济宁市第一中学 2023-2024 学年度第二学期开学收心测试
数学试卷
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
U 1,2,3,4,5 A 1,3 B 3,51. U ( A B ) 已知集合 ， ， ，则 （ ）
A. 2,4 B. {5} C. 1,2,4,5 D. {3}
2. 命题“ x Q， x 2 是无理数”的否定是（ ）
A. x Q， x 2 不是无理数 B. x Q， x 2 是无理数
C. x Q， x 2 不是无理数 D. x Q， x 2 是无理数
x
3. f x 1 1 函数 2
的定义域为（ ）
A. 0, B. 0, C. , 0 D. ,0
4. 已知幂函数 f (x) (k 2 2k 14)x k在 0, 上单调递增，则 k （ ）
A. 3 B. 3 C. 5 D. 5
5. 函数 f(x)＝tan(2x π－ )的单调递增区间是( )
3
A．[kπ π kπ 5π－ ， ＋ ](k∈Z) B (kπ π kπ 5π． － ， ＋ )(k∈Z)
2 12 2 12 2 12 2 12
C (k π． π＋ ，k 2π)(k π 5ππ＋ ∈Z) D．[kπ－ ，kπ＋ ](k∈Z)
6 3 12 12
3
6. 已知 a 3
4
，b log5 3， c log6 3，则（ ）
4
A. a b c B. c b a C. b
7. 已知 sin(75°＋α) 1＝ ，则 cos(15°－α) 的值为( )
3
A 1 1 2 2 2 2．－ B. C．－ D.
3 3 3 3
8. 已知函数 f (x) lgx 1 2，若 f (a) f (b)，且 a b ，则 f (a) f (10b)的最小值为（ ）
A. 3 5 9 13B. C. D.
4 4 4
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二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9. 若“ x 1”是“ x a ”的充分不必要条件，则实数 a的值可以为（ ）
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
10. 已知θ∈(0 1，π)，sin θ＋cos θ＝ ，则下列结论正确的是( )
5
A π 3 3 7．θ∈( ，π) B．cos θ＝－ C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
2 5 4 5
11. 已知 a 0，b 0， a b 1，则（ ）
1 4
A. ab 1的最大值为 2 B. 的最小值为9a b
C. a2
1 3b
b2 1的最小值为 2 D. 的最小值为6ab a
12. 若函数 f (x)是定义在R 上的奇函数，且满足 f (x) f (4 x)，当 x 2,0 时，f (x) x2 ，则（ ）
A. f (8) 0 B. f (x)在 6, 2 上单调递增
C. f (x) f (x 4) D. xf (x) 1在[ 6,6]上的实数根之和为 0
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13. 设角θ的终边经过点 P(4，－3)，那么 2cos θ－sin θ＝________.
b
14. 已知10a 2，10b 3，则 2a __________.
15. 已知函数 f x 是定义在R上的偶函数，在[0， )上单调递增，且 f ( 2) 0，则不等式
f log3 x 0的解集为__________.
4
a, x 0
16. 已知函数 f (x) x 若对 x 1, ， f (x) | x |恒成立，则实数 a的取值范围为
2
x 2x a，x 0
_________.
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
10
17. （10 分）已知α是第三象限角，且 cos α＝－ .
10
(1)求 tan α的值；
cos（π－α）
(2)化简并求 的值．
2sin π（－α）＋sin（ ＋α）
2
第 2页/共 4页
18. （12分）已知函数 f (x)是定义在R 上的奇函数，当 x 0时， f (x) = log2(-x) .
（1）求 f (x)在R 上的解析式；
（2）解方程[ f (x)]2 3log4 x 1 .
19. （12 分）已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为 R.
(1) α π若 ＝ ，R＝6 cm，求该扇形的弧长 l；
3
(2)若扇形的周长为 12 cm，问当α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．
20. 12 x 2（ 分）已知函数 f (x) a （a 0且 a 1）的图象恒过定点 A，且点 A在函数 g x loga x的
图象上．
（1）求函数 g(x)的解析式；
（2）若存在互不相等的实数 m，n使 | g(m) | | g(n) |，求mn的值．
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21. （12 分）已知函数 f(x)＝sin xcos π＋cos xsinπ.
