5.3.2利用导数研究函数极值 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
高中数学 高二年级
5.3.2利用导数研究函数极值(2)
一、复习引入
通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？
二、导入新课
回答以下问题：
三、共探新知
〖探究一〗极值的定义
0
x
y
0
x
y
极大值
极小值
四、形成概念
如果对x0附近的所有点x，都有f(x)则称函数f(x)在点x0处取极大值， 记作y极大值= f(x0)；并把x0称为函数f(x)的一个极大植点。
如果对x0附近的所有点x，都有f(x)>f(x0),
则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值= f(x0)；并把x0称为函数f(x)的一个极小植点。
已知函数y=f(x)，设x0是定义域（a,b）内任一点，
a
b
b
a
◆函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.
观察函数y=f(x)在定义域[a,b]上的图象，回答以下问题：
（1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？
（2）极大值一定大于极小值吗？
（3）极值点能在区间端点取吗？
y
a
b
x1
x2
x3
x4
O
x
大
大
小
小
五、深化概念
答案：
（1）如图；
（2）不一定；
（3）不能.
【几点说明】
(1) 极值是一个局部概念；
(3) 极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(4) 函数的极值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;
(5) 函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；
(2) 极值不一定是最值；
五、深化概念
0
x
y
3
-3
0
x
y
0
x
y
问题2：函数y=f(x)在极值点的导数值为多少
在x=0处不可导
结论：设x=x0是y=f(x)的极值点，且f(x)在x=x0是可导的，则必有f (x0)=0.
问题3：导数为0的点是函数的极值点吗
结论：导数为0的点不一定是极值点.
可导函数f(x)在x0处导数为0是该点为极值点的 条件.
必要非充分
y
x
O
x1
x2
a
b
y=f(x)
在极大值点附近
在极小值点附近
f (x)<0
f (x)>0
f (x)>0
f (x)<0
(1)如果f (x0)=0,且在x0附近的左侧 f (x)>0，右侧f (x)<0, 那么f(x0)是极大值
(2)如果f (x0)=0,且在x0附近的左侧 f (x)<0，右侧f (x)>0, 那么f(x0)是极小值
f (x2)=0
f (x1)=0
可导函数f(x)在x0处导数为0是该点为极值点的充要条件为：
六、范例解析
x -2 2
f′(x) 0 0
f(x)
解：定义域为R，f′(x)=x2-4
由f′(x)=0可得x=-2或 x=2
当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表：
（-∞，-2）
(-2，2）
(2，+∞）
+
－
+
极大值
极小值
因此，当x=-2时， y极大值=
; 当x=2时， y极小值=
【求函数极值的步骤】
(1)确定函数定义域，求导数f′(x)；
(2)求方程 的所有实数根；
(3)判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．
①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极 值．
②如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极 值．
③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右两侧符号不变，则f(x0) .
f ′ (x)=0
大
小
不是极值
定义域
练习
七、课堂小结
1.函数极值的概念
2.函数极值的求法
3.易错点有二：（1）定义域；
（2）充分性的验证.
谢谢观看