的长为x米（x >2）， ∵，∴|AM|＝……2分
∴SAMPN＝|AN| |AM|＝
（I）由SAMPN > 32 得 > 32 ， ……………………………4分
∵x >2，∴，即（3x－8）（x－8）> 0
∴，即AN长的取值范围是 ………6分
（II）
……………………………10分
当且仅当，y＝取得最小值．
即SAMPN取得最小值24（平方米） …………………………………13分
6、（2009宁乡一中第三次月考）某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．
（1）把房屋总造价表示成的函数，并写出该函数的定义域.
（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？
解：（1）由题意可得，
…………………………………………………………………………4分
（2）=13000
当且仅当即时取等号。
若，时，有最小值13000。
在上是减函数
．……………………………13分
A
B
C
D
O
M
F
E
y
A
B
C
D
O
M
F
E
x
P
D
C
N
P
M
B
A
第 1 页 共 5 页湖南省2009届高三数学月考模拟分类汇编——圆锥曲线
一、选择题
1、（2009常德期末）已知抛物线与双曲线有一个相同的焦点，则动点的轨迹是
A．椭圆的一部分w.w.w.k.s.5 u.c.o.m B双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．直线的一部分
C
2、（2009常德期末）设直线l：与椭圆的交点为A、B，点P是椭圆上的动点，则使ΔPAB面积为的点P的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
D
3、（2009湖南师大附中第四次月考）若椭圆上一点P到左焦点的距离为4，则P到右准线的距离为
A.12 B．11 C．10 D. 9
B
4、（2009湖南师大附中第四次月考）直线MN与双曲线C：的左右两支分别交于M、N两点，与双曲线c的右准线交于点P，F为右焦点，若/FM/=2/FN/，又 (λ∈R)，则实数λ的值为
A． B．3 C．2 D．
A
5、（2009湖南师大附中第五次月考）在平面斜坐标系xOy中，z：xOy=120°,平面上任一点M关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的： (其中e1、分别为与x轴、y轴同方向的单位向量)，则P点斜坐标为(x,y)．那么以O为圆心，2为半径的圆在斜坐标系xOy少中的方程为 (C)
A．x2+y2+xy=4 B．x2+y2 =4 C．x2+y2－xy=4 Ｄ．以上都不是
二、填空题
1、（2009长沙一中期末）已知是抛物线的焦点，过且斜率为的直线交于两点．设，则与的比值等于 ．3
2、（2009雅礼中学第四次月考）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是＿＿．
三、解答题
1、（2009长郡中学第六次月考）如图，已知抛物线和直线，点在直线上移动，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，线段的中点为.
（1）求点的轨迹；（2）求的最小值；
（3）求证: 直线的倾斜角为定值，并求的值.
解：（1）由得，∴
设，则,
∴ 即
同理，有
∴为方程的两根
∴.
设，则 ①
②
由①、②消去得点的轨迹方程为. ………………………………6分
（2）
又 ∴当时，. ………………………………9分
（3）∵坐标为∴对任意，恒有轴，
∴的倾斜角为定值. ………………………………11分
∴
又由（2）得
∴ . ………………………………13分
2、（2009长沙一中期末）图，点为双曲线的左焦点，左准线交轴于点，点P是上的一点，已知，且线段PF的中点在双曲线的左支上.
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）若过点的直线与双曲线的左右
两支分别交于、两点，设，当
时，求直线的斜率的取值范围.
（Ⅰ）设所求双曲线为：.其左焦点为F（-c。0）；左准线：.…（1分）
由，得P（，1）；由（3分）
FP的中点为.代入双曲线方程：
……（5分）
根据（1）与（2）.所求双曲线方程为.（6分）
（Ⅱ）如图设A(x1,y1) ,B (x2,y2).F(-2,0). 由,得:
又 ……（8分）
消元得,……（10分）
由
,又解得, ……（11分）
得
所以直线的斜率的取值范围是.……（11分）
3、（2009常德期末）已知椭圆的左焦点为F1，C上存在一点P到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距离相等．
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)若已知椭圆的左焦点为（-1，0）,右准线为
，A、B为椭圆上的两个动点，且满足
OA⊥OB(O为坐标原点)，试证明直线AB总
与一个定圆相切,并求该圆的面积.．
解（1）设点P的坐标为，则|PF1|=，∴=，…2分
整理得：，而，∴，解得…5分
（2）易求得椭圆的方程为，………………………………6分
设AB不垂直于轴时，AB的方程为，，
联立方程可得
由得且………………………8分
而，
即
。而原点到直线 AB的距离为，
所以原点到直线 AB的距离为。即直线AB都与圆相切。…11分
设AB垂直于轴时，AB的方程为，代入椭圆方程得
即，
，此时，直线AB与圆相切.
