（课前预习讲义）数学好玩之包装的学问(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年五年级下册数学高频考点重难点讲义（北师大版）（含解析）
文档属性
| 名称 | （课前预习讲义）数学好玩之包装的学问(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年五年级下册数学高频考点重难点讲义（北师大版）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 243.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-29 14:59:07 | ||
图片预览
文档简介
数学好玩之包装的学问
1．长方体的特征
【知识点归纳】
长方体的特征：
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
2．正方体的展开图
【知识点归纳】
正方体展开图形如下情况：
3．简单的立方体切拼问题
【知识点归纳】
1．拼起来，表面积减小，因为面的数目减少．
2．剪切会增加表面积，因为面的数目增加．
3．两种方式的体积都没有发生变化．
4．长方体和正方体的表面积
【知识点归纳】
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）
5．长方体、正方体表面积与体积计算的应用
【知识点归纳】
（1）长方体：
底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体．
长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点．
长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和．
如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh）
长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高．
如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh
（2）正方体：
长宽高都相等的长方体，叫做正方体．
正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体．
正方体的表面积：六个面积之和．
如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2
正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长．
如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3
一．选择题（共3小题）
1．用铁皮制成长方体烟囱，求用了多少铁皮，就是求这个长方体（ ）
A．体积 B．六个面的面积和
C．四个面的面积和 D．五个面的面积和
2．将四个长10厘米、宽6厘米、高2厘米的长方体礼品盒用包装纸包在一起，最节约包装纸的方法是（ ）
A．B．C．D．
3．将4个长12cm、宽8cm、高5cm的长方体盒子用彩纸包在一起，下面最省包装纸（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共3小题）
4．有三个同样的长方体，长宽高分别是30cm，20cm，10cm；现在把它们包成一包，最多可以节约包装纸是 cm2．
5．有两盒相同的糖，每盒长20厘米，宽15厘米，高10厘米．如果将两盒糖果包成一包，包装纸最少要 平方厘米．
6．如图，有四种型号的塑料板各4块，若选其中的6块做一个长方体，做成的长方体共有 种可能，表面积最小是 cm2。（单位：cm）
三．解答题（共1小题）
7．淘气将4块长10cm、宽6cm、高2cm的木板包成一包，聪明的淘气想出了6种方案，请在最省包装纸的方案下画上“√“．
四．操作题（共3小题）
8．把下面的正方体展开图补充完整．
9．（1）下面 号折起来，可以成为一个无盖的纸盒。
（2）若纸盒有盖，还有一个面可以画在哪里？（请直接在图中画出一种情况）
10．如图，左边正方体的三个面上分别画了一个图形。把这个正方体翻转成右图的样子，请在右边正方体的相应位置画出另两个图形。
数学好玩之包装的学问
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．【答案】C
【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．由于烟囱是不需要底面的，因此，只求它的四个侧面的面积。
【解答】解：由于烟囱是不需要底面的，因此，只求它的四个侧面的面积。
故选：C。
【点评】此题主要考查出长方体的特征和表面积的计算方法，解答这类题目，首先要搞清是求哪几个面的面积，然后再根据表面积的计算方法解答。
2．【答案】A
【分析】要想更省包装纸，需使表面积最小，由题意可知：只要求出哪种情况下，拼组后的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸．据此解答即可．
【解答】解：A、表面积减少了：10×6×6
＝60×6
＝360（平方厘米）
B、表面积减少了：（10×6+6×2）×4
＝72×4
