探索三角形相似的条件(4)(5)教学案

10.4探索三角形相似的条件（4）
一、知识复习
1、如图，在△ABC和△A/B/C/中，∠B= ∠B/，
请你补充一个条件 ，
使得△ABC∽△A/B/C/ 。
2、DE与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E两点，且DE∥BC．
若DE＝2㎝，BC＝3㎝，EC＝㎝，则AC＝________㎝．
3、如图，小正方形的边长均为1,则下图中的三角形(阴影部分)
与△ABC相似的为( )
二、例题讲解
例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高
（1） 图中有哪几对相似三角形？请把它们表示出来，并说明理由；
（2） AC是哪两条线段的比例中项？为什么？
引申1：如图，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为D、E、F，
（1）CA·CE与CB·CF相等吗？为什么？
（2）连接EF交CD于点O，线段OC、OD、OE、OF成比例吗？为什么？
引申2：如图，在四边形ABCD中，过D作AC的垂线交AB于E，交AC于F，试说明
例2、如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，AB=4，AM=1，BN=0.75
（1） △ADM与△BMN相似吗？为什么？
（2） 求∠DMN的度数。
引申1：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，下列结论：①∠BAE=30°，②AE⊥EF，③△ABE～△AEF，④△ADF～△ECF，⑤AF=AB+FC，其中正确的结论的个数为 。
引申2：如图，在正方形ABCD的一边上取一点E，使AE=AD，从AB的中点O作OK⊥EC于K，问OK是EK和KC的比例中项吗？为什么？
在等边中，点为上一点，连结，直线与分别相交于点，且．
（1）如图1，写出图中所有与相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线向右平移到图2、图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；
如图，在中，，点，在直线上运动，设，．
（1）如果，，试确定与之间的函数关系式；
（2）如果的度数为，的度数为，当满足怎样的关系式时，（1）中与之间的函数关系式还成立，试说明理由．
　解：（1）在中，，
　　，
　　 ．
　　又，
　　．
　　又，
　　．
　　．
　　．
　　即，所以．
　　（2）当满足关系式时，函数关系式仍然成立．
　　此时，．
　　又，
　　．
　　又仍然成立．
　　从而（1）中函数关系式成立．
三、课堂练习
1．下列说法不正确的是（ ）
A、两对应角相等的三角形是相似三角形； B、两对应边成比例的三角形是相似三角形；
C、三边对应成比例的三角形是相似三角形； D、以上说法都正确。
2．如.图1, D、E是ΔABC 的边 AB、AC 上的点, DE 与 BC 不平行,
请填上一个你认为合适的条件: ，使得ΔADE∽ΔACB.
3．已知:ΔABC , P是边 AB 上的一点,连结 CP.(如图2)
(1)当∠ACP 满足 条件时,ΔACP∽ΔABC.
(2)当 AC : AP= 时, ΔACP ∽ΔABC.
4．在ΔABC和ΔA' B'C'中, ∠A=∠A'= 400,∠B = 800,∠B' = 600.
则ΔABC和ΔA' B'C' .(填“相似”与“不相似”)
5．若AB∥CD∥EF (如图3 ), 则图中相似的三角形有 .
A.1对 B.2 对 C.3对 D.4 对
6．如图4, P 是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点,过点P
作直线截ΔABC, 使所截得的三角形与ΔABC 相似. 满足这样
条件的直线最多能作出 条.
A.2 B.3 C.4 D.无数
7．如图: ＜AOB=90°,O、 B 、C、 D在一条直线上,且OB=OA=BC=CD找一下图中有无相似三角形,如有要加以证明,如没有也要说明理由.
8．在正方形ABCD中, AB = 2, P是BC 边上与 B、C 不重合的任意点,DQ⊥AP于Q.
(1)求证:ΔDQA∽ΔABP.
(2)当P 点在BC上变化时,线段 DQ 也随之变化.
设PA= x, DQ= y,求 y 与 x 之间的函数关系式.
10.4探索三角形相似的条件（5）
一、基础练习
1．在△ABC与△中，有下列条件：
①；⑵③∠A＝∠；④∠C＝∠。如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△的共有（ ）组。
A、1　　 　B、2 C、3　　 　D、4
2．如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是（ ）
A .ΔPAB∽ΔPCA B.ΔPAB∽ΔPDA C .ΔABC∽ΔDBA D.ΔABC∽ΔDCA
3．如图，在△ABC中，D 是AB上一点，且∠ACD=∠B，AC= 6， AB=9，BC= 12 ， 则AD= 、CD= ．
4．在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。
（1）填空：∠ABC= °，BC= ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论。
二、例题
例1、如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.
(1)试说明△ABD≌△BCE.
(2)AEF与△ABE相似吗 说说你的理由.
(3)BD2=AD·DF吗 请说明理由.
引申：在等边中，点为上一点，连结，直线与分别相交于点，且．
（1）如图1，写出图中所有与相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线向右平移到图2、图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；
例2、△ABC中，∠C=900，BC=8厘米，AC∶BC=3∶4，点P从点B出发，沿BC向点C以2厘米/秒的速度移动，点Q从点C出发，沿CA向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q分别从B、C同时出发：
（1）经过多少秒时△CPQ∽△CBA？
（2）经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？
反馈练习：在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2m/s的速度移动，点Q从B开始沿BC边向点C以4m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？
三、巩固练习
1.如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN，
，下列结论正确的是（ ）
A．ABM∽ACB B．ANC∽AMB
C．ANC∽ACM D． CMN∽BCA
如图, P 是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点,过点P
作直线截ΔABC, 使所截得的三角形与ΔABC 相似. 满足这样
条件的直线最多能作出 条.
A.2 B.3 C.4 D.无数
3.如图　⊿PCD是正三角形，∠APB=120°试证明，⊿APC∽⊿PBD.
4. 如图△ABC，△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一直线上，连结AD交CE于点F，连结BE交AC于点G，AD、BE相交于点M，
（1）求证：△ABG∽△CDF；
（2）在不添加新的字母和线段的前提下，在图
中再找出2个与△ABG相似的三角形．
2.已知，如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，DE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E，
求证：（1）△ADE∽△FDB； （2）CD2=DE·DF。
5.如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动，且MN=1，当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？
如图所示，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x。（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）当，求的值；（3）ΔAPQ能否与ΔCQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由。
A
B
C　
D　
E　
D
C
B
C
A
A
B
B
C
A/
B/
C/
A
F
C
B
A
A
A
D
F
E
B C
D
P
图3
A
B
C
D
P
图2
E
l
l
E
F
A
B
C
D
P
图１
l
E
F
Ｂ
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｄ
（第22题图）
B
C
F
D
P
图3
A
B
C
D
P
图2
E
l
l
E
F
A
B
C
D
P
图１
l
E
F