第六章 6.2.4向量的数量积
一．选择题
1．(2023年怀仁期末)已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，它们的夹角为，则|a＋b|＝( )
A．10 B．
C． D．13
2．(2023年宁波期中)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且2a＋4b＝3c，则a·c＝( )
A．－ B．
C． D．－
3．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E满足＝＋，则·＝( )
A． B．
C．6 D．4＋2
4．(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中错误的有( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c
5．(2023年宁波月考)已知△ABC中，D是BC的中点，且|＋|＝|－|，||＝||，则向量在上的投影向量为( )
A． B．
C．－ D．－
6．已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝6且(2a－b)·(a＋2b)＝－4，则向量a，b的夹角θ为( )
A． B．
C． D．
7．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
8．(2023年贵州模拟)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3．若点P满足＝2，则·＝( )
A．0 B．
C． D．
9．(多选)(2023年武汉期中)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，则下列说法正确的有( )
A．－＝ B．·＝||2
C．在上的投影向量为 D．＋＝
二．填空题
10．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为__________．
11．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝__________．
12．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为__________．
13．已知向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为__________；|2a－b|＝__________．
三．解答题
14．(2023年杭州模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝．
(1)求(2a＋b)·(a－b)的值；
(2)求2a＋b与a－b的夹角的余弦值．
15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2．
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．第六章 6.2.4向量的数量积
一．选择题
1．(2023年怀仁期末)已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，它们的夹角为，则|a＋b|＝( )
A．10 B．
C． D．13
【答案】C
【解析】因为|a|＝，|b|＝2，它们的夹角为，所以a·b＝|a||b|cos ＝3，所以|a＋b|＝＝＝＝．故选C．
2．(2023年宁波期中)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且2a＋4b＝3c，则a·c＝( )
A．－ B．
C． D．－
【答案】A
【解析】∵2a＋4b＝3c，∴4b＝3c－2a，∴16b2＝9c2＋4a2－12a·c．∵a，b，c均为单位向量，∴16＝9＋4－12a·b，∴a·b＝－．故选A．
3．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E满足＝＋，则·＝( )
A． B．
C．6 D．4＋2
【答案】C
【解析】如图，∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，＝＋，∴·＝·(＋)＝2＋2＋·＝×4＋×4＋2×2×＝6．故选C．
4．(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中错误的有( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c
【答案】ACD
【解析】A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，故C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故D错．故只有选项B正确．故选ACD．
5．(2023年宁波月考)已知△ABC中，D是BC的中点，且|＋|＝|－|，||＝||，则向量在上的投影向量为( )
A． B．
C．－ D．－
【答案】A
【解析】|＋|＝|－|，则两边同时平方可得，·＝0，即∠A＝90°，D是BC的中点，令||＝||＝m，则∠ACB＝30°，||＝2m，即∠ABC＝60°，向量在上的投影向量为×＝×＝．故选A．
6．已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝6且(2a－b)·(a＋2b)＝－4，则向量a，b的夹角θ为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵|a|＝4，|b|＝6，∴(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝32－72＋3a·b＝－4．∴a·b＝12．∴cos 〈a，b〉＝＝．又∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝．故选C．
7．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
【答案】D
【解析】由·＝·，得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA．同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
8．(2023年贵州模拟)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3．若点P满足＝2，则·＝( )
A．0 B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，＝－．∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴·＝0，∴·＝·(－)＝·－·＝．故选B．
9．(多选)(2023年武汉期中)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，则下列说法正确的有( )
A．－＝ B．·＝||2
C．在上的投影向量为 D．＋＝
【答案】BCD
【解析】对于A，－＝＝，A错误；对于B，∠FAD＝60°，则·＝||×||×cos 60°＝||2，B正确；对于C，在上的投影向量为||·cos 60°＝，C正确；对于D，＋＝＋＋＋＝，D正确．故选BCD．
二．填空题
10．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为__________．
【答案】
【解析】由a·b＝0，得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0．整理，得k－2＋(1－2k)cos ＝0，解得k＝．
11．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝__________．
【答案】3
【解析】|2a－b|＝ (2a－b)2＝10 4＋|b|2－4|b|cos 45°＝10 |b|＝3．
12．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为__________．
【答案】－
【解析】∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b．∴a·b＝－|b|2．∴cos 〈a，b〉＝＝＝－．
13．已知向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为__________；|2a－b|＝__________．
【答案】 2
【解析】由于a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3．设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝．因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝28，所以|2a－b|＝2．
三．解答题
14．(2023年杭州模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝．
(1)求(2a＋b)·(a－b)的值；
(2)求2a＋b与a－b的夹角的余弦值．
解：(1)根据题意，向量|a|＝2，|b|＝1，a·b＝，
则(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝8－－1＝．
(2)设2a＋b与a－b的夹角为θ，
(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝19，
则|2a＋b|＝，
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4，
则|a－b|＝2，
故cos θ＝＝．
15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2．
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以·＝0，由＝2，得＝，＝＝－．
所以·＝(＋)·(＋)
＝·
＝2－·－2
＝36－×81＝18．
(2)由题意，＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝－，
所以·＝·
＝2－·－2＝36－·－18＝18－·．
又因为·＝6，所以18－·＝6．
所以·＝36．设与的夹角为θ，
又因为·＝||·||cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，所以54cos θ＝36，即cos θ＝．
所以与夹角的余弦值为．
