2023-2024学年初中数学沪科版七年级下册 6.2 实数 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·滨海期末）估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
2．（2023·赤峰）如图，数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点S
3．（2019八下·莱州期末）若，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·青羊月考）若，是两个连续的整数且，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．（2023八上·兴隆期中） 一个正方体的水晶砖，体积为，它的棱长大约在（ ）
A．3cm与4cm之间 B．4cm与5cm之间 C．5cm与6cm之间 D．6cm与7cm之间
6．（2023八上·昌黎期中）如图，在数轴上，点A表示实数a，则a可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七上·海曙期中） 已知min{，x2，x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{，x2，x}＝min{，92，9}＝3．当min{，x2，x}＝时，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021七上·綦江期中）自定义运算： 例如： ，若m，n在数轴上的位置如图所示，且 ，则 的值等于（ ）
A．2028 B．2035 C．2028或2035 D．2021或2014
二、填空题
9．（2023·自贡）请写出一个比小的整数 ．
10．（2013·台州）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ ]=1．现对72进行如下操作：72 [ ]=8 [ ]=2 [ ]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
11．（2023八上·长清期中）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，则 ．（选填“＞”，“＜”，“＝”）．
12．（2023七上·余姚期中）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．现已知对所有正整数n成立，则的值为 ．
13．（2023九上·开州开学考）一个四位正整数满足百位上的数字比千位上的数字小，个位上的数字比十位上的数字小则称为“三五律数”，将“三五律数”的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为，将“三五律数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为例如：四位正整数，，，是“三五律数”，此时，．
（1）四位正整数是“三五律数”，则 ．
（2）若是“三五律数”，且满足是一个正整数的次方，则符合条件的为 ．
三、解答题
14．利用如图4×4方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数和．
15．（2023八上·槐荫期中）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形ABCD的长AD是个单位长度，长方形EFGH的长EH是个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E、D两点之间的距离为．
（1）点在数轴上表示的数是 ，点在数轴上表示的数是 ；
（2）若线段的中点为，线段上有一点N，，点M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点？
（3）若线段的中点为，线段上有一点N，，长方形以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，是否存在一个的值，使以M、N、F三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出的值；不存在，请说明理由．
四、综合题
16．（2023七下·固始期末）下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且，
∴设，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S正方形＝102+2×10 x+x2，S正方形＝107
∴102+2×10 x+x2＝107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即．
（1）的整数部分是 ；
（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
17．（2023七下·太和期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知：，其中是整数，且，直接写出的相反数 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
故答案为：B.
【分析】先估算出的大小，继而得出+1的大小.
2．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，
数轴上表示实数的点可能是 点，
故答案为：B.
【分析】被开方数的值越大，对应的算术平方根的值也越大，找到与被开方数相邻近的平方数是解题关键.
3．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【分析】∵，∴可假设，则，，∵0.01<0.1<10，∴．故选C．
4．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，是两个连续的整数且，
∴m=3，n=4，
∴m+n=7，
故答案为：B
【分析】根据题意估算无理数的大小，进而即可得到m和n，从而即可求解。
5．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵ 一个正方体的水晶砖，体积为，
∴ 正方体棱长=
∴
即
故答案为 ： B
【分析】本题考查立方根的估算。根据正方体体积公式，得出棱长，再找出被开方数前后紧邻的立方数，可得结论。
6．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵点A表示实数a，
∴-3＜a＜-2，
∵-3＜＜-2，
∴a可能是，
故答案为：C
【分析】先根据数轴得到a的取值范围，进而结合选项判断无理数的大小即可求解。
7．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；定义新运算
【解析】【解答】解：若则 x<， 不符合最小；
若x2=，x=，当x=-时，x若x=，x2=， x>x2， 不符合x最小.
故答案为：C.
【分析】分别计算 ，x2，x 为 时，x的值，是否满足 min{，x2，x}＝即可.
8．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；代数式求值；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，且 ，
根据题图可知： ，
当 时
∴ ，
∴
∴ ，化简得：
∴
∴ ，
当 时
∴ ，
∵
∴
∴ ，化简得：
∴
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据题图可知 ，分两种情况：当 时 ，可得出；当 时 ，可得，然后根据自定义运算分别解答即可.