4 4
(1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求函数 f(x)在区间[0 π， ]上的值域；
2
(3) 1求满足 f(x)＞ 的 x的取值范围．
2
22. （12分）已知函数 f (x) 2x 2 x .
（1）判断 f (x)的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）若对 x [1, 2]，都有 f (2x) af (x) 0成立，求实数 a的取值范围；
（3）是否存在正实数 k，使得 f (x)在[m,n]上的取值范围是[k2m k,k2n k]？若存在，求 k的取值范围；
若不存在，请说明理由.
第 4页/共 4页高一数学收心考答案
1.【答案】C
【详解】 A B 1,3 3,5 3 ，
故 U ( A B ) 1,2,4,5 .
故选：C
2. 【答案】A
【详解】命题“ x Q， x 2 是无理数”为全称量词命题，
该命题的否定为“ x Q， x 2 不是无理数”.
故选：A.
3.【答案】A
1 x 1 x 1 x 1 0
【详解】对于函数 f x 1 ，有1 0，可得 1 ，解得 x 0，
2 2 2 2
因此，函数 f x 的定义域为 0, .
故选：A.
4. 【答案】D
【详解】由题意得幂函数 f (x) (k 2 2k 14)x k在 0, 上单调递增，
所以 k 2 2k 14 1,k 0，解得 k 5或 k 3（舍）.
故选：D.
π π π kπ π kπ 5π
5.【答案】B 解析：由－ ＋kπ<2x－ < ＋kπ，即 － 2 3 2 2 12 2 12
(kπ π kπ 5π故函数的单调递增区间为 － ， ＋ )(k∈Z)．
2 12 2 12
6.
【答案】B
3 3
4 4
【详解】因为 c log6 3 0,1 ,b log5 3 0,1 ,a
3 4 4
1，
3
ln 3
b log5 3 ln5 ln 6
且 log 6 1，可得b c，
c log 3 ln 3 ln 5 56
ln 6
所以 c b a .
故选：B.
7. B 解析：因为(75°＋α)＋(15°－α)＝90°，
所以 cos(15°－α)＝cos[90°－(75 1°＋α)]＝sin(75°＋α)＝ .
3
8.
【答案】B
1 lg x, 0,1
f (x) lgx 1
【详解】由题可得： lg x 1, 1, ，作出 f (x)的图像如下：
由 a b，且 f (a) f (b)，则 f (a) 1 lga， f (b) lgb 1，即1 lga lgb 1，解得： ab 100，
第 1页/共 7页
2
所以 f (a) f (10b) 1 lga 2 lg10b 1 1 2lga lg2 a lgb lg2 a (lga2b) 1
由 ab 100，则 lg2 a (lg a2b) 1 lg2 a lg100a 1 lg2 a lg a 1，
2
所以 f (a) f (10b) lg2 a lga 1 (lga 1)2 5 1 ，故当 lg a ，即 a 10时， f (a) 2 f (10b)
2 4 2
5
取最小值为 .
4
故选：B
9.
【答案】AB
【详解】因为“ x 1”是“ x a ”的充分不必要条件，所以 1, a, ，则a 1.
故选：AB
10. ABD 1解析：由题知 sin θ＋cos θ＝ ，①
5
1
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝ ，
25
24
∴2sin θcos θ＝－ ＜0. 又∵θ∈(0，π)，
25
π
∴ ＜θ＜π，sin θ－cos θ＞0.
2
∵(sin θ－cos θ)2＝1 24 49－2sin θcos θ＝1－(－ )＝ ，
25 25
∴sin 7θ－cos θ＝ .②
5
sin 4θ＝ ，
5
联立①②，得 ∴tan 4θ＝－ .故选 ABD.
cos 3θ＝－ ， 3
5
11.
【答案】BCD
【详解】对于 A： 1 a b 1 1 2 ab ab ，当且仅当 a b 时取得等号，故 A错误；
4 2
1 4 1 4
对于 B： a b 5
b 4a 5 2 b 4a 9，
a b a b a b a b
b 4a
1 2
当且仅当 a b ，即 a ,b 时取得等号，故 B正确；3 3
a b 1
C 2 2 a b
2
对于 ： 2 a b a b 2 a b 2 0 1 a2 b2 ，
2 2
1
当且仅当 a b 时取得等号，故 C正确；
2
2
对于 D 1 3b a b 3b a 4b a 4b： 2 2 2 6，
ab a ab a b a b a
a 4b
1 2
当且仅当 b a ，即b ,a 时取得等号，故 D正确.
a b 1
3 3
第 2页/共 7页
故选：BCD.
