四川省内江市重点中学2023-2024学年高三下学期第五次月考数学（文）试题（含解析）

内江市重点中学2023—2024学年(下）高2024届第五次月考
数学（文）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若与反向共线，则m的值为（ ）
A．2 B． C．-2 D．0
4．体育强国的建设是2035年我国发展的总体指标之一.某学校安排周一至周五每天一小时课外体育运动时间，现统计得小明同学最近10周的课外体育运动时间（单位：小时/周）：6.5，6.3，7.8，9.2，5.7，7.9，8.1，7.2，5.8，8.3，则下列说法不正确的是（ ）
A．小明同学近10周的课外体育运动时间平均每天不少于1小时
B．以这10周数据估计小明同学一周课外体育运动时间大于8小时的概率为0.3
C．小明同学10周的课外体育运动时间的中位数为6.8
D．若这组数据同时增加0.5，则增加后的10个数据的极差、标准差与原数据的极差、标准差相比均无变化
5.函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列，的前n项和分别为，，若=,则（ ）
A． B． C． D．
7．执行如图所示的程序框图，若输出的，则空白框中应填入（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的右顶点为A，上、下顶点分别为，，是的中点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（ ）
A． B． C． D．3
10．焦点为的抛物线的对称轴与准线交于点，点在抛物线上且在第一象限，在中，，则直线AB的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
11．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴 踢的含义，“鞠”最早是外包皮革 内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴 踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点，满足平面，若的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：
①在区间上有且仅有3个不同的零点；
②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；
④在区间上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列满足，则的前6项和为 .
14．已知为奇函数，则 ．
15．已知，，，且，则a，b，c的大小关系为 ．（用“”连接）
16．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体表面上的动点，且总满足，若，则该多面体的表面积为 ，点N轨迹的长度为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．在中，角是锐角，角所对的边分别记作，满足，.
(1)求；(2)若，求的值.
18．如图，在三棱柱中，，，顶点在底面上的射影为的中点，为的中点，是线段上除端点以外的一点.
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积是三棱柱的体积的，求的值.
19．信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力．下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5．
年份代码x 1 2 3 4 5
中国信创产业规模y/千亿元 8.1 9.6 11.5 13.8 16.7
(1)从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率．
(2)由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元．参考数据：
2.45 38.52 6.81 1.19 2.84
其中，．参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
20．已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围；
21．给定椭圆（），称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”，若椭圆右焦点坐标为，且过点.
（1）求椭圆的“伴随圆”方程；
（2）在椭圆的“伴随圆”上取一点，过该点作椭圆的两条切线、，证明：两切线垂直；
（3）在双曲线上找一点作椭圆的两条切线，分别交于切点、，使得
=0，求满足条件的所有点的坐标.
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知点在曲线上．
(1)求动点的轨迹的直角坐标方程；
(2)过原点的直线与（1）中的曲线交于两点，且，求直线的斜率．
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设均为正实数，若函数的最小值为，且.求证：.
内江市重点中学2023—2024学年(下）高2024届第五次月考数学参考答案
1．B【分析】根据不等式的解法，求得集合，结合集合的交集的运算，即可求解.
【详解】由不等式，解得，又因为，所以，又由不等式，解得或，所以或，所以.故选：B．
2．D【分析】由复数对应的点求出复数，，计算，得复数的虚部.
【详解】在复平面内，复数，对应的点分别为，，则，，得，所以复数的虚部为.故选：D
3．C【分析】根据向量共线的坐标运算，求得参数，再结合向量线性运算的坐标运算求模长即可.【详解】根据题意可得：，解得或；当时，与共线同向，故舍去,故m=-2.故选：C.
4．C【分析】根据平均数、中位数及方差的定义判断A、C、D，利用频率判断B .
【详解】这10周数据的平均值为：，平均每天小时，故A正确；将10个数据从小到大排列为5.7，5.8，6.3，6.5，7.2，7.8，7.9，8.1，8.3，9.2，
中位数为，故C错误；这个数据中大于8的有3个，估计小明同学一周课外体育运动时间大于8小时的概率为：，故B正确；若这组数据同时增加0.5，则增加后新的数据中最大值和最小值分别为：，此时极差为：，原数据极差为，故若这组数据同时增加0.5后与原数据的极差相等；由原数据的方差为：，则若这组数据同时增加0.5后根据方差性质得现在的方差为：，从而现在数据的标准差与原数据的标准差相等，故D正确.故选：C.