综上: 直线AB一定与圆相切,且该圆的面积为.……13分
4、（2009湖南师大附中第四次月考）已知椭圆c： =1(a>b>o)的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．
(1)求直线0N(0为坐标原点)的斜率
(2)对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角口(θ∈R)使等式：成立．
解：(1)设椭圆的焦距为2c，因为，所以有 由韦达定理有：
（4分）
（5分）
（2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，，使得等式=+成立（7分）
（9分）
代入可得（12分）
所以对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角口(θ∈R)使等式：成立．（13分）
5、（2009湖南师大附中第五次月考）我们把由半椭圆（x≥0）与半椭圆 (x≤o)合成的曲线称作“果圆”，其中a2=b2+c2，a>0，6>c>O．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段A1A2的中点．(13分)
(I)看△F0F1F2是底边F1F2疋长为6，腰长为5的等腰三角形，求该“果圆”的方程；
(1I)若“果圆”方程为：，过F0的直线l交“果圆”于y轴右边的Q，N点，求△OQN的面积S△OQN的取值范围
解：(I)∵
∴，，
于是，c2=16，a2=b2+c2=41，
所求“果圆”方程为，………… (4分)
(Ⅱ)①若直线l的斜率k存在，则由图可知，k2>3．设直线l的方程为：y=k(x-1)，设点Q，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)
由消x，得
∴，…………………………………… （6分）
∴
……………………………………（8分）
∵
∴
∴…………………………………………（10分）
②若直线l⊥x轴，则︱QN︱=3，故
综上，得………………………………………………（13分）
6、（2009雅礼中学第四次月考）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区．已知，曲线段是以点为顶点且开口向右的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落在上，且一个顶点落在曲线段上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到）．
解：以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
则抛物线方程令为．而，代入
则有． ………………………………３分
令，易求工业区面积． ………………6分
求导解得． ……………………………………8分
当时，，是的增函数，
当时，，是的减函数. …………………………10分
所以当时，取得最大值，且 ．
所以，把工业园区规划成长为，宽为的矩形时，工业园区的用地面积最大，最大的用地面积约为．（强调作答） ………………12分
O
·
F1
x
y
A
B
第 1 页 共 7 页湖南省2009届高三数学月考模拟分类汇编——概率（理）
1、（2009湖南师大附中第五次月考）若φ(3)=0.9987，则标准正态总体在区间(－3，3)内取值的概率为 (B)
A ．0.9987 B．0.9974 C．0.944 D． 0.8413
B
2、（2009长沙一中期末）某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少有2天预报准确的概率是为 。0.896
3、（2009长郡中学第六次月考理）已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为
（1）求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；
（2）抛掷这样的硬币三次后，再抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的
总次数为，求随机变量的分布列及期望.
解：（1）设抛掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为，依题意有：
∴
所以，抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率为
………………………………5分
（2）解：随机变量的可能取值为0，1，2，3，4.
所以的分布列为
0 1 2 3 4
P
=0×+1×+2×+3×+4×= ……………………………12分
4、（2009长沙一中期末）口袋中有大小、质地均相同的8个球，4个红球，4个黑球，现在中任取4个球.
（1）求取出的球颜色相同的概率；
（2）若取出的红球数不少于黑球数，则可获得奖品，求获得奖励的概率.
