【学霸秘籍】九(上) 第2章 一元二次方程-北师大版数学-尖子生创优课堂笔记（pdf版）

九年级上
第二章一元二次方程
1认识一元二次方程
1一元二次方程的概念及一般形式
1.一元二次方程的概念：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以
化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元
二次项一次项常数项
二次方程
典细90
2.一元二次方程的一般形式：我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)
a是二次b是一次
称为一元二次方程的一般形式.其中ax2,bx,c分别称为二次项、一
项系数项系数
次项和常数项，α，b分别称为二次项系数和一次项系数.如一元二次
★在一元二次方程ax2+
方程5x2=3x-5的一般形式为5x2-3x+5=0,其中5x2是二次项，5是二
bx+c=0中，二次项系数
次项系数，-3x是一次项，-3是一次项系数，5是常数项」
a≠0.
2估算一元二次方程的解
用估算法求一元二次方程的近似解，首先根据具体的实际问题确
定出解的适当范围，然后通过对x的取值进行逼近使得方程中的αx+
bx+c的值无限接近于0，逐步获得方程的近似解
2用配方法求解一元二次方程
咦，咱俩长
1直接开平方法
得好像
一般地，运用平方根的意义直接开平方求出一元二次方程的解的
方法叫直接开平方法.其基本思路为：将方程转化为(x+m)2=n的
形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当≥0时，
两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根，
x2-4x+4=0x2-4x+3=0
2配方法
这样咱俩更像了！
A
通过把一个一元二次方程配成完全平方式的方法得到一元二次
方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法
典例（兰州中考)用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方后所得的方程
为(
(x-2)2=0(x-2)2=1
A.（x+1)2=0
B.(x-1)2=0
C.(x+1)2=2D.(x-1)2=2
★配方法的依据是a±
解析：x2-2x-1=0,移项，得x2-2x=1.配方，得x2-2x+12=1+12,即(x-1)2=2
2ab+b2=(a±b)2
答案：D
122
第二章一元二次方程
3用公式法求解一元二次方程
你不能进去，
1公式法
公
你没有解
般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac>0时，它的
根是：Vc,即=+v不
法
-b-V62-4ac
2a
2a
2a
这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次
x2+8x+17=0
方程的方法称为公式法
★在方程x2+8x+17=0中，
b2-4ac=82-4×17=-4<
2一元二次方程的根的判别式
0,不能用公式法求解.
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
66
当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
x2-2x+1=0
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
31
17e
当b2-4ac<0时，方程没有实数根
由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac
相等实数根
68
来判定.我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的
x2-5x+6=0
判别式，通常用希腊字母“△”来表示
2。
典例（枣庄中考)若一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值
范围是(
不等同号实数根
0-0
D.m-2
x2-4x-12=0
A.m≤-1
B.m≤1
C.m≤4
解析：x2+2x+m=0有实数根，∴.△=b2-4ac=22-4m≥0，解得m≤1
6
入
答案：B
不等异号实数根
4
用因式分解法求解一元二次方程
因式分解法
1.因式分解法的概念：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解
成两个一次因式的乘积时，我们就可以把一元二次方程化成两个一
元一次方程来求解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法
2.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
。移项：将方程的右边化为0；
。化积：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
。转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
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