12.
【答案】ACD
【详解】对于 A，由于函数 f (x)是定义在R 上的奇函数，故 f (0) 0，
由 f (x) f (4 x)，令 x 0，则 f (0) f (4), f (4) 0，
则 f (8) f ( 4) f (4) 0，A正确；
对于 B，由 f (x) f (4 x)，得 f ( x) f (4 x)，即 f (4 x) f (x) ，
故 f (8 x) f (4 x) f (x)，即 8为函数 f (x)的一个周期，
由 f (x) f (4 x)，可知函数 f (x)的图象关于直线 x 2对称，
又当 x 2,0 时， f (x) x2 ，故可作出函数 f (x)的图象如图：
由图象可知 f (x)在 6, 2 上单调递减，B错误；
对于 C，由于函数 f (x)是定义在R 上的奇函数，且满足 f (x) f (4 x)，
故 f (x) f (x 4) ，C正确；
对于 D，当 x 0时，显然不满足 xf (x) 1，故 xf (x) 1的根即 f (x) 1 的根，
x
也即函数 y f (x), y 1 的图象的交点的横坐标，
x
1
作出 y f (x), y 的图象如图：
x
由于 y f (x), y 1 均为奇函数，因此结合图象可知，二者在[ 6,6]上图象的交点也两两关于原点对称，
x
因此交点的横坐标之和等于 0，即 xf (x) 1在[ 6,6]上的实数根之和为 0，D正确，
故选：ACD
13. 11
5
14.
【答案】3
【详解】因为10a 2，10b 3，所以 a lg 2,b lg3，
第 3页/共 7页
b lg3
故 2a 2lg2 2log2 3 3 .
故答案为：3
15.
1 ,9 【答案】
9
【详解】由题意可知 f ( 2) f 2 0，
又 f x 在[0， )上单调递增，则 x 2,2 时， f x 0，
则 f log3 x 0 2 log3 x 2，
1
根据对数函数的性质可知 x ,9 .
9
1
故答案为： ,99
16.
1
【答案】 ,5 4
4
【详解】当 x 1,0 时， a x x，
x
4
故 a x ，
x
令 g x x 4 4 ，由对勾函数的性质可得 g x x 在 x 1,0 上单调递减，
x x
故 g x gmax 1 1
4
5，所以 a 5，解得 a 5，
1
2
当 x 0, 时， x 2x a x x，
1 2 1 1 2 1 1
故 a x2 x x
，其中 x ，
2 4 2 4 4
所以 a 1 ，
4
a 1 综上， ,5 . 4
1
故答案为： ,5 4
17. 解：(1)由题意，得α是第三象限的角，
所以 sin 3 10α＝－ 1－cos2α＝－ ，.......................3
10
所以 tan sin αα＝ ＝3........................6
cos α
(2) －cos α cos α 1原式＝ ＝ ＝ ..................8
－2sin α＋cos α 2sin α－cos α 2tan α－1
tan 3 1 1当 α＝ 时，原式＝ ＝ ........................10
2×3－1 5
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18.
