2023——2024高一上期期末试卷
数学试题
时间120分钟 总分150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 设集合，则=（ ）
A. B.
C. D.
2. 若，：关于方程有两个不相等的实数根，则是成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. 8 B. C. 9 D.
5. 设函数在上单调递减，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，，设函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 是偶函数 B. 函数有两个零点
C. 在区间上单调递减 D. 有最大值，没有最小值
二、多选题（4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列计算成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列说法中正确为（ ）
A. 已知函数，若，有成立，则实数a的值为4
B. 若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为
C. 设集合，则“”是“”充分不必要条件
D. 函数与函数是同一个函数
11. 已知为偶函数，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若的最小正周期为，则
C. 若在区间上有且仅有个最值点，则的取值范围为
D. 若，则的最小值为
12. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A. ， B. 的值域为
C. 若，且，则 D. 若，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 命题，，则命题的否定是______.
14. 已知函数f(x)＝，则f[f(－1)]等于________．
15. 函数在的值域是___________.
16. 写出一个同时满足下列条件的函数，如______．
①函数是奇函数；②函数的最小正周期是．
四、解答题（6小题，共70分）
17. 已知命题；命题.
（1）若命题p是命题q的充分条件，求m的取值范围；
（2）当时，已知是假命题，是真命题，求x的取值范围.
18. 已知函数.
（Ⅰ）化简；
（Ⅱ）若，求的值.
19 已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）讨论在区间上的单调性；
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
21. 已知函数，图象关于直线对称，
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上的最小值为，求的值.
22. 已知函数.
（1）求在上的值域；
（2）当时，已知，若，使得，求的取值范围.2023——2024高一上期期末试卷
数学试题
时间120分钟 总分150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 设集合，则=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合，再根据集合间交运算计算即可.
【详解】因为集合.
所以.
故选：.
2. 若，：关于的方程有两个不相等的实数根，则是成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到或，进而判断出答案.
【详解】由，解得或，
由于或，但或，
故是成立的充分不必要条件.
故选：A.
3. 存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分离参数结合二次函数的单调性求最值即可.
【详解】存在，使得不等式成立，等价于．
令，，当时，，所以．
故选：B
4. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. 8 B. C. 9 D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先化简等式为，再利用“1”的妙用，变形为，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】由可知，，
所以，
当，即时，等号成立，
联立，得，
所以当时，的最小值为.
故选：C
5. 设函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，利用复合函数的单调性可知函数在上为增函数，且在上恒成立，由此可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.
【详解】令，因为函数在上为减函数，
且函数在上单调递减，
所以，函数在上为增函数，所以，，解得，
且在上恒成立，则，解得.
所以，的取值范围是.
故选：B.
6. 已知，，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知角的范围，利用同角三角函数的基本关系求出，
再利用和角的余弦公式进行求解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以，故A，C，D错误.
故选：B
7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据已知条件求出与以及的值，进而确定的解析式，再结合三角函数的平移规律进行解答即可.
【详解】根据题中图象可知，函数的最小正周期，，，，
又，所以，
所以，所以.
故选：B
8. 已知函数，，设函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 是偶函数 B. 函数有两个零点
C. 在区间上单调递减 D. 有最大值，没有最小值
【答案】B
【解析】
【分析】画出函数图象，数形结合对各个选项逐个判断即可.
【详解】在同一直角坐标系中，画出函数，图象，
从而得函数图象，如图实线部分：
对于A，因为函数图象关于y轴对称，所以是偶函数，正确；
对于B，根据零点的定义结合函数的图象知，函数有三个零点，分别为，错误；
对于C，从函数图象观察得在区间上单调递减，正确；
对于D，从函数图象观察得有最大值，没有最小值，正确；
故选：B
二、多选题（4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列计算成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用对数运算确定正确选项.
【详解】对于A选项，，故A选项错误.
对于B选项，，故B选项错误.
对于C选项，，故C选项正确.
对于D选项，，故D选项正确.
故选：CD
10. 下列说法中正确为（ ）
A. 已知函数，若，有成立，则实数a的值为4
B. 若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为
C. 设集合，则“”是“”的充分不必要条件
D. 函数与函数是同一个函数
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数的对称性，可求得a值，即可判断A的正误；分别讨论和两种情况，结合二次型函数的性质，可判断B的正误；根据集合的包含关系及充分、必要条件的概念，可判断C的正误；根据同一函数的定义，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：由成立，可得函数的对称轴为，
又二次函数的对称轴为，
所以，解得，故A正确；
对于B：当时，可得成立，满足题意，
当时，可得，解得，
综上k的取值范围为，故B错误；
对于C：当时，，所以，充分性成立，
若，则或，解得或，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D：函数定义域为R，函数的定义域为，
定义域不同，故不是同一函数，故D错误，
故选：AC
11. 已知为偶函数，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若的最小正周期为，则
C. 若在区间上有且仅有个最值点，则的取值范围为
D. 若，则的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】先求出函数的解析式，然后逐项判断即可求解.
【详解】对A：若，为偶函数，则，，所以，A选项正确；
对B：若最小正周期为，则，所以，故B正确；
对C:由，得，若在区间上有且仅有个最值点，
则，得，故C正确；
对D：因为，若，
则或，
得或，
又，所以的最小值为，故D错误.
