第六章 6.2.2向量的减法运算
一．选择题
1．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必定与a同向 B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量 D．与b不可能是平行向量
【答案】C
【解析】a－b必定与a或b是平行向量．
2．(多选)在平行四边形ABCD中，下列结论正确的有( )
A．－＝0 B．－＝
C．－＝ D．＋＝0
【答案】ABD
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，－＝0，－＝＋＝，＋＝＋＝0．－＝．A，B，D正确．
3．化简以下各式：①＋＋；②－＋－；③－＋；④＋＋－．结果为零向量的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】①＋＋＝＋＝－＝0；
②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0；
③－＋＝(＋)－＝－＝0；
④＋＋－＝＋＋＝－＝0．
4．在△ABC中，＝a，＝b，则等于( )
A．a＋b B．－a＋(－b)
C．a－b D．b－a
【答案】B
【解析】如图，∵＝＋＝a＋b，∴＝－＝－a－b．
5．如图，向量a－b等于( )
A．3e1－e2 B．e1－3e2
C．－3e1＋e2 D．－e1＋3e2
【答案】B
【解析】如图，设a－b＝，则＝e1－3e2，∴a－b＝e1－3e2．故选B．
6．对于菱形ABCD，给出下列各式：
①＝；②||＝||；③|－|＝|＋|；④|＋|＝|－|．
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】由菱形的图形，可知向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|－|＝|＋|＝2||，|＋|＝2||，且||＝||，所以|－|＝|＋|，即③正确；因为|＋|＝|＋|＝||，|－|＝||，所以④正确．综上所述，正确的个数为3．故选C．
7．已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若＋＝＋，则下列结论正确的是( )
A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部
C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上
【答案】D
【解析】因为＋＝＋，所以－＝－，所以＝＋，－＝，即＝．故点P在边AC所在的直线上．
8．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
【答案】C
【解析】以，为邻边作平行四边形ABCD，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．故选C．
9．(多选)若a，b为非零向量，则下列命题正确的有( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
【答案】ABD
【解析】当a，b方向相同时，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a，b方向相反时，有|a|＋|b|＝|a－b|，||a|－|b||＝|a＋b|．故A，B，D均正确．
二．填空题
10．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝__________．
【答案】0 2
【解析】若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又因为a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1．因为a与－b共线，所以|a－b|＝2．
11．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝__________．(用a，b，c表示)
【答案】a－b＋c
【解析】由题意，在平行四边形ABCD中，＝－＝a－b．所以＝＝a－b．所以＝＋＝a－b＋c．
12．已知||＝a，||＝b(a＞b)，||的取值范围是[5，15]，则a＝__________，b＝__________．
【答案】10 5
【解析】因为a－b＝|||－|||≤|－|＝||≤||＋||＝a＋b，所以解得
13．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|的值为__________．
【答案】5或9
【解析】当a与b方向相同时，|a－b|＝||a|－|b||＝7－2＝5；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9．
三．解答题
14．如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a．
解：如图，作向量＝a，向量＝b，则向量＝a－b；
作向量＝a，则＝a－b＋a．
15．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b．求证：
(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|．
证明：因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
所以CA＝CB．又因为M是斜边AB的中点，所以CM＝AM＝BM．
(1)因为－＝，
又因为||＝||，所以|a－b|＝|a|．
(2)因为M是斜边AB的中点，
所以＝，
所以a＋(a－b)＝＋(－)＝＋＝＋＝，
因为||＝||，
所以|a＋(a－b)|＝|b|．第六章 6.2.2向量的减法运算
一．选择题
1．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必定与a同向 B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量 D．与b不可能是平行向量
2．(多选)在平行四边形ABCD中，下列结论正确的有( )
A．－＝0 B．－＝
C．－＝ D．＋＝0
＋＋－．结果为零向量的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．在△ABC中，＝a，＝b，则等于( )
A．a＋b B．－a＋(－b)
C．a－b D．b－a
5．如图，向量a－b等于( )
A．3e1－e2 B．e1－3e2
C．－3e1＋e2 D．－e1＋3e2
6．对于菱形ABCD，给出下列各式：
①＝；②||＝||；③|－|＝|＋|；④|＋|＝|－|．
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
7．已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若＋＝＋，则下列结论正确的是( )
A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部
C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上
8．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
9．(多选)若a，b为非零向量，则下列命题正确的有( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
二．填空题
10．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝__________．
11．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝__________．(用a，b，c表示)
12．已知||＝a，||＝b(a＞b)，||的取值范围是[5，15]，则a＝__________，b＝__________．
13．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|的值为__________．
三．解答题
14．如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a．
15．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b．求证：
(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|．
