【学霸秘籍】九(上) 第1章 特殊平行四边形-北师大版数学-尖子生创优课堂笔记（pdf版）

第一章特殊平行四边形
第一章
特殊平行四边形
1菱形的性质与判定
1菱形的定义与性质
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形】
2.菱形的对称性
。菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的
★甘肃永昌出土的菱★中国古代墙面
对称轴
形图案彩色陶罐.装饰」
。菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心
3.菱形的性质
。定理：菱形的四条边相等
四条边等长，
对称轴
Q定理：菱形的对角线互相垂直
对
典例（枣庄中考)如图，菱形ABCD的边长为4，过点
称
A,C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于
,点E,F,AE=3,则四边形AECF的周长为(
)
E
B
★菱形是轴对称图形，它
A.22
B.18
C.14
D.11
的对角线所在直线就
解析：由题意得CF=AE=3.在菱形ABCD中，AD=DC,∠DAC=∠DCA.
是它的对称轴
又∠DAC+LF=90°=LDCA+∠DCF,∴.∠F=∠DCF,∴.DF=DC=4
同理BE=AB=4..四边形AECF的周长为2AE+4AD=2×3+4×4=22
答案：A
2菱形的判定
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2.定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
3.定理：四边相等的四边形是菱形
典例（淄博中考）已知口ABCD,对角线AC,BD相交于点O,请你添加
一个适当的条件，使口ABCD成为一个菱形，你添加的条件是
解析：由菱形的判定可知，添加条件可以是AD=DC或ACLBD.
答案：AD=DC或AC⊥BD(答案不唯一)
3菱形的面积
菱形面积的计算除利用平行四边形的面积公式外，也可用对角
线长来计算，若a,b分别表示两条对角线长，则菱形的面积S=ab.
女S#acw-2AC~BD,
2
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九年级上
2矩形的性质与判定
1矩形的定义与性质
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2.矩形的性质
。定理：矩形的四个角都是直角，
Q定理：矩形的对角线相等
★矩形相框
3.矩形的对称性
·矩形是轴对称图形，它有两条对称轴
。矩形是中心对称图形，对角线的交点即为对称中心
典例（青岛中考）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使
★矩形的两条对称轴.
人ED
顶点C恰好落在AB边的中点C'上，若AB=6,BC=9,则
BF的长为()
F
C
A.4
B.3
C.4.5
D.5
解析：在矩形ABCD中，LB=90°，BC'=一AB=3,C'F=FC=9-BF,
在Rt△BFC'中，C'F2=C'B+BF2,即(9-BF)2=9+BF2,解得BF=4
D
答案：A
B
★在Rt△ABC中，∠ACB=
2直角三角形斜边上的中线的性质
90°，点D是AB的中点，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
典例（盐城中考)如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,
则CD=2AB,
垂足为D,E是AC的中点.若DE=5,则AB的长为
立正！
解析：由题意，可得AC=2DE=10,∴.AB=AC=10.
答案：10
3矩形的判定
1.定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
2.定理：对角线相等的平行四边形是矩形
让你立正，你怎
3.定理：有三个角是直角的四边形是矩形
么还变样了呢？
典例（枣庄中考)如下页图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,
★有一个角为直角的平
已知，点O是AC的中点，AE=CF,DF∥BE,
行四边形是矩形
(1)求证：△BOE≌△DOF;
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