河南省唐河县部分中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（含解析）

唐河县部分中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
（北师大2019版必修一教材例题、习题重组卷）
一．单项选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．已知全集U＝{x∈N+|﹣2＜x＜9}，M＝{3，4，5}，P＝{1，3，6}，那么{2，7，8}是（　　）
A．M∪P B．M∩P
C．（ UM）∪（ ∪P） D．（ UM）∩（ UP）
2．总体由编号为01，02，03，……，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（　　）
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01
A．05 B．09 C．07 D．20
3．当a＞1时，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与yx的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
4．若A，B是相互独立事件，但不是互斥事件，则事件A∪B的概率是（　　），并说明理由．
A．P（A）+P（B） B．1﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]
C．P（A）P（B） D．1﹣P（A）P（B）
5．甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人，甲班的平均成绩为76分，方差为96，乙班的平均成绩为85分，方差为60，那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩，方差分别是（　　）
A．80.5，78 B．80.5，100 C．80，100 D．80，90
6．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是v＝2000ln（1）．当燃料质量与火箭质量的比值为t0时，火箭的最大速度可达到v0km/s．若要使火箭的最大速度达到2v0km/s，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值应为（　　）
A．2 B．t0 C．2t0 D．2t0
7．已知x＝lnπ，y＝log52，，则x、y、z三者比较为（　　）
A．x＜z＜y B．y＜z＜x C．y＜x＜z D．z＜y＜x
8．判断一下结论正确有几项（ ）
①若函数y＝f（x）的定义域为[0，2]，则函数g（x）的定义域为[0，1）
②若函数f（x）＝|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为﹣4
③若函数y＝f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（，+∞）
④若函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，则函数y＝x﹣[x]的值域为 [0，1）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
9．下表记录了某地区一年之内的月降水量：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66
对于上述表格中的数据，说法正确的是（　　）
A．该年份月降水量的极差是25mm B．该年份月降水量的众数是53mm和56mm
C．该年份月降水量的25%分位数是52mm D．该年份月降水量的中位数是56mm
10．对于事件A，B，下列命题正确的是（　　）
A．如果A，B互斥，那么与也互斥
B．如果A，B对立，那么与也对立
C．如果A，B独立，那么与也独立
D．如果A，B不独立，那么与也不独立
11．下列函数是奇函数的是：（　　）
A．y＝ln（x+1）+ln（x﹣1） B．y＝lg；
C．y＝log5（|x|+1） D．y＝log5（x）
12．设x＞0，y＞0，则下列不等式正确的是：（　　）
A．x3； B．x2+y2；
C．x（x﹣y）≥y（x﹣y） D.
三．填空题（共4小题）
13．若函数，且a≠1），在定义域R上满足，则a的取值范围是　 　．
14．如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为 　 　．
15.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石（市制容量单位，10斗为1石），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为　 .只填序号：①134石②169石③338石④1365石
16．设集合，，函数f（x），若x0∈A，且f[f（x0）]∈A，则x0的取值范围是 　 　．
四．解答题（共6题）
17.（10分）已知非空集合A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3≤x≤22}，
（1）当a＝10时，求A∩B，A∪B；
（2）求能使A∪B＝B成立的a的取值范围．
18．（12分）已知f（x）＝（） x3（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）＞0在定义域上恒成立，求a的取值范围．
19.（12分）已知函数f（x）＝loga（ax﹣1）（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若f（x）＞1，求x的取值范围．
20．（12分）班级联欢时，主持人安排了跳双人舞独唱和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生，将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．
（1）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率；
（2）为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求：
