山西省 2023-2024 学年度九年级阶段评估
数 学
（初中全册）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将
解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。
1.下列结果为 2的是（ ）
1
A．﹣（+2） B． C．|﹣2| D．﹣|﹣2|
2
2.观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3.下列运算一定正确的是( )
4
A. ( ab)2 a2b2 B. a3 a2 a6 C. a3 a7 D.b2 b2 2b2
4.“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗
启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之
花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为 0.0000084m，将数据
0.0000084用科学记数法表示为 8.4×10n，则 n的值是（ ）
A．6 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣6
5.如图，在 ABC中， AB 6，以点 A为圆心，3为半径的圆与边 BC相切于点 D，与 AC， AB分别交于点
E和点 G，点 F是优弧GE上一点， CDE 18 ，则 GFE的度数是（ ）
A．50° B．48° C．45° D．36°
6.某品牌鞋子的长度 ycm与鞋子的“码”数 x之间满足一次函数关系.若 22码鞋子的长度为 16cm，44码鞋子
的长度为 27cm，则 38码鞋子的长度为( )
A.23cm B.24cm C.25cm D.26cm
7.如图，一束光线从点 C出发，经过平面镜 AB 反射后，沿与 AF 平行的线段 DE 射出（此时∠1=∠2），
若测得 ∠DCF=100°，则 ∠A= ( )
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
8.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强
p kPa 与汽缸内气体的体积V mL 成反比例，P关于 V的函数图象如图所示，若压强由75 kPa加压
到100 kPa，则气体体积压缩了( )
A.10 mL B.15 mL C. 20 mL D. 25 mL
9.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图 1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学
者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.如图 2，一个巢房的横截面为正六边形
ABCDEF，若对角线 AD的长约为 AD 8 mm，则正六边形 ABCDEF的边长为( )
A. 2 mm B. 2 2 mm C. 2 3 mm D. 4 mm
10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1的正六边形OABCDE绕点 O顺时针旋转 i个45 ，得到正六
边形OAiBiCiDiEi ，则正六边形OAiBiCiDiEi (i 2028)的顶点Ci 的坐标是( )
A. (1, 3) B. (1, 3) C. (1, 2) D. (2,1)
二、填空题：本题共 5小题，共 15分。
11. 计算： 27 8 2 =_____．
3
12.下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第 n个图中所贴剪纸“○”的个数
为________________个
13.如图，在平行四边形 ABCD中，AB 4，BC 5，以点 C为圆心，适当长为半径画弧，交 BC于点 P，
1
交 CD于点 Q，再分别以点 P，Q为圆心，大于 PQ的长为半径画弧，两弧相交于点 N，射线 CN交
2
BA的延长线于点 E，则 AE的长是 _____.
14.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四
个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为 2 : 3 .现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在
阴影区域的概率为_______.
15 .如图，边长为1 3的正方形 ABCD中，点 E为对角线 BD上一点，连接 CE，将 CE绕点 C顺时针旋转
90°得到 CF，连接 EF和 DF若 EF＝2BE，则 BE的长为______．
三、解答题：本题共 8小题，共 75分。
16.（每小题 5分，共 10分）
1 20 1
2
（ ）计算： ( 7 1)( 7 1) ；
3
(2)下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．
因式分解： 3a b 2 a 3b 2
2
解：原式 9a 6ab b2 a2 6ab 9b2 第一步
8a2 8b2 第二步
8 a2 b2 第三步
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是___________公式；
②第三步进行因式分解用到的方法是___________法．
任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是
______________________．
任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出
正确的解答过程．
17 .（7分）请你阅读下面小王同学的解题过程，思考并完成任务：
3x x x 2 1
先化简，再求值： ，其中： x 3 .
x 1 x 1 2x
3x(x 1) x(x 1) (x 1)(x 1)
原式 ……第一步，
(x 1)(x 1) (x 1)(x 1) 2x
3x2 3x x2 x (x 1)(x 1)
……第二步，
(x 1)(x 1) 2x
2x2 4x (x 1)(x 1)
……第三步，
(x 1)(x 1) 2x
2x(x 2) (x 1)(x 1)
……第四步，
(x 1)(x 1) 2x
x 2………………………………第五步，
当 x 3时，原式 3 2 1 .