5．B【分析】根据函数的单调性以及特殊点的函数值求得正确答案.【详解】设，的定义域为，，所以是偶函数，图象关于轴对称，所以D选项错误.
，所以C选项错误当时，，所以A选项错误.故选：B
6．A【分析】由，得，再根据等差中项的性质及等差数列前n项和公式进行计算即可.【详解】由，得 ，故 .故选：A.
7．C【分析】设空白框中填入，由程序框图分析列出方程求解即可．
【详解】设空白框中填入，由分析知，该算法是求，
则
，解得，即空白框中填入，故选：C．
8．D【详解】根据题意结合斜率关系可得，再结合以及离心率的定义分析求解.【分析】由题意可知：，，，则的中点，因为，整理得，又因为，即，整理得，所以椭圆的离心率为.故选：D．
9．D【分析】求得切线方程为，根据题意，转化为关于的方程有两个不同的解，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由函数，可得，设切点坐标为，所以，所以切线方程为，所以，即，因为过点作该曲线的两条切线，所以关于的方程有两个不同的解，即关于的方程有两个不同的解，所以.故选：D.
10.D【分析】先过B点作准线的垂线，再根据定义结合正弦定理，计算倾斜角的正弦最后得出斜率即可.
【详解】过作准线的垂线，垂足为，作轴的垂线，垂足为，则由抛物线的定义可得，由，在中由正弦定理可知：，设AB的倾斜角为，则tan，故选:D．
11．C【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球球心，用线段长表示出球半径，再借助均值不等式求解作答.【详解】在三棱锥中，因为平面ABC，平面，则，而，平面，因此平面，
又平面，于是，取中点，连接，从而，
则点是三棱锥的外接球球心，如图，
设该外接球半径为，则，
当且仅当时取等号，因此三棱锥的外接球表面积，
所以制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为.故选：C.
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再求出球的半径即可.
12．B【分析】令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④.
【详解】由函数， 令，则函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，由，得，则，即，，故③正确；对于①，，，当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误；对于②，周期，由，则，，又，所以的最小正周期可能是，故②正确；对于④，，，又，又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．故正确结论的序号是：②③故选：B
【点睛】方法点睛：函数的性质：
(1) .(2)周期(3)由 求对称轴，由求对称中心.(4)由求增区间；由求减区间.
13．【分析】利用等比数列的定义，结合等比数列前项和公式进行求解即可.
【详解】因为，所以，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以的前6项和为.故答案为：.
14．【解析】由可求出，然后代入计算即可得出的值．【详解】由奇函数的性质可得，故，所以．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数解析式及求解函数值，属于基础试题．
15．【分析】由已知条件得到，，令，利用导数法得到，从而，，再设，由的单调性判断即可.【详解】∵，，，且实数a，b，c满足，∴，，∴，．令，则，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，即，∴，∴．设，则，，∴在上单调递减，∴．综上，．故答案为：
16．
【分析】正四面体的表面积，减去截去的小正四面体的侧面积加上小正四面体的底面面积，可得多面体的表面积，利用动点的特征，判断轨迹形状，求出轨迹的长度.
【详解】根据题意该正四面体的棱长为，点分别是正四面体棱的三等分点．
该正四面体的表面积为，该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，每个角上小正四面体的侧面面积为，每个角上小正四面体的底面面积为，所以该多面体的表面积为：．如图设点为该多面体的一个顶点，为所在棱的顶点，则，
在中，，则，所以， 得，即；同理，，由，平面，所以平面．由点是该多面体表面上的动点，且总满足，则点的轨迹是线段，所以点轨迹的长度为：．故答案为：；
17．(1)；(2).【分析】（1）利用辅助角公式和三角函数关系式的变换求角；
（2）利用正弦定理和余弦定理及三角函数关系式的变换求出结果.
【详解】（1）因为===tan(-A)，又，
所以tan(-A)，又因为角是锐角，即，所以-A,所以-A=，故；
（2）因为，又，所以，因为，，由正弦定理，得，所以，由余弦定理得，，得，因为，所以所以，即，因为，所以，所以.
18．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）设的中点为，连接，，连接，先证明平面；再由题中条件，得到，从而可得结论成立；（2）根据（1）求出，，，设，根据棱锥与棱柱的体积公式，由题中数据列出等量关系，求出，即可得出结果.