①独唱和独奏由同一个人表演的概率；
②选出的不全是男生的概率．
21．（12）某校对2021年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30；50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
（1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；
（2）估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数；
（3）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在[50，70）和[70，90）的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2．名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在[50，70）内的概率．
（12）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．
怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？
如果要求λ∈，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
唐河县部分中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
参考答案与试题解析
一．单项选择题
1．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M＝{3，4，5}，P＝{1，3，6}，
∴ UM＝{1，2，6，7，8}， UP＝{2，4，5，7，8}，M∪P＝{1，3，4，5，6}，M∩P＝{3}，
则（ UM）∪（ UP）＝{1，2，4，5，6，7，8}；（ UM）∩（ UP）＝{2，7，8}，
故选：D．
2．【解答】解：根据题意，从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，
由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次为
08，02，14，07，02（重复，舍去），43，
可知选出的第4个数值为07．故选：C．
3．【解答】解：∵a＞1，y＝ax其底数大于1，是增函数，yx，是减函数，
故选：C．
4．【解答】解：根据题意，若A，B是相互独立事件，但不是互斥事件，则、也是独立事件，
又由事件A∪B的对立事件为∩，则P（A∪B）＝1﹣P（∩）＝1﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]．
故选：B．
5．【解答】解：全班90名学生的平均成绩；
全班90名学生的方差．故选：C．
6．【解答】解：设燃料质量与火箭质量的比值为x时，火箭的最大速度达到2v0km/s，
由题意可知v0＝2000ln（1+t0），2v0＝2000ln（1+x），
∴4000ln（1+t0）＝2000ln（1+x），∴ln（1+x）＝2ln（1+t0）＝ln（1+t0）2，
∴1+x，∴x，即要使火箭的最大速度达到2v0km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为，故选：D．
7.【解答】解：∵x＝lnπ＞lne＝1，0＜log52＜log5，即y∈（0，）；
1＝e0，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故答案为B．
8.【解答】解：∵函数y＝f（x）的定义域为[0，2]，
∴0≤2x≤2，解得：0≤x≤1，又x≠1，
故函数g（x）的定义域是[0，1）．①正确；
当a 2时，，
由图1可知，当时，，可得a＝8；
当a＜2时，，
由图2可知，当时，，可得a＝﹣4；
综上可知，a的值为﹣4或8．故②错误；
f（x）a，∵f（x）在区间（﹣2，+∞）让单调递增，
∴由分式函数的性质得1﹣2a＜0，得a，
即实数a的取值范围是（，+∞）．故③正确；
由图像可知定义域为R，值域为故为：[0，1）故④正确，所以选C .
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：对于A，该年份月降水量的极差是：71﹣46＝25mm，故A正确；
对于B，该年份月降水量的众数是56mm，故B错误；
对于C，该年份月降水量从小到大为46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，
12×25%＝3，
∴该年份月降水量的25%分位数是52mm，故C正确；
对于D，该年份月降水量的中位数是56mm，故D正确．
故选：ACD．
10【解答】解：对于A，如果A，B互斥，那么由互斥事件的定义得与不一定互斥，故A错误；
对于B，如果A，B对立，那么由对立事件的定义得与也对立，故B正确；
对于C，如果A，B独立，那么由相互独立事件的定义得与也独立，故C正确；
对于D，如果A，B不独立，那么由独立事件的定义得与也不独立，故D正确．
故选：BCD．
11.y＝ln（x+1）+ln（x﹣1），函数的定义域为：（1，+∞），
不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数．y＝lg，函数的定义域为：（﹣1，1），
因为f（﹣x）lg，所以函数是奇函数．y＝log5（|x|+1）；函数的定义域为：R，f（﹣x）＝log5（|﹣x|+1）＝log5（|x|+1）＝f（x），所以函数是偶函数；y＝log5（x），函数的定义域为：R，因为f（﹣x）＝log5（﹣x）＝log5log5（x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数．故选BD.
12.解答：（1）∵x＞0，∴，
当且仅当，即x＝1时取等号，
综上，；（2）∵
，当且仅当x＝y时取等号，∴；（3）∵x＞0，y＞0，∴x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）（x﹣y）＝（x﹣y）2 0，
当且仅当x＝y时取等号，故x（x﹣y） y（x﹣y）；（4）∵x＞0，y＞0，
∴，当且仅当x＝y时取等号，∴，又2xy＞0，
∴，即．故选ABC.
