吉林省长春市部分高中2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题（含答案）

长春市部分高中2023-2024学年高一下学期开学考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．2
2．下列满足在上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．命题“有实数解”的否定是（ ）
A．，无实数解 B．，无实数解
C．，有实数解 D．，有实数解
5．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：h）与储藏的温度t（单位：℃）满足的函数关系为（k，b为常数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0℃时的有效保存时间是1080h，在10℃时的有效保存时间是120h，则该疫苗在15℃时的有效保存时间是（ ）
A．15h B．30h C．45h D．60h
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列函数中，与是同一个函数的是（
A． B． C． D．
10．下列函数周期为的是（ ）
A． B． C． D．
11．若，，则（ ）
A． B． C． D．
12．有如下命题，其中真命题的有（ ）
A．若幂函数的图象过点，则
B．函数（，且）的图象恒过定点（1，2）
C．函数有两个零点
D．若函数在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1，2]
三、填空题：本题共4．小题，每小题5分，共计20分．
13．若函数，则______．
14．______．
15．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为______．
16．已知，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设
（1）求；
（2）求．
18．（12分）已知函数满足，且．
（1）求实数a的值和函数的解析式；
（2）判断若函数在其定义域的单调性并加以证明．
19．（12分）已知函数．
（1）求函数图象的对称轴方程；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）当时，求函数的最值．
20．某商场某月1号至30号某款小商品的销售量（台）和价格（元）均为销售日期t（几号）的函数，已知销售量近似地满足，且1号至15号价格满足，16号至30号的价格满足．
（1）求该小商品的日销售额S（元）与销售日期t的函数关系；
（2）求日销售额S（元）的最大值及此时t的值．
21．（12分）已知．
（1）求，的值；
（2）求的值．
22．（12分）已知函数（为常数）是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）求不等式的解集．
长春市部分高中2023-2024学年高一下学期开学考试
数学答案
一、单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C D D B D C B C
二、多项选择题
9 10 11 12
AC BCD AC BD
三、填空题
13．3 14． 15． 16．3
四、解答题
17．(1)
(2)
18．解：(1)由，得，则
，得
所以．
(2)函数的定义域为，函数为定义域上的增函数，证明如下：
任取且，所以，
所以，
因为，
所以，即．
所以在其定义域为单调增函数．
19．解：(1)令，得．
所以函数图象的对称轴方程是，．
(2)令，，
得，.
故函数的单调递增区间为．
(3)当时，，
所以，所以，
所以当时，函数的最大值为1，最小值为．
20．解：(1)当，时，，
当，时，，
所以
(2)当时，
．
因此，当时，S取最大值为1600；
当，时，为为减函数，
因此，当时，S取最大值为1020．
综上，销售额S的最大值为1600，此时．
21．解：(1)因为，
所以，
所以，．
(2)．
22．解：(1)由函数是奇函数，
令，则，即得，
经检验当时，为奇函数．
(2)任意，且，
，
因为且，所以，所以，
所以在R上是单调递增函数，
由，
得，即，
因为，即，所以或，
所以不等式的解集为．