16．解：（1）取出4个球都是红球，；………………………………………（2分）
取出4个球都是黑球，；………………………………………………………（4分）
∴取出4球同色的概率为…………………………………………………（6分）
（2）取出4个红球，；…………………………………………………………（7分）
取出3红1黑，………………………………………………………………（9分）
取出2红2黑，……………………………………………………………（11分）
∴获奖概率为+ ……………………………………………………（12分）
5、（2009湖南师大附中第四次月考）已知从“神七”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为告，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值
(1)求随机变量的数学期Es；；
(2)记“关于x的不等式的解集是实数集R″为事件A，求事件A发生的概率P(A)．
解：(1)由题意知的可能取值为0，2，4，
∵ =0指的是实验成功2次，失败2次．
“=2”指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次．
．
“=4”指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次．
(5分)
故随机变量的数学期望为 (6分)
(2)由题意知：“不等式的解集是实数集R”为事件A
当=O时，不等式化为1>0，其解集是R，说明事件A发生；
当=2时，不等式化为2-2x+l>O，
∵△=-4当=4时，不等式化为4—4x+1>0 >o其解集是{x『x≠},
说明事件A发生的概率为P(A)=P(=o)+P(=2)= (12分)
6、（2009湖南师大附中第五次月考）在一个盒子中，放有标号分别为2，3，4的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为ｘ，ｙ，记．
(I)求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
(Ⅱ)求随机变量的分布列和数学期望．
解：(I)∵z，y可能的取值为2、3、4，
　　 ∴，
∴，且当x=2，y=4，或x=4，y=2时，．…………………… (3分)
因此，随机变量的最大值为3．
∵有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3=9种，
∴．
答：随机变量的最大值为3，事件“取得最大值”的概率为． ……………(5分)
(II) 的所有取值为0，1，2，3．
∵=0时，只有x=3，y=3这一种情况，
=1时，有x=2,y=2或x=3，y=2或x=3，y=4或x=4，y=4四种情况，
=3时，有x=2,y=3或x=4，y=3两种情况.
∴,,………………………………(10分)
则随机变量的分布列为：
0 1 2 3
P
因此，数学期望．……………………．(12分)
7、（2009西南名校联盟第一次联考）2008年湖南语文高考第16题为古诗文默写。该题包括两道小题；第（1）小题为必做题；第（2）小题有A、B两个题，规定每位考生必须在A、B两题中选做一题，设甲、乙、丙、丁4名考生选做A或B的可能性均为。
（1）设这4名考生中选做第（2）小题中B的学生数为ξ个，求ξ的分布列及数学期望。
（2）设第（1）小题较易，4名考生默写正确的概率均为0.8；第（2）小题稍难，若选做A，甲、乙、丙、丁默写正确的概率分别为0.4 , 0.5 , 0.6 , 0.7；若选做B，甲、乙、丙、丁默写正确的概率分别为0.6 , 0.5 , 0.4 , 0.3 ；求这4人恰有3人默写全部正确的概率。
解（1）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4
法1
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
∴
法2
（2）甲同学默写正确的概率为0.8×(0.5×0.4+0.5×0.6)=0.4
乙同学默写正确的概率为0.8×(0.5×0.5+0.5×0.5)=0.4
丙同学默写正确的概率为0.8×(0.5×0.6+0.5×0.4)=0.4
丁同学默写正确的概率为0.8×(0.5×0.7+0.5×0.3)=0.4
∴
8、（2009衡阳八中第四次月考）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车每年最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为、、，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：
（1）获赔的概率； （2）获赔金额ξ的分布列与期望.
解：设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故，k=1，2，3.由题意知A1、A2、A3相互独立，且P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=.
（1）该单位一年内获赔的概率为
1-P()=1-P()P()P()=1-. （5分）
（2）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000. （6分）
P(ξ=0)= ， （7分）
P(ξ=9000)=， （8分）
P(ξ=18000)=， （9分）
P(ξ=27000)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=. （10分）
综上知，ξ的分布列为
ξ 0 9000 18000 27000
P
Eξ=(元). （12分）
9、（2009张家界市11月考）甲、乙、丙三人参加了一家公司招聘面试，甲表示只要面试合格就签约；乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。
（1）求至少有一人面试合格的概率；
（2）求签约人数的分布列和数学期望；
解：A、B、C分别表示事件甲、乙、丙面试合格，
则
（1）至少有一人合格的概率P=1－P（）= 4分
（2）可能取值0，1，2，3 5分
∴分布列为
0 1 2 3
P
9分
12分
第 1 页 共 6 页湖南省2009届高三数学月考模拟分类汇编——立体几何
一、选择题
1、（2009长郡中学第六次月考）如图，在三棱锥中，⊥底面，∠=，
⊥于，⊥于, 若，∠=，
则当的面积最大时，的值为( )
A． 2 B C． D．
D
2、（2009长沙一中期末）下列命题中，m,n表示两条不同的直线，、、表示三个不同的平面.