＝288（平方厘米）
C、表面积减少了：
（10×6+10×2）×4
＝80×4
＝320（平方厘米）
D、表面积减少了：10×2×6＝120（平方厘米）
360＞320＞288＞120
答：把这四个礼品盒的最大重合摞在一起包装最节约包装纸．
故选：A．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用．明确：要使拼组后的表面积最小，则把最大的面相粘合．
3．【答案】B
【分析】根据长方体表面积的意义可知，把4个长12cm、宽8cm、高5cm的长方体盒子用彩纸包在一起，要想最节省包装纸，也就是把4个长方体盒子的最大面重合摞起来进行包装。据此解答即可。
【解答】解：把4个长12cm、宽8cm、高5cm的长方体盒子用彩纸包在一起，最节省包装纸的方法是：把4个长方体盒子的最大面重合摞起来进行包装。
故选：B。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用。
二．填空题（共3小题）
4．【答案】见试题解答内容
【分析】为了节省包装纸，把最大的面（30×20）重合，这样减少的4个面最大，最节约用纸．所以计算出4个长是30cm，宽是20cm的长方形的面积即可．
【解答】解；30×20×4
＝600×4
＝2400（平方厘米）
答：最多可以节约包装纸是2400平方厘米．
故答案为：2400．
【点评】此题解答的关键是根据长方体的表面积计算公式进行计算，要明确所需的材料最少，应减少4个最大的面．
5．【答案】见试题解答内容
【分析】要求包装纸最少用纸面积，只要找出长方体中最大的面，把两个盒面积最大的面叠在一起即可，因为20×15的面最大，这样20×15的面本来分开时是4个，叠了就变成只要算2个，其他的面还是要算4个；然后计算即可．
【解答】解：20×15×2+20×10×4+15×10×4，
＝600+800+600，
＝2000（平方厘米）；
答：包装纸最少要2000平方厘米；
故答案为：2000．
【点评】解答此题还可以求出两个盒子的总表面积，然后减去减少的两个最大面的面积即可．
6．【答案】3，480。
【分析】通过观察图形可知，可以选择①②③各2块，做成一个长是15厘米，宽是10厘米，高是7厘米的长方体；可以选择①4块，④块，做成一个长和宽都是10厘米，高是15厘米的长方体；也可以选择③4块，④2块，做成一个长和宽都是10厘米，高是7厘米的长方体；根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式求出它们的表面积，然后进行比较。
【解答】解：有3种可能，
（1）选择①②③各2块，做成一个长是15厘米，宽是10厘米，高是7厘米的长方体；
（15×10+15×7+10×7）×2
＝（150+105+70）×2
＝325×2
＝650（平方厘米）
（2）选择①4块，④2块，做成一个长和宽都是10厘米，高是15厘米的长方体；
10×10×2+15×10×4
＝200+600
＝800（平方厘米）
（3）选择③4块，④2块，做成一个长和宽都是10厘米，高是7厘米的长方体；
10×10×2+10×7×4
＝200+280
＝480（平方厘米）
480＜650＜800
答：有3种可能，表面积最小是480平方厘米。
故答案为：3，480。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体表面积公式的灵活运用。关键是熟记公式。
三．解答题（共1小题）
7．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可知：把4块长10cm、宽6cm、高2cm的木板包成一包，要想最省包装纸，求出这6种方法减少的面的面积之和，减少面积最大的，也就是最省包装纸．据此解答即可．
【解答】解：6种方法减少的面的面积：（1）10×6×6＝360（平方厘米）
（2）10×2×6＝120（平方厘米）
（3）6×2×6＝72（平方厘米）
（4）10×6×4+10×2×4＝320（平方厘米）
（5）10×2×4+6×2×4＝128（平方厘米）
（6）10×6×4+6×2×4＝288（平方厘米）
第一种方法减少的面积最大，也就是把4块木板最大面重合摞在一起，这样 包装最省包装纸．
故答案为：
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用．
四．操作题（共3小题）
8．【答案】
【分析】根据正方体展开图的11种特征，可以在中间一行的右边补一个相同的正方形，变为正方体展开图的“1﹣3﹣2”型，也可在下行的右边加一个相同的正方形，变为正方体展开图的“2﹣2﹣2”型。
【解答】解：
【点评】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。
9．【答案】（1）③；
（2）（画不求唯一）。
【分析】根据正方体展开图的11种特征，①号、②号图形，在不论在哪个地方添加一个相同的正方形，都不属于正方体展开图，③号图形在中间3个正方形的左边或边添加一个相同的正方形，属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，即③号图形可以折成一个无盖的正方体纸盒。
【解答】解：（1）下面③号折起来，可以成为一个无盖的纸盒。
（2）根据题画图如下（画法不唯一）：
故答案为：③。
【点评】此题是考查正方体展开图的认识。正方体展开图分四种类型，11种情况，要掌握每种情况的特征。