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三．填空题（共4小题）
13．　[，1）　．【解答】解：由可得函数f（x）为减函数，
由分段函数的表达式可得，即，得，
解得a＜1，故答案为：[，1）
14．0.686．【解答】解：系统正常工作是指元件A正常工作，同时元件B和C至少1个正常工作，而B和C至少1个正常工作的对立事件是B和C同时不能正常工作，∴系统正常工作的概率为：P＝0.7×[1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.8）]＝0.686．故答案为：0.686．
15.②解：根据题意，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则样本中夹谷的频率为，
则这批米内夹谷约为1534169（石）故填②
16．　（，）　．【解答】解：因为0≤x0，所以f（x0）＝x0∈[，1） B，
所以f[f（x0）]＝4（1﹣f（x0））＝4[1﹣（x0）]＝4（x0）．
又因为f[f（x0）]∈A，所以0≤4（x0），解得x0．
又因为0≤x0，所以x0，即x0的取值范围是（，）．
解答题（共6题）
17【解答】解：（1）当a＝10时，集合A＝{x|21≤x≤25}，B＝{x|3≤x≤22}，
∴求A∩B＝{x|21≤x≤22}，
A∪B＝{x|3≤x≤25}．
（2）∵非空集合A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3≤x≤22}，A∪B＝B，
∴A B，
∵A≠ ，∴，解得6≤a≤9．
∴a的取值范围是[6，9]．
18【解答】（1）要使函数有意义，则ax﹣1≠0，即x≠0，∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
（2）∵函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
∴定义域关于原点对称，
则f（x）＝（） x3，
∴f（﹣x）f（x），
∴f（x）是偶函数；
（3）∵f（x）是偶函数；
∴f（x）＞0在定义域上恒成立，
则只需要当x＞0时，f（x）＞0恒成立即可，
即f（x）0即可，
∴ax﹣1＞0，即ax＞1，∵x＞0，∴a＞1，即求a的取值范围是a＞1．
19【解答】解：（1）要使函数f（x）有意义必须ax﹣1＞0时，即ax＞1，
①若a＞1，则x＞0，
②若0＜a＜1，则x＜0，
∴a＞1时，函数f（x）的定义域为：{x|x＞0}；
当0＜a＜1时当，函数f（x）的定义域为：{x|x＜0}；
（2）当a＞1时，函数f（x）为单调增函数，增区间为（0，+∞）；
当0＜a＜1时，函数f（x）为增函数，增区间为（﹣∞，0）；
（3）f（x）＞1，即loga（ax﹣1）＞1，
①当a＞1，则x＞0，且ax﹣1＞a，
∴x＞loga（a+1）；
②当0＜a＜1时，则x＜0，且ax﹣1＜a，
loga（a+1）＜x＜0，
∴综上当a＞1时，x的取值范围是（loga（a+1），+∞），
当0＜a＜1时，x的取值范围是（loga（a+1），0）．
20【解答】解：（1）设选出的2人不全是男生为事件A，
则为选出的2人全是男生，不同的取法为 6，
∵基本事件总数为 20，
∴P（A）＝1﹣P（）＝1；
（2）①设独唱和独奏由同一个人表演为事件B，
基本事件总数为 25，
事件B包含的基本事件数为3+2＝5，
∴P（B）；
②设选出的不全是男生为事件C，
基本事件总数为 25，
事件包含的基本事件数为 9，
∴P（C）＝1﹣P（）＝1．
21【解答】解：（1）由0.005×20+0.005×20+0.0075×20+0.02×20+a×20+0.0025×20＝1，
得a＝0.01，数学成绩在：
[30，50）频率0.0050×20＝0.1，
[50，70）频率0.0050×20＝0.1，
[70，90）频率0.0075×20＝0.15，
[90，110）频率0.0200×20＝0.4，
[110，130）频率0.0100×20＝0.2，
[130，150]频率0.0025×20＝0.05，
样本均值为：40×0.1+60×0.1+80×0.15+100×0.4+120×0.2+140×0.05＝93，
可以估计样本数据中数学成绩均值为 93 分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩 93 分．
（2）由（1）知样本数据中数学考试成绩在 110 分以下所占比例为0.1+0.1+0.15+0.4＝0.75，
在 130 分以下所占比例为0.75+0.2＝0.95，
因此，80%分位数一定位于[110，130）内，由，
可以估计样本数据的第 80 百分位数约为115分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第80百分位数约为115分．
（3）由题意[50，70）分数段的人数为100×0.1＝10人，
[70，90）分数段的人数为100×0.15＝15人，
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在[50，70）内抽取2 人，分别记为A1，A2，[70，90）分数段内抽3人，分别记为B1，B2，B3，
设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段[50，70）内”为事件A，
则样本空间Ω＝{A1A2，A1B1，A1B2，A2B2，B1B2，B1B3，B1B3}，共包含10个样本点，
而A的对立事件{B1B2，B1B3，B2B3}，包含3个样本点，
∴P（），∴P（A）＝1﹣P（），
∴抽取的这2名学生至少有1人成绩在[50，70）内的概率为．
22（1）解：设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx2＝4840
设纸张面积为S，则有S＝（x+16）（λx+10）＝λx2+（16λ+10）x+160，
将x代入上式得S＝5000+44
当8时，
S取得最小值，此时高：xcm，宽：λxcm
（2）如果λ∈[]，可设，则由S的表达式得
S（λ1）﹣S（λ2）＝44
由于因此S（λ1）﹣S（λ2）＜0，
所以S（λ）在区间[]内单调递增．从而，对于λ∈[]，
当λ时，当λ时，所用纸张面积最小．