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据估算无理数的大小结合算术平方根即可求解。
10．【答案】3；255
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：①[ ]=9，[ ]=3，[ ]=1，
故答案为：3；
②最大的是255，
[ ]=15，[ ]=3，[ ]=1，而[ ]=16，[ ]=4，[ ]=2，[ ]=1，
即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255，
故答案为：255．
【分析】①根据规律依次求出即可；②要想确定只需进行3次操作后变为1的所有正整数，关键是确定二次操作后数的大小不能大于4，二次操作时根号内的数必须小于16，而一次操作时正整数255却好满足这一条件，即最大的正整数为255．
11．【答案】>
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∴，
∴>，
故答案为：>.
【分析】利用估算无理数大小的方法可得，再求出即可得到答案.
12．【答案】301
【知识点】无理数的估值；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，=2，，=4，=5，=6，=7，=8
∴可知[]+[]+[]=1+1+1=3；
[]+[]+[]+[]+[]=2+2+2+2+2=10；
[]+[]++[]=3+3+3++3=3×（15-9+1）=21；
[]+[]+[]+[]=4+4+4++4=4×（24-16+1）=36；
[]+[]++[]=5+5++5=5×（35-25+1）=55；
[]+[]++[]=6+6++6=6×（48-36+1）=78；
[]+[]++[]=7+7++7=7×（62-49+1）=98；
∴ =3+10+21+36+55+78+98=301.
故答案为：301.
【分析】根据估算无理数的大小的原则，先找到无理数相邻的两个正数的算数平方根；定义 表示不超过x的最大整数 ，根据有理数的混合运算依次计算即可.
13．【答案】（1）73
（2）6163
【知识点】实数的运算；定义新运算
【解析】【解答】（1）根据题意可知：
∵ 四位正整数6130是“三五律数”，
∴ F（6130）=63+10=73
（2）设A的千位数字为x，百位数字是x-5，十位数字是y，个位数字是y-3，其中5≤x≤9，3≤y≤9，x，y均为正整数.
∵ A是“三五律数”
∴ F（A）=10x+y+10（x-5）+y-3=20x+2y-53
G（A）=10x+x-5-（10y+y-3）=11x-11y-2
∴ F（A）- G（A）=20x+2y-53-（11x-11y-2）=9x+13y-51
∵ 5≤x≤9，3≤y≤9，x，y均为正整数.
∴ 33≤9x+13y-51≤147，
∵ F（A）- G（A）是一个正整数的次方，24=16，34=81，44=256，
∴ F（A）- G（A）是3的次方
∴ 9x+13y-51=81
整理得：9x+13y=132
解得：x=6，y=6，x-5=1，y-3=3
则千位数字为6，百位数字是1，十位数字是6，个位数字是3
则A是6163.
【分析】本题考查新定义下的实数运算和二元一次方程，正确理解题意是关键。（1）根据新定义列式求解即可；（2）可直接设A的千位数字x和十位数字y，根据数量关系，可表示出其百位数字和各位数字，并表示出x，y各自的取值范围，根据定义，表示出 F（A）- G（A），可得其取值范围，根据 F（A）- G（A）是 一个正整数的次方，可知是3的4次方，可得x和y的二元一次方程，求解即可。
14．【答案】解：∵面积为8 平方单位的正方形，它的边长为个单位
∴作出面积为8平方单位的正方形如下图所示：
∴在数轴上表示实数 和如下图：
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【分析】根据面积为8平方单位的正方形的边长为，然后截取边长即可在数轴上求得两个无理数。
15．【答案】（1）；
（2）解：由题意知，线段的中点为，则表示的数为，
线段上有一点，且，则表示的数为．
M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，
即：，，
∵原点恰为线段的三等分点，
∴OM=2ON或且点在线段上，即、表示的数异号，
①当时，则有，
解得或，
经检验，不符合题意，舍去，符合题意．
②当时，则有，
解得，
经检验，不符合题意，舍去，符合题意；
综上所述，当或时，原点恰为线段的三等分点．
（3）解：或
【知识点】无理数在数轴上表示；线段上的两点间的距离
【解析】【解答】解：（1）∵长方形EFGH的长GH是个单位长度，且点E在数轴上表示的数是
∴点H在数轴上表示的数为：
∵E，D两点之间的距离为，长方形ABCD的长A是个单位长度
∴点A在数轴上表示的数为：
故答案为：，
（3）根据题意，因为、、三点中点的位置不确定，所以应分类讨论，有以下三种情况：
①当时，点与点重合，此时，
解得：；
②当时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
③如图，连接，
∵EFGH是长方形，
∴，
∵，
∴或，
∴．
综上所述，存在这样的，的值为或．
【分析】（1）根据数轴上点的平移规律“左加右减”即可求出答案.