故选：ABC.
12. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A. ， B. 的值域为
C. 若，且，则 D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】由函数的图像经过原点，结合指数函数的性质分析可得的值，判断选项A；可得函数的解析式，求函数值域，分析函数的奇偶性和单调性判断选项BCD．
【详解】函数的图像过原点，∴，即，
，由，有，
时，；时，，
由的图像无限接近直线，但又不与该直线相交，∴，，
，故A正确；
由于，∴，故B错误；
，函数定义域为R，
在上，单调递减；在上，单调递增，
，为偶函数，
故若，且，则，即，故C正确，
由于在上，单调递减，故若，则，故D错误；
故选：AC．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 命题，，则命题的否定是______.
【答案】，
【解析】
【分析】由题意结合全称命题的否定即可得解.
【详解】因为命题为全称命题，
所以命题的否定是，.
故答案为：，.
【点睛】本题考查了全称命题的否定，牢记知识点是解题关键，属于基础题.
14. 已知函数f(x)＝，则f[f(－1)]等于________．
【答案】2
【解析】
【详解】∵函数，，
，
故答案为2．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．
15. 函数在的值域是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，
所以函数在的值域是.
故答案：.
16. 写出一个同时满足下列条件的函数，如______．
①函数是奇函数；②函数的最小正周期是．
【答案】或（答案不唯一）
【解析】
【分析】由函数为奇函数，令，或，，由最小正周期求出，得到答案.
【详解】不妨令，，
故，解得，
故；
或令，，
故，解得，
故；
故答案为：或.
四、解答题（6小题，共70分）
17. 已知命题；命题.
（1）若命题p是命题q的充分条件，求m的取值范围；
（2）当时，已知是假命题，是真命题，求x的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据命题p是命题q的充分条件，即p集合包含于q集合，然后根据集合的关系求解即可;
（2）根据是假命题，是真命题，分别求出满足条件的x的取值范围，然后取交集即可.
【详解】（1）由题知命题p是命题q的充分条件，
即p集合包含于q集合，
有；
（2）当时，有命题，命题，
因为是假命题，即，
因为是真命题，即，
综上，满足条件的x的取值范围为或
【点睛】本题考查了命题与集合的关系，根据命题真假求参数范围，属于基础题.
18. 已知函数.
（Ⅰ）化简；
（Ⅱ）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式化简分子、分母，即可得，进而可得最简形式；（2）根据两角和的正切公式有，结合已知求得，即可求函数值
【详解】（1），
∴
∴
（2）由，知：，即
又，所以
【点睛】本题考查了利用诱导公式化简函数式，并由已知函数值，结合两角和的正切公式求函数值，属于简单题
19. 已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）讨论在区间上的单调性；
【答案】（1）.（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；
（2）先求得在上的单调增区间，结合区间，即可求得结果.
【详解】（1）依题意，
所以.
（2）依题意，令，，
解得，
所以的单调递增区间为，.
设，，易知，
所以当时，在区间上单调递增；
在区间上单调递减.
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
【答案】（1），
（2）在上单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用和可求得，检验可知满足题意；
（2）设，由可证得在上单调递增.
【小问1详解】
是定义在上的奇函数，，解得：；
，；
经检验：当，时，，则，为奇函数；
，.
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
设，
；
，，，，，
是在上单调递增.
21. 已知函数，的图象关于直线对称，
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上的最小值为，求的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据条件求出的值得到解析式；
（2）讨论区间与对称轴的关系，根据最小值为求的值.
【小问1详解】
的对称轴是直线，即①，
由，得②，
联立①②解得
所以.
【小问2详解】
画出函数的图象，抛物线对称轴为直线
当区间在对称轴左侧时，即时，，
解得或（舍去）
当区间在对称轴右侧时，即时，，
解得或（舍去），
当对称轴在区间内时，即时，，不符合题意，
综上所述，或
22. 已知函数.
（1）求在上的值域；
（2）当时，已知，若，使得，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将化为关于的类二次函数，结合换元法和二次函数性质可求在上的值域；
（2）若，使得，则问题转化为：
分别求出最值解不等式即可求出参数的取值范围.
【小问1详解】
当，
令，
则，
由于函数在上单调递增，
故当时，取得最小值；
当时，取得最大值，
所以的值域为；
【小问2详解】
若，使得，
则问题转化为：
因为的值域为，
；
在上单调递增，
当时，；
所以
即，
所以的取值范围为：.