（1）任务一：以上解题过程中，第______步是约分，其变形依据是______；
（2）任务二：请你用与小明同学不同的方法，完成化简求值；
（3）任务三：根据平时的学习经验，就分式化简时需要注意的事项给同学们提一条建议.
18.（9分）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定，为了解同学
们对禁毒知识的掌握情况，某校组织了“禁毒防毒”知识竞赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C
（合格）、D（不合格）四个等级，小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如下统计图．
(1)本次抽样调查的学生人数是________，请补全条形统计图；
(2)学校准备针对毒品危害分别举行一次专题培训和一次实践活动，并分别随机抽一位竞赛成绩不合格
的同学参与发言，请用树状图或列表法求出恰好两次活动抽中同一人发言的概率；
(3)该校共有 2000名学生，请你估计该校本次竞赛中成绩达到合格的学生人数．
19.（8分）滨湖路是运城盐湖生态文化旅游南山片区串联滨湖各个功能的景观大道，是市民游憩、健身、
出行的绿色廊道，可承担国家级马拉松、竞走、自行车等体育赛事，某绿化公司对其中一段长 2400米
的路边进行绿化，绿化 800米后，为了尽快完成任务，后来每天的工作效率比原计划提高 25%，结果
共用 26天完成绿化任务．
(1)求原计划每天绿化多少米？
(2)该绿化公司原来每天支付给工人的工资总额为 1500元，为了完成整个工程后总共支付工人工资总额
不超过 43800元，求提高工作效率后每天支付给工人的工资总额最多可增长多少元？
20.（8分）舍利生生塔位于晋祠南瑞，建于隋开皇年间，宋代重修，清乾隆十六年（1751年）重建．七屋
八角，琉璃瓦顶，远远望去，高耸的古塔，映衬着蓝天白云，甚是壮观．原塔内每层均有佛像，开 4
门 8窗，凭窗远眺，晋祠内外美景可一览无余．如果在夕阳西下时欣赏宝塔，还会出现——天云锦、
满塔光辉的壮丽景观，被誉为“宝塔披霞”．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量舍利生生塔高”作为
一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：
课
测量舍利生生塔高
题
测
说明：某同学在地面上选择点 C，使用手持测角仪，测得此时楼
量
顶 A的仰角∠AHE＝α，沿 CB方向前进到点 D，测量出 C，D之
示
间的距离 CD＝xm，在点 D使用手持测角仪，测得此时楼顶 A的
意
仰角∠AFE＝β
图
测 α的度数 β的度数 CD的长度 该同学眼睛离地面的距离 HC
量
数 24° 37° 32m 1.76m
据
… …
（1）请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，求塔高 AB．（结果精确到 1m；参考数据：sin24°≈0.41，
cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写
出一个即可）
21.（8分）阅读与思考
下面是小宇同学的数学论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
利用网格构造数学图形
我们知道，由许多边长为 1的正方形组成如图 1所示的图形叫做网格，每一个小正方形的顶点叫做格
点．利用这样的网格不仅可以构造具有位置关系的图形，还可以构造某种数量关系的图形．
在图 1的网格中，连接格点 AB和CD交于点 E，则 AB CD．理由如下：
根据网格的特征可知： AF 2,BF 4,DG 1,CG 2， AFB DGC 90 ，
DG 1 CG 2 1
∵ ，
AF 2 BF 4 2
∴……
任务：
（1）请把小宇证明 AB CD的过程补充完整；
（2）请求出图 1中 AE的长度；
（3）在以上解答的启发下，请你作出图 2中线段 AB的三等分点．
22.（12分）综合与实践：
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在□ ABCD中，点 P是边 AD上一点．将△PDC沿直线 PC折叠，点 D的对应点为 E．
“兴趣小组”提出的问题是：如图 1，若点 P与点 A重合，过点 E作 EF∥ AD，与PC交于点 F，连接DF，
则四边形 AEFD是菱形．
(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；
(2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图 2，当点 P为 AD的中点时，延长CE交 AB于点 F，连接
PF．试判断 PF与 PC的位置关系，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
(3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图 3，当点 E恰好落在 AB边上时，
AP 3， PD 4，DC 10．则 AE的长为___________．（直接写出结果）
23.（13分）综合与探究
4 8
如图，抛物线 y= x2+ x+4与 x轴交于 A，B两点（点 A在点 B的左侧），与 y轴交于点 C，连接
3 3
BC．
(1)求 A，B，C三点及抛物线顶点的坐标；
(2)点 D是抛物线上的一个动点，设点 D的横坐标为 m(0时，求 m的值；
1
(3)试探究：在 y轴上是否存在点 P，使得∠PAO= ∠ABC，若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存
2
在，请说明理由．数学答案
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C B D D B B A C D A
二、填空题：本题共 5小题，共 15分。
5 3 1211． 12． 3n 2 13．1 14． 15．
3 13
2
三、解答题：本题共 8小题，共 75分。
16.（每小题 5分，共 10分）
【解析】（1）解：（1）原式=1-9+ ( 7 1)( 7 1)
1 9 7 1
2．
（2）任务一：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式；
②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法；
任务二：小明因式分解的结果不彻底，a2 b2还可以进行因式分解；
任务三：原式 [(3a b) (a 3b)][(3a b) (a 3b)]
(4a 4b)(2a 2b)
=8(a b)(a b)
故答案为：任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解不彻底（或 a2 b2还可以进行因式分解）；
任务三：8(a+b)(a b)．
17 .（7分）
【解析】（1）第五步为约分，其变形依据是分式的基本性质，
故答案为：五；分式的基本性质.