①若②若，w.w.w.k.s.5 u.c.o.m则；③若，则；④若.正确的命题是（ C ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
C
3、（2009长沙一中期末）如图S为正三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝AB，E、F分别为SC、AB中点，则异面直线EF与SA所成角为(C)
A．90 B．60 C．45 w.w.w.k.s.5 u.c.o.m D．30
C
3、（2009常德期末）设、是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列4个命题：
①若a∥，b∥，则a∥b； 　　　
②若a∥，b∥，a∥b，则∥；
③若a⊥，b⊥，a⊥b，则⊥；
④若a、b在平面内的射影互相垂直，则a⊥b.
其中正确命题是
A. ③ B. ④ C. ①③ D. ②④
A
4、（2009湖南师大附中第五次月考）如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ABB1⊥BC，且A1Ｃ与底面成 45°角，AB=BC=2，则该棱柱体积的最小值为 　　　　　　　　　　　　　　　　 (Ｃ)
A． 　　　　 B． 　　　　 C．４ 　　　　Ｄ． 3
C
5、（2009湘潭市一中12月考）正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为（ ）
A、3 B、6 C、9 D、18
B
6、（2009雅礼中学第四次月考）已知是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，下列命题中不正确的是
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ． w.w.w.k.s.5 u.c.o.m
B
二、填空题
1、（2009湖南师大附中第四次月考）在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥S- ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面上 的高为h，则 。
2、（2009张家界市11月考）如图, 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且，则AD两点间的球面距离 .
3、（2009雅礼中学第四次月考）已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为Ｏ，满足,则三棱锥外接球的体积为＿＿＿＿．
4、（2009衡阳八中第四次月考）正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E为A1B1的中点，则下列五个命题：
①点E到平面ABC1D1的距离为
②直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45；
③空间四边形ABCD1在正方体六个面内形成六个射影，
其面积的最小值是
④AE与DC1所成的角为；
⑤二面角A-BD1-C的大小为．
其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）
②③④
三、解答题
1、（2009长郡中学第六次月考）如图，在三棱柱中，侧面，已知.
（1）求证：；
（2）试在棱(不包含端点、)上确定一点的位置,使得；
(3) 在（2）的条件下,求二面角的平面角的正切值.
证明:（1）因为侧面，故
在中，
由余弦定理有
故有
而 且平面
. ………………………………4分
（2）由
从而 且 故
不妨设 ，则，则
又 则
在中有 从而（舍负）
故为的中点时，. ………………………8分
法二：以为原点为轴，设，
则
由得 即
化简整理得 或
当时与重合不满足题意
当时为的中点， 故为的中点使. ……………………8分
（3）取的中点，的中点，的中点，的中点
连则，连则，连则
连则，且为矩形，
又 故为所求二面角的平面角.
在中，
…………………………12分
法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角
因为
故 . ……………………………12分
2、（2009长沙一中期末）图1，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
解（Ⅰ）在中，，
在中，，
∵，
∴．……（2分）
∵平面平面，且交线为，
∴平面．……（4分）
∵平面，
∴．……（5分）
（Ⅱ）设与相交于点，由（Ⅰ）知，
∵，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面，且交线为，
如图2，作，垂足为，则平面，
连结，则是直线与平面所成的角．……（8分）
由平面几何的知识可知，∴．……（9分）
在中，，……（10分）
在中，，可求得．……（11分）
∴．……（12分）
∴直线与平面所成的角的正弦值为．
3、（2009湖南师大附中第五次月考）三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1 B1 C1，平面A1 A1⊥平面ABC，，AB=AC=2，A1 C1=1，，D是BC的中点．
(I)证明：平面A1AD上平面BC C1 B1；
(II)求二面角A－B B1－C的大小．
解：(I)∵A1 A⊥平面ABC，BCC平面ABC，
∴A1 A⊥BC．
∵，AB=AC=2
∴∠BAC=60°，∴△ABC为正三角形，即AD⊥BC．…………………（3分）
又A1 A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AD，
∵，∴平面A1 AD⊥平面BCC1B1．………………… (6分)
(Ⅱ)如图，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，，0)，
A1(0，0， )，B1(1，0，)，
∴，
显然，平面ABB1A1的法向量为m=(0，1，0)，
设平面BCC1B1的法向量为n=(m，n，1)，则
∴ ∴，
，…………………………………………………………………（10分）
即二面角A－BB1－C为arccos…………………………………………（12分）
4、（2009湘潭市一中12月考）正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点.