log2 ( x), x 0
【答案】（1） f (x) 0, x 0
log2 x, x 0
（2） x 2 或 x
1
4
【小问 1详解】
因为 f (x)是奇函数，
①当 x 0时， f (0) 0，.................2
②当 x 0时， x 0， f ( x) log 2 x f (x) ，...............3
所以 f (x) log 2 x，...................4
log2 ( x), x 0
所以 f (x) 0, x 0 ................................6
log2 x, x 0
【小问 2详解】
由题意知， x 0，.........................7
得[ f (x)]2 3log4 x ( log x)
2 3log2 x
2 1，2
log x= t t 2 3t令 2 ，则 1 0，即2 2t
2 3t 2 0，...............9
1
解得 t 或 t 2，................10
2
即 log x 12 或 log2 x 2，.................112
1
解得 x 2 或 x .....................................12
4
π
19. 解：(1)l＝αR＝ ×6＝2π(cm)，
3
即扇形的弧长为 2π cm.............................................4
(2)依题意，得 2R＋l＝12，则 l＝12－2R，
1 1
扇形的面积 S＝ lR＝ (12－2R)R＝－R2＋6R，...........................6
2 2
所以当 R＝3 cm时，S有最大值，...........................8
此时弧长 l＝6 cm，得α l＝ ＝2，.................10
R
即当α＝2时，该扇形面积最大，最大面积为 9 cm2.............................12
20. 【小问 1详解】
令 x 2 0得 x 2，所以函数 f (x)的图象恒过定点 A(2,1)，..................2
所以 g(2) loga 2 1，解得 a 2，................4
所以 g(x) log2 x， x 0 ；...............5
【小问 2详解】
由 g(m) g(n) ，得 log2 m log2 n ，........6
所以 log2 m log2 n或 log2 m log2 n，...............8
当 log2 m log2 n时，由 y log2 x单调性知，m n，不符合题意；......9
当 log2 m log2 n时， log2 m log2 n log2 mn 0 ，........11
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所以mn 1．...............12
f(x) sin xcos π21. 解：因为 ＝ ＋cos xsin π＝
4 4
sin(x π＋ )．.................2
4
(1) T 2π最小正周期 ＝ ＝2π.......................3
1
(2) π因为 x∈[0， ]，
2
π x π 3π所以 ≤ ＋ ≤ ，...............4
4 4 4
2
所以 ≤sin(x π＋ )≤1，.........................6
2 4
f(x) [ 2所以函数 的值域为 ，1]．.......................8
2
(3)因为 f(x) 1＞ ，
2
所以 sin(x π 1＋ )＞ ，
4 2
所以 2k π π 5ππ＋ ＜x＋ ＜2kπ＋ (k∈Z)，.............10
6 4 6
2k π 7π所以 π－ ＜x＜2kπ＋ (k∈Z)，.............................11
12 12
π 7π
所以 x的取值范围为(2kπ－ ，2kπ＋ )(k∈Z)．.........................12
12 12
22.
【小问 1详解】
f (x)在R 上单调递增
任取 x1, x2 R，且 x1 x2，...................1
f (x ) f (x ) (2x 2 x ) (2x 2 x ) 2x 1 1 1 2 2 1 2x 1那么 21 2 x ，2 1 2x2
2x 1 11 2x2 x x (2
x1 2x )(1 12 x x )，................22 2 2 1 2 1 2
x x x 1因为 11 2，所以0 2 2x2 ，可得2x1 2x2 0，又1 2x1 x
0，..........3
2
所以 f (x1) f (x2 ) 0，即 f (x1) f (x2 )，
所以 f (x)在R 上单调递增.......................4
【小问 2详解】
f (2x) af (x) 0 (22x 1 x 1因为 ，所以 2x ) a(2 x ) 0，2 2
所以 (2x 1 )(2x 1 1 x ) a(2
x
2 2x 2x
) 0，
1 1 3
由第（1 x）问知 f (x)在[1 , 2]上单调递增，所以 2 x 2 0，2 2 2
2x 1 1所以 x a 0，即 a 2
x x 对 x [1, 2]恒成立................52 2
令 y 2x 1 x ， x [1, 2]，只需 a ymin ，2
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1
令 t 2x ，则 y t ， t [2 , 4]，
t
y t 1因为 在[2 , 4]上单调递增，
t
1 5
所以当 t 2时， ymin 2 ，.........62 2
a 5所以 ...........7
2
【小问 3详解】
由第（1）问知， f (x)在[m,n]上单调递增，
f (m) 2m 1 k2
m k ,
2m
所以 ......................................8
f (n) 2n 1 n k2
n k ,
2
x 1 x
所以m , n为方程 2 x k2 k的两个实数根，2
2x 1即方程 k2x k有两个不等的实数根，
2x
令u 2x 0，即方程 (k 1)u 2 ku 1 0有两个不等的正根，..........10
所以 k 1 0即 k 1，
Δ k 2 4(k 1) 0
k 0
k 1
且 ，解得 k 1且 k 2，.................11
1 0
k 1
k 0
所以存在实数 k满足题意， k 1且 k 2 ........................12
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