【详解】（1）证明：设的中点为，连接，，因为点在底面上的射影为点，所以平面，又因为平面，所以平面平面.因为，所以；又平面.所以平面，连接，因为与平行且相等，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面.
（2）解：由（1）得平面，，所以，，令，所以，所以，又因为，由已知可得，解得；
所以为的中点，所以.
【点睛】方法点睛：证明空间中线线、线面、面面位置关系的常用方法：
（1）根据线面、面面平行于垂直的判定定理及性质，结合题中条件，直接证明；
（2）向量法：根据题中条件，建立适当的空间直角坐标系，求出对应直线的方向向量，以及平面的法向量，由空间位置关系的向量表示，即可证明结论成立.
19．(1)(2)，不会超过20千亿元．
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，利用列举法可得2个数据都大于10的概率为；（2）将指数型函数模型两边取对数可得，即，再利用参考数据可得回归方程为，将2023年的年份代码6代入可得，即可得出结论.
【详解】（1）从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据有，，，，，，，，，，共10种情况．其中这2个数据都大于10的有，，，共3种情况，所以2个数据都大于10的概率．
（2）两边同时取自然对数，得，则．
因为，，，所以，
，所以，即，所以，即y关于x的回归方程为．
2023年的年份代码为6，把代入，得，所以预测2023年中国信创产业规模不会超过20千亿元．
20．(1)单调递减区间为，单调递增区间为(2)
【分析】（1）利用导数判断出函数单调性即可求得单调区间；（2）将不等式转化为在时恒成立，构造函数利用单调性求出即可得出的取值范围；（3）利用（2）中的结论，当，时，满足，再利用裂项可得，累加求和即可得出结论.
【详解】（1）由函数可知其定义域为，易知，令可得，当时，，此时在单调递减，当时，，此时在单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为;
（2）由可得，即在时恒成立，
令，则，令，则在上恒成立，所以可得，因此恒成立，即可得在是单调递减，所以，即；因此满足题意，所以的取值范围是
21．（1）；（2）证明见解析；（3）或或或.
【解析】(1) 利用和联立解方程可得;
(2) 设切线方程为:,代入椭圆的方程,利用判别式等于零,可得关于斜率的一元二次方程,利用韦达定理可得斜率之积为,从而可证两条切线垂直;(3) 设经过点与椭圆相切的直线为:,代入椭圆的方程,利用判别式为零, 可得关于斜率的一元二次方程,然后根据斜率之积为可得点的轨迹方程为,最后联立此方程与双曲线方程可解得的坐标即可.
【详解】(1)依题意可得,,所以,①又椭圆过点,所以 ②由① ② 可得,椭圆的“伴椭圆”方程为:.
(2)由(1)可得椭圆,设切线方程为:,将其代入椭圆,消去并整理得:,由,得,设,的斜率为,则,所以两条切线垂直.
(3)当两条切线的斜率存在时,设经过点与椭圆相切的直线为:,则 消去并整理得,,所以,经过化简得到:,
设两条切线的斜率分别为,则,因为,所以,所以,所以,所以,
当两条切线的斜率不存在时,也满足,所以的轨迹为椭圆的”伴随圆”,其方程为:,联立,解得,所以或或或,所以满足条件的所有点的坐标为: 或或或.
【点睛】本题考查了直线与椭圆相切的位置关系、圆的方程、韦达定理、两条直线垂直关系、运算求解能力,设直线方程时,要注意讨论斜率是否存在,本题属于难题，解题中对字母的运算能力要求较高.
22．(1)(2)
【分析】（1）先将化为参数方程，可得到动点，从而得到点的轨迹的参数方程，再转化为直角坐标方程即可；（2）先设的参数方程，再代入曲线的方程得，再结合韦达定理和同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】（1）由题意，曲线的参数方程为，为参数，则，再设，则，为参数， 消去参数，得到，故点的轨迹的方程为．
设的参数方程为（为参数），且，代入曲线的方程得， 设两点对应得参数分别为，则，
所以，则，即直线的斜率为．
23．(1)(2)证明见解析
【分析】（1）借助零点分段法计算即得；（2）借助绝对值三角不等式与柯西不等式计算即得.
【详解】（1）由题意得，.
若，原不等式化为，解得；
若，原不等式化为，解得无解；
若，原不等式化为，解得，
综上所述，不等式的解集为.
（2），当且仅当时取等号，，要证，只要证，
由柯西不等式得：，
当且仅当时取等号，.