3x x (x 1)(x 1)
（2）原式
x 1 x 1 2x
3x (x 1)(x 1) x (x 1)(x 1)
x 1 2x x 1 2x
3(x 1) x 1
2 2
3x 3 x 1 2x 4
2 2
x 2，
当 x 3时，原式 3 2 1 .
（3）去括号时，要注意符号是否需要改变.（答案不唯一）
18 （9分）
【解析】（1）解：∵由条形统计图可得 C等级的人数为 25人，由扇形统计图可得 C等级的人数占比为 25%，
∴本次抽样调查的学生人数为 25÷25%=100．
∵B等级的人数占比为 35%，
∴B等级的人数为：100×35%=35（人）．
∴D等级的人数：100-35-35-25=5（人）．
补全条形统计图如下：
故答案为：100．
（2）解：列表如下：设五名不合格同学分别为 A、B、C、D、E
2
A B C D E
1
A A，A A，B A，C A，D A，E
B B，A B，B B，C B，D B，E
C C，A C，B C，C C，D C，E
D D，A D，B D，C D，D D，E
E E，A E，B E，C E，D E，E
由上表可知，一共出现 25种等可能的情况，其中同一个同学有 5种情况；
5 1
P（恰好同一个人发言） ；
25 5
（3）解： 2000
35 35 25
1900 （人）
100
估计该校本次竞赛中成绩达到合格的学生人数约为 1900人．
19 .（8分）
【解析】（1）设原计划每天植树造林 x米，则提速后每天植树造林 1+25% x米，
800 2400 800
依题意得： 26x 1 25% x
解得： x 80，
经检验， x 80是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天绿化 80米．
（2）设提高工作效率后每天支付给工人的工资可增长 y元，
依题意得：1500
800
1500 y 2400 800 43800
80 80 1 25%
解得： y 300
答：提高工作效率后每天支付给工人的工资总额最多可增长 300元．
20.（8分）
AE
【解析】解：（1）在 Rt△AFE中，tan∠AFE＝ ，∠AFE＝37°，
FE
FE 4∴ AE，
3
∵∠HCD＝90°，∠FDC＝90°，
∴HC∥FD，
又∵HC＝FD，
∴四边形 HCDF是矩形，
∴HF＝CD＝32m．
AE AE AE
在 Rt△AHE中，tan∠AHE＝ ＝ 4 ≈0.45，
HE HF FE 32 AE3
解得：AE＝36．
同理，四边形 FDBE是矩形，则 BE＝FD＝HC＝1.76m，
∴AB＝AE+BE＝36+1.76=37.76≈38（m）．
答：塔高 AB约为 38m．
（2）还需要补充的项目为：计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一，合理即可．）
21.（8分）
DG 1 CG 2 1
【解析】解：（1）∵ ，
AF 2 BF 4 2
DG CG
∴ = ，
AF BF
∵ AFB DGC 90 ，
∴ CDG∽ BAF，
∴ C B，
∵ C CDG 90 ，
∴ B CDG 90 ，
∴ BED 90 ，
∴ AB CD；
(2)在Rt ABF中 AB AF 2 BF 2 2 5 ，
∵ AC∥BF，
∴△ACE∽△BDE，
AC AE 3
∴ ，
BD BE 2
∴ AE
3
AB，
5
3
∴ AE 2 5
6
5 ；
5 5
（3）如图：点 M，N就是 AB的三等分点．
AM 1由图可知 AB ,BN
1
AB ，
3 3
∴点 M，N就是 AB的三等分点．