10．【答案】
【分析】先把左面的正方体向前翻转，此时扇形在底面，圆心在右下角；长方形在前面，靠左面；三角形仍在右面，直角顶点在右上角。再向左翻转，此时长方形仍在前面，靠下面；扇形在右面，圆心在左上角；三角形在上面，直角顶点在左上角。
【解答】解：
【点评】此题考查了空间想象能力。可动手看作一下，以验证画图是否正确。
1．长方体的特征
【知识点归纳】
长方体的特征：
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
2．正方体的展开图
【知识点归纳】
正方体展开图形如下情况：
3．简单的立方体切拼问题
【知识点归纳】
1．拼起来，表面积减小，因为面的数目减少．
2．剪切会增加表面积，因为面的数目增加．
3．两种方式的体积都没有发生变化．
4．长方体和正方体的表面积
【知识点归纳】
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）
5．长方体、正方体表面积与体积计算的应用
【知识点归纳】
（1）长方体：
底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体．
长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点．
长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和．
如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh）
长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高．
如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh
（2）正方体：
长宽高都相等的长方体，叫做正方体．
正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体．
正方体的表面积：六个面积之和．
如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2
正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长．
如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3
一．选择题（共3小题）
1．用铁皮制成长方体烟囱，求用了多少铁皮，就是求这个长方体（ ）
A．体积 B．六个面的面积和
C．四个面的面积和 D．五个面的面积和
2．将四个长10厘米、宽6厘米、高2厘米的长方体礼品盒用包装纸包在一起，最节约包装纸的方法是（ ）
A．B．C．D．
3．将4个长12cm、宽8cm、高5cm的长方体盒子用彩纸包在一起，下面最省包装纸（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共3小题）
4．有三个同样的长方体，长宽高分别是30cm，20cm，10cm；现在把它们包成一包，最多可以节约包装纸是 cm2．
5．有两盒相同的糖，每盒长20厘米，宽15厘米，高10厘米．如果将两盒糖果包成一包，包装纸最少要 平方厘米．
6．如图，有四种型号的塑料板各4块，若选其中的6块做一个长方体，做成的长方体共有 种可能，表面积最小是 cm2。（单位：cm）
三．解答题（共1小题）
7．淘气将4块长10cm、宽6cm、高2cm的木板包成一包，聪明的淘气想出了6种方案，请在最省包装纸的方案下画上“√“．
四．操作题（共3小题）
8．把下面的正方体展开图补充完整．
9．（1）下面 号折起来，可以成为一个无盖的纸盒。
（2）若纸盒有盖，还有一个面可以画在哪里？（请直接在图中画出一种情况）
10．如图，左边正方体的三个面上分别画了一个图形。把这个正方体翻转成右图的样子，请在右边正方体的相应位置画出另两个图形。
数学好玩之包装的学问
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．【答案】C
【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．由于烟囱是不需要底面的，因此，只求它的四个侧面的面积。
【解答】解：由于烟囱是不需要底面的，因此，只求它的四个侧面的面积。
故选：C。
【点评】此题主要考查出长方体的特征和表面积的计算方法，解答这类题目，首先要搞清是求哪几个面的面积，然后再根据表面积的计算方法解答。
2．【答案】A
【分析】要想更省包装纸，需使表面积最小，由题意可知：只要求出哪种情况下，拼组后的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸．据此解答即可．
【解答】解：A、表面积减少了：10×6×6
＝60×6
＝360（平方厘米）
B、表面积减少了：（10×6+6×2）×4
＝72×4
＝288（平方厘米）
C、表面积减少了：
（10×6+10×2）×4
＝80×4
＝320（平方厘米）
D、表面积减少了：10×2×6＝120（平方厘米）
360＞320＞288＞120
答：把这四个礼品盒的最大重合摞在一起包装最节约包装纸．
故选：A．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用．明确：要使拼组后的表面积最小，则把最大的面相粘合．
