第六章 6.3.1平面向量基本定理
一．选择题
1．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝( )
A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1)
2．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
3．(多选)设e1，e2是平面内的一组基底，则下面的四组向量能作为基底的有( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．e1和e1＋e2
C．e1＋3e2和e2＋3e1 D．3e1－2e2和4e2－6e1
4．(2023年重庆模拟)在△ABC中，D为BC的中点，E为边AC上靠近点C的三等分点，记＝a，＝b，用a，b表示为( )
A．a＋b B．－a＋2b
C．2a－b D．a＋b
5．如图，在正方形ABCD中，点E满足＝，点F满足＝2，那么＝( )
A．－ B．＋
C．－ D．＋
6．(2023年新干一模)在△ABC中，＝λ，E为CD的中点，＝－＋，则λ＝( )
A．2 B．1
C． D．
7．若点D在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A． B．
C． D．
8．(多选)如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么( )
A．若实数m，n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2为实数
C．对于实数m，n，me1＋ne2一定在此平面上
D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m，n，使a＝me1＋ne2
9．(2023年济南模拟)已知等腰直角三角形ABC中，A＝，M，N分别是边AB，BC的中点，若＝s＋t，其中s，t为实数，则s＋t＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
二．填空题
10．(2023年南京模拟)已知向量a，b不共线，且向量a＋tb与(3t－2)a＋b的方向相反，则实数t的值为__________．
11．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝__________．
12．在△ABC中，D为AC上的一点，满足＝．若P为BD上的一点，满足＝m＋n(m＞0，n＞0)，则mn的最大值为_________；＋的最小值为_________．
13．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0．若∥，则＝__________．
三．解答题
14．如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底，表示．
15．如图，在 ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB．
(1)试用向量a，b来表示，；
(2)AM交DN于点O，求AO∶OM的值．第六章 6.3.1平面向量基本定理
一．选择题
1．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝( )
A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1)
【答案】A
【解析】＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．
2．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
【答案】A
【解析】由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ．因为2＝x＋y，所以消去λ，得x＋y－2＝0．
3．(多选)设e1，e2是平面内的一组基底，则下面的四组向量能作为基底的有( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．e1和e1＋e2
C．e1＋3e2和e2＋3e1 D．3e1－2e2和4e2－6e1
【答案】ABC
【解析】∵e1，e2是平面内的一组基底，∴e1，e2不共线．而4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，则根据向量共线定理可得(4e2－6e1)∥(3e1－2e2)，根据基底的条件，选项D不符合题意．A，B，C均可．故选ABC．
4．(2023年重庆模拟)在△ABC中，D为BC的中点，E为边AC上靠近点C的三等分点，记＝a，＝b，用a，b表示为( )
A．a＋b B．－a＋2b
C．2a－b D．a＋b
【答案】D
【解析】＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋＋·＝＋＋，∴＝＋，即＝＋＝a＋b．故选D．
5．如图，在正方形ABCD中，点E满足＝，点F满足＝2，那么＝( )
A．－ B．＋
C．－ D．＋
【答案】C
【解析】＝＋＋＝－＋＋＝－＋．故选C．
6．(2023年新干一模)在△ABC中，＝λ，E为CD的中点，＝－＋，则λ＝( )
A．2 B．1
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，＝λ，E为CD的中点，＝－＋，则＝(＋)＝＋×＝－＋×(－)＝－，由＝，且＝，得λ＝2．故选A．
7．若点D在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为＝4＝r＋s，所以＝＝(－)＝r＋s．所以r＝，s＝－．所以3r＋s＝－＝．
8．(多选)如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么( )
A．若实数m，n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2为实数
C．对于实数m，n，me1＋ne2一定在此平面上
D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m，n，使a＝me1＋ne2
【答案】AC
【解析】选项B中应为“平面内任一向量”．选项D中，m，n应是唯一的．A，C正确．
9．(2023年济南模拟)已知等腰直角三角形ABC中，A＝，M，N分别是边AB，BC的中点，若＝s＋t，其中s，t为实数，则s＋t＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
【答案】D
【解析】如图，根据题意得联立①②消去，得＝－－．又∵＝s＋t，∴根据平面向量基本定理，解得s＝－，t＝－，∴s＋t＝－2．故选D．
二．填空题
10．(2023年南京模拟)已知向量a，b不共线，且向量a＋tb与(3t－2)a＋b的方向相反，则实数t的值为__________．
【答案】－
【解析】∵a＋tb与(3t－2)a＋b共线，∴a＋tb＝λ[(3t－2)a＋b]，∴(3tλ－2λ－1)a＋(λ－t)b＝0．∵a，b不共线，∴解得t＝λ＝1或t＝λ＝－．当t＝1时，a＋b与a＋b同向，不符合题意；当t＝－时，a－b与－3a＋b反向，符合题意．
11．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝__________．
【答案】2a－b
【解析】＝－，＝－，因为2＋＝0，所以2(－)＋(－)＝0，所以＝2－＝2a－b．
12．在△ABC中，D为AC上的一点，满足＝．若P为BD上的一点，满足＝m＋n(m＞0，n＞0)，则mn的最大值为_________；＋的最小值为_________．
【答案】 16
【解析】因为＝，所以＝4．所以＝m＋n＝m＋4n．因为B，P，D三点共线，所以m＋4n＝1，则4mn≤＝，则mn≤，即mn最大值为，当且仅当m＝4n时取等号；＋＝(m＋4n)＝＋＋8≥2＋8＝16，当且仅当m＝4n时取等号．
13．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0．若∥，则＝__________．
【答案】
【解析】因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ＝－＋λ，所以则＝．
三．解答题
14．如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底，表示．
解：因为D是BC边的四等分点，
所以＝＝(－)．
所以＝＋＝＋(－)＝＋．
15．如图，在 ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB．
(1)试用向量a，b来表示，；
(2)AM交DN于点O，求AO∶OM的值．
解：(1)因为AN＝AB，
所以＝＝a．
所以＝－＝a－b．
因为BM＝BC，
所以＝＝＝b．
所以＝＋＝a＋b．
(2)因为A，O，M三点共线，所以∥．
设＝λ，则＝－＝λ－＝λ－b＝λa＋b．
因为D，O，N三点共线，所以∥．
所以存在实数μ，使＝μ，则λa＋b＝μ．
由于向量a，b不共线，
则解得
所以＝，＝．
所以AO∶OM＝3∶11＝．
