第六章6.2.1向量的加法运算
一．选择题
1．(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的有( )
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
【答案】ABD
【解析】在A中，＋＋＝＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝．
2．下列各式中运算的结果与向量共线的有( )
①(＋)＋；②(＋)＋；
③(＋)＋；④(＋)＋．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】由向量加法法则可知都对．
3．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反
【答案】A
【解析】因为a∥b，且|a|＞|b|＞0，所以a＋b与a同向．
4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km D．向东北方向航行(1＋) km
【答案】B
【解析】如图，易知tan α＝，所以α＝30°．故a＋b的方向是北偏东30°．又|a＋b|＝2 km．故选B．
5．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A．1 B．2
C．3 D．2
【答案】B
【解析】由正六边形知＝，所以＋＋＝＋＋＝，所以|＋＋|＝||＝2．故选B．
6．(多选)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法正确的有( )
A．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与a同向
B．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与b同向
C．若a与b同向，则a＋b与a同向
D．若a与b同向，则a＋b与b同向
【答案】ACD
【解析】a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与a同向，所以A正确，B错误；a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向．
7．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝＋，则a与长度相等，方向相同，所以a＝．
8．(多选)若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论正确的有( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|
【答案】AC
【解析】∵a＝＋＋＋＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A对；0＋b＝b，即B错，C对；D中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即D错．故选AC．
9．已知有向线段，不平行，则( )
A．|＋|＞|| B．|＋|≥||
C．|＋|≥||＋|| D．|＋|＜||＋||
【答案】D
【解析】由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号在a，b共线的时候取到，所以本题中，|＋|＜||＋||．
二．填空题
10．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝__________．
【答案】
【解析】利用平行四边形法则求解．
11．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝__________．
【答案】1
【解析】在菱形ABCD中，连接BD(图略)，因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形．又因为||＝1，所以||＝1，所以|＋|＝||＝1．
12．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则下列结论中正确的是__________．
①|＋|＝||；
②|＋|＝||；
③||2＋||2＝||2．
【答案】①②③
【解析】如图，以AB，AC为邻边作 ABDC，因为∠A＝90°，所以 ABDC为矩形，所以AD＝BC，所以|＋|＝||＝||，所以①正确；因为|＋|＝|＋|＝||＝||，所以②正确；由勾股定理知||2＋||2＝||2，所以③正确．
13．如图，若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝__________．
【答案】120°
【解析】因为＋＝，所以四边形APBC是平行四边形．又因为P为△ABC的外心，所以||＝||＝||．因此∠ACB＝120°．
三．解答题
14．如图，D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：
(1)＋＝＋；
(2)＋＋＝0．
证明：(1)由向量加法的三角形法则，
∵＋＝，＋＝，
∴＋＝＋．
(2)由向量加法的平行四边形法则，
∵＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0＋0＋0＝0．
15．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？
解：如图，作 OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°．
设向量，分别表示两根绳子的拉力，
则表示物体所受的重力，且||＝300 N．
所以||＝||cos 30°＝150(N)，
||＝||cos 60°＝150(N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N．第六章6.2.1向量的加法运算
一．选择题
1．(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的有( )
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
2．下列各式中运算的结果与向量共线的有( )
①(＋)＋；②(＋)＋；
③(＋)＋；④(＋)＋．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反
4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km D．向东北方向航行(1＋) km
5．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A．1 B．2
C．3 D．2
6．(多选)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法正确的有( )
A．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与a同向
B．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与b同向
C．若a与b同向，则a＋b与a同向
D．若a与b同向，则a＋b与b同向
7．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A． B．
C． D．
8．(多选)若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论正确的有( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|
9．已知有向线段，不平行，则( )
A．|＋|＞|| B．|＋|≥||
C．|＋|≥||＋|| D．|＋|＜||＋||
二．填空题
10．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝__________．
11．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝__________．
12．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则下列结论中正确的是__________．
①|＋|＝||；
②|＋|＝||；
③||2＋||2＝||2．
13．如图，若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝__________．
三．解答题
14．如图，D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：
(1)＋＝＋；
(2)＋＋＝0．
15．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？