22 .（12分）
【解析】（1）证法一：由折叠得， AD AE， DAF EAF ， DFA EFA
∵ EF∥ AD
∴ DAF EFA
∴ DFA EAF
∴DF∥ AE
∴四边形 AEFD是平行四边形
∵ AD AE
∴四边形 AEFD是菱形．
证法二：
证明：由折叠得， AD AE，DF EF ， DAF EAF
∵ EF∥ AD
∴ DAF EFA
∴ EFA EAF
∴EA EF
∴ AD DF EF AE
∴四边形 AEFD是菱形．
（2）解： PF PC ．
连接 AE
由折叠可得PD PE， PEC PDC ， DPC EPC
∵四边形 ABCD是平行四边形
∴ ADC DAB 180
又∵ PEC PEF 180
∴ DAB PEF
∵点 P是 AD的中点
∴ PA PD
∴ PAE PEA
∴ DAB PAE PEF PEA
∴ AEF EAF
∴ AF EF
∴△PAF≌△PEF （SSS）
∴ APF EPF
又∵ DPC CPE EPF APF 180 ，即 2 CPE 2 FPE 180
∴ FPC 90
∴PF PC ．
（3）解：延长 BA、CP相交于点 F，
由题意，△AFP∽△DCP
AF AP AF 3
∴ 即
DC DP 10 4
∴ AF
15
2
∵∠DCP=∠ECP，∠DCP=∠F
∴∠F=∠ECP
∴EF=EC=DC=10
∴ AE 10
15 5
．
2 2
5
故答案为 ．
2
23 .（13分）
4 8 4 8
【解析】（1）解：将 y=0代入 y= x2+ x+4，得 0= x2+ x+4．
3 3 3 3
解得：x1= 1，x2=3．
∴A( 1，0)，B(3，0)．
4 8
将 x=0代入 y= x2+ x+4，得 y=4．
3 3
∴C(0，4)．
4 2 8 4 16∵y= x + x+4= (x 1) 2+ ，
3 3 3 3
16
∴抛物线顶点坐标为(1， )；
3
（2）解：过点 D作 DM∥y轴，交 BC于点 M．
设直线 BC的函数表达式为 y=kx+b．
将 B(3，0)，C(0，4)代入 y=kx+b，
3k b 0
4
k
得 解得 3 ，
b 4 b 4
4
∴直线 BC的函数表达式为 y= x+4．
3
∵点 D在抛物线上，
4 8
∴D(m， m2+ m+4)．
3 3
∵DM∥y轴，
4
∴M(m， m+4)．
3
1 3
∵S△CBD=S△CMD+S△BMD= DM |xB xC|= DM，
2 2
∴当 DM最大时，S△CBD最大．
4 2 8 4 4 4 3∵DM=( m + m+4) ( m+4)= m2+4m= (m )2+3．
3 3 3 3 3 2
4
∵ <0，
3
3
∴当△CBD的面积最大时，m的值为 ；
2
（3）解：∵B(3，0)，C(0，4)，
∴OB=3，OC=4，
∴BC= 32 42 =5，
作 BN平分∠OBC交 OC于点 N，过点 N作 NE⊥BC于点 E，
∵NO⊥OB，NE⊥BC，BN平分∠OBC，
∴NO= NE，
1
S BC NE BC 5
∴ CBN 2 ，
S 1 OBN OB NO OB 3
2
S CBN CN
∵ S OBN ON
，
CN 5
∴ ，
ON 3
又∵CN+ON=OC=4，
5 3
∴CN= ，ON= ，
2 2
1
∵∠P1AO= ∠ABC=∠NBO，∠P2 1
OA=∠NOB=90°，
∴△P1OA∽△NOB，
AO P 1 P1O
∴ 1
O
，即 3 ，
OB NO 3 2
1
∴P1O= ，2
1
同理求得 P2O= ，2
1 1
∴P1(0， )，P2(0，- ) ．2 2