3．【答案】B
【分析】根据长方体表面积的意义可知，把4个长12cm、宽8cm、高5cm的长方体盒子用彩纸包在一起，要想最节省包装纸，也就是把4个长方体盒子的最大面重合摞起来进行包装。据此解答即可。
【解答】解：把4个长12cm、宽8cm、高5cm的长方体盒子用彩纸包在一起，最节省包装纸的方法是：把4个长方体盒子的最大面重合摞起来进行包装。
故选：B。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用。
二．填空题（共3小题）
4．【答案】见试题解答内容
【分析】为了节省包装纸，把最大的面（30×20）重合，这样减少的4个面最大，最节约用纸．所以计算出4个长是30cm，宽是20cm的长方形的面积即可．
【解答】解；30×20×4
＝600×4
＝2400（平方厘米）
答：最多可以节约包装纸是2400平方厘米．
故答案为：2400．
【点评】此题解答的关键是根据长方体的表面积计算公式进行计算，要明确所需的材料最少，应减少4个最大的面．
5．【答案】见试题解答内容
【分析】要求包装纸最少用纸面积，只要找出长方体中最大的面，把两个盒面积最大的面叠在一起即可，因为20×15的面最大，这样20×15的面本来分开时是4个，叠了就变成只要算2个，其他的面还是要算4个；然后计算即可．
【解答】解：20×15×2+20×10×4+15×10×4，
＝600+800+600，
＝2000（平方厘米）；
答：包装纸最少要2000平方厘米；
故答案为：2000．
【点评】解答此题还可以求出两个盒子的总表面积，然后减去减少的两个最大面的面积即可．
6．【答案】3，480。
【分析】通过观察图形可知，可以选择①②③各2块，做成一个长是15厘米，宽是10厘米，高是7厘米的长方体；可以选择①4块，④块，做成一个长和宽都是10厘米，高是15厘米的长方体；也可以选择③4块，④2块，做成一个长和宽都是10厘米，高是7厘米的长方体；根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式求出它们的表面积，然后进行比较。
【解答】解：有3种可能，
（1）选择①②③各2块，做成一个长是15厘米，宽是10厘米，高是7厘米的长方体；
（15×10+15×7+10×7）×2
＝（150+105+70）×2
＝325×2
＝650（平方厘米）
（2）选择①4块，④2块，做成一个长和宽都是10厘米，高是15厘米的长方体；
10×10×2+15×10×4
＝200+600
＝800（平方厘米）
（3）选择③4块，④2块，做成一个长和宽都是10厘米，高是7厘米的长方体；
10×10×2+10×7×4
＝200+280
＝480（平方厘米）
480＜650＜800
答：有3种可能，表面积最小是480平方厘米。
故答案为：3，480。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体表面积公式的灵活运用。关键是熟记公式。
三．解答题（共1小题）
7．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可知：把4块长10cm、宽6cm、高2cm的木板包成一包，要想最省包装纸，求出这6种方法减少的面的面积之和，减少面积最大的，也就是最省包装纸．据此解答即可．
【解答】解：6种方法减少的面的面积：（1）10×6×6＝360（平方厘米）
（2）10×2×6＝120（平方厘米）
（3）6×2×6＝72（平方厘米）
（4）10×6×4+10×2×4＝320（平方厘米）
（5）10×2×4+6×2×4＝128（平方厘米）
（6）10×6×4+6×2×4＝288（平方厘米）
第一种方法减少的面积最大，也就是把4块木板最大面重合摞在一起，这样 包装最省包装纸．
故答案为：
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用．
四．操作题（共3小题）
8．【答案】
【分析】根据正方体展开图的11种特征，可以在中间一行的右边补一个相同的正方形，变为正方体展开图的“1﹣3﹣2”型，也可在下行的右边加一个相同的正方形，变为正方体展开图的“2﹣2﹣2”型。
【解答】解：
【点评】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。
9．【答案】（1）③；
（2）（画不求唯一）。
【分析】根据正方体展开图的11种特征，①号、②号图形，在不论在哪个地方添加一个相同的正方形，都不属于正方体展开图，③号图形在中间3个正方形的左边或边添加一个相同的正方形，属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，即③号图形可以折成一个无盖的正方体纸盒。
【解答】解：（1）下面③号折起来，可以成为一个无盖的纸盒。
（2）根据题画图如下（画法不唯一）：
故答案为：③。
【点评】此题是考查正方体展开图的认识。正方体展开图分四种类型，11种情况，要掌握每种情况的特征。
10．【答案】
【分析】先把左面的正方体向前翻转，此时扇形在底面，圆心在右下角；长方形在前面，靠左面；三角形仍在右面，直角顶点在右上角。再向左翻转，此时长方形仍在前面，靠下面；扇形在右面，圆心在左上角；三角形在上面，直角顶点在左上角。
【解答】解：
【点评】此题考查了空间想象能力。可动手看作一下，以验证画图是否正确。