（2）先根据题意求出点M，N在数轴上对应的数，根据恰为线段的三等分点可得OM=2ON或ON=2OM，列出方程，解方程即可求出答案.
（3）分当时，点与点重合， ，三种情况，列出等式即可求出答案.
16．【答案】（1）8
（2）解：∵面积为76的正方形边长是，且，
∴设，其中0＜x＜1，如图所示，
∵图中S正方形＝82+2×8 x+x2，S正方形＝76，
∴82+2×8 x+x2＝76，
当x2较小时，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，即．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵64＜76＜81，
∴8＜＜9，
∴的整数部分是8；
故答案为：8.
【分析】（1）被开方数大，算术平方根就大，据此估算即可；
（2）根据题目提供的方法进行解答即可.
17．【答案】（1）4；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分，
∵，
即，
∴的整数部分，
∴．
（3）
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分为4，小数部分为；
故答案为：4；；
（3）∵
∴11＜x+y＜12，
∵x为整数，且0＜y＜1，
∴x=11，，
∴，
∴x-y的相反数是，
故答案为：.
【分析】（1）先估算介于哪两个相邻的整数之间，再得出它的整数部分，从而得出它的小数部分；
（2）首先用估算得出，b=3，再代入代数式a+b-，求出代数式的值及可；
（3）首先估算，得出，x=11，，然后求出代数式x-y，再进一步求得它的相反数即可。
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版七年级下册 6.2 实数 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·滨海期末）估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
故答案为：B.
【分析】先估算出的大小，继而得出+1的大小.
2．（2023·赤峰）如图，数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点S
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，
数轴上表示实数的点可能是 点，
故答案为：B.
【分析】被开方数的值越大，对应的算术平方根的值也越大，找到与被开方数相邻近的平方数是解题关键.
3．（2019八下·莱州期末）若，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【分析】∵，∴可假设，则，，∵0.01<0.1<10，∴．故选C．
4．（2023八上·青羊月考）若，是两个连续的整数且，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，是两个连续的整数且，
∴m=3，n=4，
∴m+n=7，
故答案为：B
【分析】根据题意估算无理数的大小，进而即可得到m和n，从而即可求解。
5．（2023八上·兴隆期中） 一个正方体的水晶砖，体积为，它的棱长大约在（ ）
A．3cm与4cm之间 B．4cm与5cm之间 C．5cm与6cm之间 D．6cm与7cm之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵ 一个正方体的水晶砖，体积为，
∴ 正方体棱长=
∴
即
故答案为 ： B
【分析】本题考查立方根的估算。根据正方体体积公式，得出棱长，再找出被开方数前后紧邻的立方数，可得结论。
6．（2023八上·昌黎期中）如图，在数轴上，点A表示实数a，则a可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵点A表示实数a，
∴-3＜a＜-2，
∵-3＜＜-2，
∴a可能是，
故答案为：C
【分析】先根据数轴得到a的取值范围，进而结合选项判断无理数的大小即可求解。
7．（2023七上·海曙期中） 已知min{，x2，x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{，x2，x}＝min{，92，9}＝3．当min{，x2，x}＝时，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；定义新运算
【解析】【解答】解：若则 x<， 不符合最小；
若x2=，x=，当x=-时，x若x=，x2=， x>x2， 不符合x最小.
故答案为：C.
【分析】分别计算 ，x2，x 为 时，x的值，是否满足 min{，x2，x}＝即可.