（1）求证：PB⊥平面MNB1；
（2）设二面角M—B1N—B为α，求cosα的值.
解：（1）如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系，取正方体棱长为2，则
P（0，0，1）、M（2，1，0）、B（2，2，0）、B1（2，2，2）.
∵· =（2，2，－1）·（0，1，2）=0，
∴MB1⊥PB，同理，知NB1⊥PB.
∵MB1∩NB1=B1，∴PB⊥平面MNB1. ……………… 7分
（2）∵PB⊥平面MNB1，BA⊥平面B1BN，
∴=（2，2，－1）与=（0，2，0）所夹的角即为α，
cosα==.……………… 13分
5、（2009雅礼中学第四次月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，且平面，
分别是的中点．
（１）证明：平面；
（２）求二面角的大小．
解：（１）以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴、
DC所在的直线为y轴、DP所在的直线为x轴，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
P（0，0，1），∴． ………………………………2分
∴,，所以
所以，又，故平面． …………6分
（２）设平面FCE的法向量为，,
由取，∴．……9分
又平面的一个法向量为， ……………………………………10分
所以．
∵二面角是锐二面角，即二面角的大小是一个锐角，
∴二面角的大小与是互补的．
故二面角的大小为．…………………………………………12分
6、（2009张家界市11月考）三棱锥P—ABC，截面A1B1C1//底面ABC，∠BAC=90°，PA⊥底面ABC，A1A=
（1）求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1；
（2）求二面角A—CC1—B的大小。
解：（1），A到BC距离
令d=AD′，BD′=又BD=与D重合
6分
（2）建系：A（0，0，0），AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，
则B（，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，），C（0，1，）
平面ACC1的法向量（1，0，0）在平面BCC1内，
设法向量为
令
二面角A—CC1—B的大小为 12分
O
B
A
D
C
图1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
P
ycy
第 1 页 共 9 页湖南省2009届高三数学月考模拟分类汇编——概率（文）
1、（2009湖南师大附中第四次月考文）甲、乙进行三局两胜制乒乓球赛，已知每局甲取胜的概率为0．6．乙取胜的概率为O．4，那么甲取胜的概率为
A. 0.36 B0.216 C. 0.432 D. 0.648
D
2、（2009西南名校第一次联考文）连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量（m，n）与向量（-1，1）的夹角>900的概率是（ ）
A． B． ( http: / / www. / ) C． D．
A
3、（2009长郡中学第六次月考文）袋中有红球和黄球若干个，从中任摸一球，摸得红球的概率为，摸得黄球的概率为．若从中任摸一球，放回再摸，第次摸得红球，则记＝1，摸得黄球，则记＝一1．令…+．
（Ⅰ）当==时，求的概率；
（Ⅱ）当＝，＝时，求且（＝1，2，3）的概率．（结果均用分数表示）
解：（Ⅰ）若，∴前6次摸球中，有4次摸到红球，有2次摸到黄球
故的概率为.…………………………………………3分
∴的概率为………………………………………………6分
（Ⅱ）当时，即前8次中有5次摸到红球，有3次摸到黄球，
又已知（=1，2，3），故可分为三种情况.
