四川省内江市重点中学2023-2024学年高三下学期第五次月考数学（理）试题（含答案）

内江市重点中学2023—2024学年度高24届第五次月考
理科数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，选出符合题目要求的一项）
1. 已知集合，，则=（ ）
A. B. C. D. 2
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 记为等差数列的前n项和．若，则数列的前2024项和为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数大致图象是（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，，.则（ ）
A. B. C. D. 或
7. 过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别是A，B，则四边形MAPB的面积最小值是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
8. 北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙 邓清明 张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足关系式：.若某人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数图象一个对称中心是，点在的图象上，下列说法错误的是（ ）
A. B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递减 D. 是奇函数
10. 在中，是边上的点，满足，在线段上（不含端点），且，则的最小值为（ ）
A B. C. D. 8
11. 古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为，，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
①椭圆的标准方程可以为 ②若，则
③存在点，使得 ④的最小值为
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
12. 已知函数，则的大小关系为（ ）
A. . B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知向量的夹角为，，则________．
14．设，满足约束条件，则的最小值为__________．
15．已知F为抛物线（t为参数）的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为_________．
16. 已知函数，方程有7个不同的实数解，则实数的取值范围是______.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17. 从①，，成等差数列；②，，成等比数列；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.
已知为数列的前项和，，，且________.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
18.为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作．为做好全省的迎检工作，成都市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）估计这200名学生健康指数的平均数和样本方差s2（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均，σ2近似为样本方差s2．
①求P（50.73＜Z＜78.54）；②已知该市高三学生约有10000名，记体质健康指数在区间（50.73，78.54）的人数为ξ，试求E（ξ）．附：参考数据：，
若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.955，P（μ﹣2σ＜X＜μ+3σ）≈0.997．
19．（12分）如图，在等腰梯形ABCD中，面ABCD，面ABCD，，点P在线段EF上运动．
（1）求证：；
（2）是否存在点P，使得平面PAB与平面ADE所成二面角余弦值为，若存在，试求点P的位置，若不存在，请说明理由．
20. 平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上运动，且，动点P满足．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设点M，N在曲线C上，O为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，且，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
21. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，令，若为的极大值点，证明：
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请先涂题号．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
22. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（其中t为参数，），且直线l和曲线C交于M，N两点．
（1）求曲线C的普通方程及直线l经过的定点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，若，求直线l的普通方程．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
23. 已知，若的解集为．
（1）求实数m，n的值；
（2）已知a，b，c均为正数，且满足，求的最小值．
内江市重点中学2023-2024学年高24届第五次月考
数学答案
1-5：CACAD 6-10:CDCBB 11-12:DB
13、 14、-2 15、64 16、417、（1）由，，当时，，
两式相减得，即，所以数列为等比数列，公比为.
选①，由，，成等差数列，可得，即，解得，
所以.
选②，由，，成等比数列，得，即，解得，所以.
选③，由，得，所以.
（2）当为奇数时，，
记前项和中的奇数项之和为，则
当为偶数时，，记前项和中的偶数项之和为，则，
故.
18、解：（1）由题意得，
平均数，
方差s2＝（40﹣60）2×0.02+（50﹣60）2×0.3+（60﹣60）2×0.4+（70﹣60）2×0.23+（80﹣60）2×0.04+（90﹣60）2×0.01＝400×0.02+100×0.3+0×0.4+100×0.23+400×0.04+900×0.01＝86；
（2）①由（1）可知μ＝60，，
则P（50.73＜Z＜78.54）＝P（60﹣9.27＜Z＜60+9.27×2）＝＝0.819；
②由①可知1名学生的体重位于（50.73，69.27）的概率为0.819，
依题意，ξ服从二项分布，即ξ～B（104，0.819），
则Eξ＝np＝8190．
19、（1）证明：在等腰梯形ABCD中，，，
．
平面ABCD，平面ABCD，，
又，面BFED，平面BFED，
面BFED，
（2）解：由已知可得四边形BFED为矩形，由（1）可建立分别以直线DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．令，
则，
．
设为平面PAB的一个法向量，
由得
取，得，是平面ADE的一个法向量，．
或．，此时P为EF的中点．
20、（1）设，，，，，
，，，
动点P的轨迹C的方程．
（2）当的斜率为0时，设则
因为，则，所以
所以
当的斜率不为0，所以设，，，
联立得，，
得，，．
又因为O到的距离，
，
．
又因为，，
化简得得，所以，
综上，的面积是定值，且该定值为．
21、（1）函数的定义域为，
①当时，，函数在上单调递增；
②当时，由，得，由，得，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，
又，所以存在，使得，
且当；又当；
故当，；当，；当，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极大值，故，且，所以，
，
又在单调递减，所以.
22.（1）由，将两个方程左右两边平方后相加，
可得曲线C的直角坐标方程为．
由得，直线l经过的定点P的坐标为．
（2）将，代入，得，
即，设其两根为，，
则，
得，即，得，经检验，
故直线l的普通方程为：．
23.（1）因为的解集为，所以，得，
故，
当时，，得，
当时，得，
综上解得，，
，．
（2）由（1）得，，
，
又a，b，c均为正数，，
所以得，
由于函数在单调递增，所以，，
当且时，即，取得最小值．