8．（2021七上·綦江期中）自定义运算： 例如： ，若m，n在数轴上的位置如图所示，且 ，则 的值等于（ ）
A．2028 B．2035 C．2028或2035 D．2021或2014
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；代数式求值；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，且 ，
根据题图可知： ，
当 时
∴ ，
∴
∴ ，化简得：
∴
∴ ，
当 时
∴ ，
∵
∴
∴ ，化简得：
∴
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据题图可知 ，分两种情况：当 时 ，可得出；当 时 ，可得，然后根据自定义运算分别解答即可.
二、填空题
9．（2023·自贡）请写出一个比小的整数 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据估算无理数的大小结合算术平方根即可求解。
10．（2013·台州）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ ]=1．现对72进行如下操作：72 [ ]=8 [ ]=2 [ ]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】3；255
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：①[ ]=9，[ ]=3，[ ]=1，
故答案为：3；
②最大的是255，
[ ]=15，[ ]=3，[ ]=1，而[ ]=16，[ ]=4，[ ]=2，[ ]=1，
即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255，
故答案为：255．
【分析】①根据规律依次求出即可；②要想确定只需进行3次操作后变为1的所有正整数，关键是确定二次操作后数的大小不能大于4，二次操作时根号内的数必须小于16，而一次操作时正整数255却好满足这一条件，即最大的正整数为255．
11．（2023八上·长清期中）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，则 ．（选填“＞”，“＜”，“＝”）．
【答案】>
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∴，
∴>，
故答案为：>.
【分析】利用估算无理数大小的方法可得，再求出即可得到答案.
12．（2023七上·余姚期中）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．现已知对所有正整数n成立，则的值为 ．
【答案】301
【知识点】无理数的估值；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，=2，，=4，=5，=6，=7，=8
∴可知[]+[]+[]=1+1+1=3；
[]+[]+[]+[]+[]=2+2+2+2+2=10；
[]+[]++[]=3+3+3++3=3×（15-9+1）=21；
[]+[]+[]+[]=4+4+4++4=4×（24-16+1）=36；
[]+[]++[]=5+5++5=5×（35-25+1）=55；
[]+[]++[]=6+6++6=6×（48-36+1）=78；
[]+[]++[]=7+7++7=7×（62-49+1）=98；
∴ =3+10+21+36+55+78+98=301.
故答案为：301.
【分析】根据估算无理数的大小的原则，先找到无理数相邻的两个正数的算数平方根；定义 表示不超过x的最大整数 ，根据有理数的混合运算依次计算即可.
13．（2023九上·开州开学考）一个四位正整数满足百位上的数字比千位上的数字小，个位上的数字比十位上的数字小则称为“三五律数”，将“三五律数”的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为，将“三五律数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为例如：四位正整数，，，是“三五律数”，此时，．
（1）四位正整数是“三五律数”，则 ．
（2）若是“三五律数”，且满足是一个正整数的次方，则符合条件的为 ．
【答案】（1）73
（2）6163
【知识点】实数的运算；定义新运算
【解析】【解答】（1）根据题意可知：
∵ 四位正整数6130是“三五律数”，
∴ F（6130）=63+10=73
（2）设A的千位数字为x，百位数字是x-5，十位数字是y，个位数字是y-3，其中5≤x≤9，3≤y≤9，x，y均为正整数.
∵ A是“三五律数”
∴ F（A）=10x+y+10（x-5）+y-3=20x+2y-53
G（A）=10x+x-5-（10y+y-3）=11x-11y-2
∴ F（A）- G（A）=20x+2y-53-（11x-11y-2）=9x+13y-51
∵ 5≤x≤9，3≤y≤9，x，y均为正整数.
∴ 33≤9x+13y-51≤147，
∵ F（A）- G（A）是一个正整数的次方，24=16，34=81，44=256，
∴ F（A）- G（A）是3的次方
∴ 9x+13y-51=81
整理得：9x+13y=132
解得：x=6，y=6，x-5=1，y-3=3
则千位数字为6，百位数字是1，十位数字是6，个位数字是3
则A是6163.
