【学霸秘籍】八(下) 第4章 因式分解-北师大版数学-尖子生创优课堂笔记（pdf版）

八年级下
第四章
因式分解
1因式分解
1因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分
解.例如，a3-a=a(a+1)(a-1),am+bm+cm=m(a+b+c),x2+2x+1=(x+
1)都是因式分解.因式分解也可称为分解因式
m(a+b+c)=ma+mb+mc
2因式分解与整式乘法的关系
1.整式乘法是把因式乘积的形式化成多项式的形式，因式分解是
把多项式化成因式乘积的形式.因式分解与整式乘法互为逆过程，
a
b
a
6
ma+mb+mc=m(a+b+c)←—
2.整式乘法与因式分解是两种互逆的恒等变形.整式乘法是把积
整式乘法
化为和差的形式，因式分解是把和差化为积的形式，因此，我们
★m(a+b+c)
ma+
因式分解
可以利用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确
mb+mc.
2提公因式法
1公因式
唉，因式分解第一
1.定义：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因
个想到的就是我，
式.如b就是多项式ab+bc各项的公因式
公因式，
2.公因式的确定方法
快出来！
·公因式的系数：取多项式各项系数的最大公约数
。公因式的字母：取多项式各项都含有的相同字母（或多项式因式）
的最低次幂
★提公因式法因式分解
的依据是乘法分配律
2提公因式法
的逆运算，即把多项式
1.提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可
ma+mb+mc中各项的
以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式
公因式m提到括号外，
这种因式分解的方法叫做提公因式法.
从而将其分解为m(a+
2.提公因式法因式分解的注意事项
b+c).
。当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第
一项的系数成为正数.在提出“”号时，多项式的各项都要变号
。不能漏项，提出公因式后，每一项都有剩余部分，它们的项数与原
多项式的项数相同，
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第四章因式分解
。当多项式的某项与公因式相同时，提取公因式后，所得对应项为
千万不要漏
1.am+bm+m=m(a+b+1).
了我啊！
·提公因式要彻底，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公
因式
3.提公因式法因式分解的一般步骤
。确定应提取的公因式；
★am+bm+m=m(a+b+1).
。用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；
。把多项式写成这两个因式的乘积的形式」
典例（福州中考)分解因式：ma+mb=
解析：ma+mb=m(a+b)
答案：m(a+b)
3公式法
5.5
★环形绿化带的面积：
1运用平方差公式因式分解
π7.52-m…5.52
把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到a2-b2=(a+b)(a-b):
=π(7.52-5.52)
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差
=π(7.5+5.5)×(7.5-5.5)
的积。
=26m(m2).
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再
进一步因式分解
典例（本庄中考）若a-矿石a-办号则a+6的位为
b的
解析：d2-b(a+6a-b,又a-产石a-b写a+6
1,11
←-a-
b b
632
★a2-b2=(a+b)(a-b)
答案2
1
2运用完全平方公式因式分解
a
把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b=(a-b).
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍等
于这两个数的和（或差）的平方.
e
典例（济南中考）分解因式：x2+2x+1=
★a2+2ab+b2★a2-2ab+b2
解析：运用完全平方公式进行因式分解：x2+2x+1=(x+1)2
=(a+b)2.
=(a-b)2.
答案：(x+1)2
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