①若第一、二次摸到红球，第三次摸到黄球，后五次有3次摸到红球；
②若第一、三次摸到红球，第二次摸到黄球，后五次有3次摸到红球；
③若第一、二、三次摸到红球，后五次有两次摸到红球 ……………………………10分
∴所求概率为
（或）. ……12分
4、（2009湖南师大附中第四次月考文）如图，一辆车要经过某十字路口，直行时前方刚好由绿灯转为红灯，该车前面已有4辆车依次在同车道上排队等候．(该车道只可以直行或左转行驶)．已知每辆车直行的概率是寺，左转行驶的概率是，该路口红绿灯转换间隔均为1分钟．假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒，一辆左转的车驶出停车线需要20秒．求：
(1)前4辆车恰有2辆左转行驶的概率；
(2)该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率．(汽车驶出停车线就算通过路口)
解：（1）前4辆恰有2辆左行驶的概率（6分）
（2）该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口包括两种情况：
1）前4辆车都直行 2）前4辆车中有3辆直行，1辆左转行驶
故所求概率（12分）
5、（2009湖南师大附中第五次月考文）箱子中有大小相同的4个红球，6个黑球，每次从中摸取一球，每个球被取到的可能性相同，现不放回地取3个球．
(I)求至少取到2个红球的概率；
(Ⅱ)求第三次取出的是红球的概率．
解：(I)至少有两个红球的概率为
或………………………………………………(6分)
(Ⅱ)第三次取出红球时的概率为
或因第三次取出红球的概率等于第一次取出红球的概率，故为………… (12分)
6、（2009西南名校联盟第一次联考文）甲、乙两支蓝球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，每场比赛均要分出胜负，比赛时采用三场两胜制，即先取得两场胜利的球队胜出。
（1）求甲队以二比一获胜的概率；
（2）求乙队获胜的概率。
解：（1）甲队以二比一获胜，即前两场中甲胜1场，第三场甲获胜，其概率为
（……6分）
（2）乙队以2:0获胜的概率为；
乙队以2:１获胜的概率为（……10分）
∴乙队获胜的概率为P2=P'2+Ｐ''2=0.16+0.192=0.352.（……12分）
7、（2009张家界市11月考文）一批产品成箱包装，每箱6件. 一用户在购买这批产品前先取出2箱，再从取出的每箱中抽取2件检验. 设取出的第一、二箱中二等品分别装有1件、n件，其余均为一等品.
（Ⅰ）若n=2，求取到的4件产品中恰好有2件二等品的概率；
（Ⅱ）若取到的4件产品中含二等品的概率大于0.80，用户拒绝购买，求该批产品能被用户买走的n的值.
解：设Ai表示事件“第一箱中取出i件二等品”，其中i=0, 1；Bj表示事件“第二箱中取出j件二等品”，其中j=0, 1, 2,
（Ⅰ）依题意，所求概率为
（Ⅱ）依题设可知，即，
∴，又由题设可知 且
故n=0, 1或2. ……（12分）
第 1 页 共 3 页湖南省2009届高三数学月考模拟分类汇编——不等式
一、选择题
1、（2009长沙一中期末文）10．已知实系数一元二次方程的两个实根为、,并且,．则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
C
2、（2009常德期末）已知命题p：，命题q：，则是成立的
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件w.w.w.k.s.5 u.c.o.m D.既不充分也不必要条件
B
3、（2009湖南师大附中第四次月考）己知Y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(z)=x-2，那么不等式，f(x)< 的解集是
A．{x ｜0C. { x ｜D
4、（2009湖南师大附中第五次月考）不等式的解集是 (C)
A． w.w.w.k.s.5 u.c.o.m B．｛x|x<0｝ C．｛x|0C
5、（2009雅礼中学第四次月考）已知满足约束条件： ,则的最小值是
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
D
二、填空题
1、（2009长沙一中期末理）已知变量、满足条件，若目标函数 (其中)，仅在(4，2)处取得最大值，则的取值范围是 _ a＞1
2、（2009长沙一中期末文）若不等式的解集为，则不等式的解集为_______．
3、（2009常德期末）若集合，，且，则实数的最大值为 ．
4、（2009衡阳四校联考）若，则不等式的解集为
5、（2009宁乡一中第三次月考）设a、b、c是互不相等的正数，则在四个不等式1． 2． 3．　 4．中恒成立的是有_________（把你认为正确的答案的序号都填上）.
答案：1，2, 4
5、（2009湖南师大附中第五次月考）如果实数x，y满足，则的最大值 29 。
6、（2009湘潭市一中12月考）已知()的反函数的图象恒过定点A，且点A在直线上，若，，则的最小值为 8
7、（2009岳阳一中第四次月考）已知0＜x＜，t是大于零的常数，且函数的最小值为9，则t的值为 4 。
三、解答题
1、（2009常德期末）设．
（1）当时，解不等式；
（2）当时，的值至少有一个是正数，求的取值范围．
（1）当时，不等式，即，
即 ， ∴ 原不等式的解集为：… 6分
（2）当时，的值至少有一个是正数的充要条件是
，……………………………………………………9分
解得，即a的取值范围是 ．…………………12分
2、（2009衡阳四校联考）已知集合，求实数a的取值范围。
解：（1）……3分
……6分
-2 –a 4-a 3
第 1 页 共 3 页