【分析】本题考查新定义下的实数运算和二元一次方程，正确理解题意是关键。（1）根据新定义列式求解即可；（2）可直接设A的千位数字x和十位数字y，根据数量关系，可表示出其百位数字和各位数字，并表示出x，y各自的取值范围，根据定义，表示出 F（A）- G（A），可得其取值范围，根据 F（A）- G（A）是 一个正整数的次方，可知是3的4次方，可得x和y的二元一次方程，求解即可。
三、解答题
14．利用如图4×4方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数和．
【答案】解：∵面积为8 平方单位的正方形，它的边长为个单位
∴作出面积为8平方单位的正方形如下图所示：
∴在数轴上表示实数 和如下图：
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【分析】根据面积为8平方单位的正方形的边长为，然后截取边长即可在数轴上求得两个无理数。
15．（2023八上·槐荫期中）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形ABCD的长AD是个单位长度，长方形EFGH的长EH是个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E、D两点之间的距离为．
（1）点在数轴上表示的数是 ，点在数轴上表示的数是 ；
（2）若线段的中点为，线段上有一点N，，点M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点？
（3）若线段的中点为，线段上有一点N，，长方形以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，是否存在一个的值，使以M、N、F三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出的值；不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：由题意知，线段的中点为，则表示的数为，
线段上有一点，且，则表示的数为．
M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，
即：，，
∵原点恰为线段的三等分点，
∴OM=2ON或且点在线段上，即、表示的数异号，
①当时，则有，
解得或，
经检验，不符合题意，舍去，符合题意．
②当时，则有，
解得，
经检验，不符合题意，舍去，符合题意；
综上所述，当或时，原点恰为线段的三等分点．
（3）解：或
【知识点】无理数在数轴上表示；线段上的两点间的距离
【解析】【解答】解：（1）∵长方形EFGH的长GH是个单位长度，且点E在数轴上表示的数是
∴点H在数轴上表示的数为：
∵E，D两点之间的距离为，长方形ABCD的长A是个单位长度
∴点A在数轴上表示的数为：
故答案为：，
（3）根据题意，因为、、三点中点的位置不确定，所以应分类讨论，有以下三种情况：
①当时，点与点重合，此时，
解得：；
②当时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
③如图，连接，
∵EFGH是长方形，
∴，
∵，
∴或，
∴．
综上所述，存在这样的，的值为或．
【分析】（1）根据数轴上点的平移规律“左加右减”即可求出答案.
（2）先根据题意求出点M，N在数轴上对应的数，根据恰为线段的三等分点可得OM=2ON或ON=2OM，列出方程，解方程即可求出答案.
（3）分当时，点与点重合， ，三种情况，列出等式即可求出答案.
四、综合题
16．（2023七下·固始期末）下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且，
∴设，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S正方形＝102+2×10 x+x2，S正方形＝107
∴102+2×10 x+x2＝107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即．
（1）的整数部分是 ；
（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】（1）8
（2）解：∵面积为76的正方形边长是，且，
∴设，其中0＜x＜1，如图所示，
∵图中S正方形＝82+2×8 x+x2，S正方形＝76，
∴82+2×8 x+x2＝76，
当x2较小时，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，即．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵64＜76＜81，
∴8＜＜9，
∴的整数部分是8；
故答案为：8.
【分析】（1）被开方数大，算术平方根就大，据此估算即可；
（2）根据题目提供的方法进行解答即可.
17．（2023七下·太和期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知：，其中是整数，且，直接写出的相反数 ．
【答案】（1）4；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分，
∵，
即，
∴的整数部分，
∴．
（3）
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分为4，小数部分为；
故答案为：4；；
（3）∵
∴11＜x+y＜12，
∵x为整数，且0＜y＜1，
∴x=11，，
∴，
∴x-y的相反数是，
故答案为：.
【分析】（1）先估算介于哪两个相邻的整数之间，再得出它的整数部分，从而得出它的小数部分；
（2）首先用估算得出，b=3，再代入代数式a+b-，求出代数式的值及可；
（3）首先估算，得出，x=11，，然后求出代数式x-y，再进一步求得它的相反数即可。
1 / 1
