2023-2024学年上学期高二数学期末联考试卷
考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 若，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 等比数列{an}中，a1+a4+a7=6，a3+a6+a9=24．则{an}的公比q为（ ）
A. 2 B. 2或 C. D. 3
3. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4. 直线与直线平行，则实数a的值是（ ）
A. B. 1 C. 或1 D. 或2
5. 从6位女学生和5位男学生中选出3位学生，分别担任数学、信息技术、通用技术科代表，要求这3位科代表中男、女学生都要有，则不同的选法共有．
A 810种 B. 840种 C. 1620种 D. 1680种
6. 在的展开式中的的系数是（ ）
A. B. C. D.
7. 与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 设等差数列、的前n项和分别是，，若，则=（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在的二项展开式中，下列说法正确的有（ ）
A. 常数项为第三项
B. 展开式的二项式系数和为729
C. 展开式系数最大项为第三项
D. 展开式中系数最大项的系数为240
10. 已知等比数列中，满足，则（ ）
A. 数列是等比数列 B. 数列是递增数列
C. 数列是等差数列 D. 数列中，仍成等比数列
11. 已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则（ ）
A.
B.
C.
D. 抛物线C上的动点到直线距离的最小值为
12. 已知圆，下列说法正确是（ ）
A. 过点作直线与圆O交于A，B两点，则范围为
B. 过直线上任意一点Q作圆O的切线，切点分别为C，D，则直线CD必过定点
C. 圆O与圆有且仅有两条公切线，则实数r取值范围为
D. 圆O上有2个点到直线的距离等于1
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 双曲线的渐近线方程________．
14. 某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两辆车，每辆车坐4人.若要求两位老师分别坐在两辆车上，共有________种分配方法.
15. 已知数列前项和为，则__________．
16. 过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 求下列条件确定的方程：
（1）已知圆M的圆心坐标为，且与直线相切，求圆M的方程；
（2）已知的三个顶点为 D为BC的中点. 求BC边上的垂直平分线DE所在直线的方程.
18. 已知等差数列中，为数列前项和，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
19. 5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列约束条件下，有多少种站法？
（1）女生不站在两端；
（2）女生相邻；
（3）女生不相邻.
20. 在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
已知（），若的展开式中，______.
（1）求n的值；
（2）求的系数；
（3）求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
21. 已知双曲线中，，虚轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积.
22. 已知椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，（为原点），求直线 的方程；
（3）过原点作直线的垂线，垂足为P，若 ，求 的值.2023-2024学年上学期高二数学期末联考试卷
考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 若，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用组合的性质即可得出结果.
【详解】由，
得，
；
故选：C.
2. 等比数列{an}中，a1+a4+a7=6，a3+a6+a9=24．则{an}的公比q为（ ）
A. 2 B. 2或 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由，代入即得解
【详解】由题意，
故选：B
3. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据倾斜角和斜率的关系求解.
【详解】由已知得，
故直线斜率
由于倾斜的范围是，
则倾斜角.
故选：B.
4. 直线与直线平行，则实数a的值是（ ）
A. B. 1 C. 或1 D. 或2
【答案】B
【解析】
【分析】由，解得a，经过验证即可得出.
【详解】由，解得或，经过验证时两条直线重合，舍去.
故选：B
【点睛】本题考查了直线的平行关系，考查了学生概念理解，转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.
5. 从6位女学生和5位男学生中选出3位学生，分别担任数学、信息技术、通用技术科代表，要求这3位科代表中男、女学生都要有，则不同选法共有．
A. 810种 B. 840种 C. 1620种 D. 1680种
【答案】A
【解析】
【分析】
先由排列数分别求出不考虑性别，与全部是男生和全部是女生的选法总数，然后用总数减掉全部是男生和全部是女生的即为男女生都有的选法.
【详解】解：不考虑男女生共有种
全部是男生的有种
全部是女生的有种
所以男、女学生都有的共有种
故选A.
【点睛】本题考查了排列数，对于需要分类讨论的问题可考虑用间接法解题.
6. 在的展开式中的的系数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，利用二项式定理分别研究、对应项的系数，即可得展开式的系数.
【详解】由二项式定理得的展开式的通项为，
因为，
则的展开式的通项为，
令得，的展开式中项的系数为；
的展开式的通项为，
令，则，的展开式的项的系数为.
所以在的展开式中的的系数是．
故选：B
7. 与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆方程先求解出焦点坐标，然后根据定义求解出的值，结合可求的值，则双曲线方程可求.
【详解】因为椭圆的焦点坐标为，即，所以，
记，所以，
所以，所以，
所以双曲线的标准方程为，
故选：C.
8. 设等差数列、的前n项和分别是，，若，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法1，利用等差数列前n项和公式将，和比较确定n的值，即得答案；
方法2，利用等差数列的性质结合前n项和公式将化为，即得答案.
【详解】方法1：因为等差数列，的前项和分别是，,
因为，
所以，
故选：C
方法2：因为等差数列，的前项和分别是，．
所以，
故选：C．
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在的二项展开式中，下列说法正确的有（ ）
A. 常数项为第三项
B. 展开式的二项式系数和为729
C. 展开式系数最大项为第三项
D. 展开式中系数最大项的系数为240
【答案】CD
【解析】
【分析】写出的二项展开式的通项，然后求出其常数项可判断A，求出展开式的二项式系数和可判断B，解出不等式组可判断CD.
【详解】的二项展开式的通项为，
令得，所以常数项为第四项，故A错误；
展开式的二项式系数和为，故B错误；
由可得，所以，
所以展开式系数最大项为第三项，展开式中系数最大项的系数为，故C、D正确；
故选：CD.
10. 已知等比数列中，满足，则（ ）
A. 数列是等比数列 B. 数列是递增数列
C. 数列是等差数列 D. 数列中，仍成等比数列
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意利用等比数列的性质、通项公式及前n项和公式，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】等比数列中，满足，则，有，
由，，数列是首项为2公比为4的等比数列，故A正确；
而，则数列是递减数列，故B不正确；
又，，，
故数列是首项为0公差为1的等差数列，故C正确；
数列中，，，，，故D错误.
故选：AC．
11. 已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则（ ）
A.
B.
C.
D. 抛物线C上的动点到直线距离的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】求得抛物线的焦点代入直线的方程，求得，可判定A错误；联立方程组，根据韦达定理和抛物线的焦点弦的性质，求得，可判定B正确；结合抛物线的定义，求得的值，可判定C错误；设是抛物线上的任意一点，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质，可判定D正确.
【详解】由抛物线，可得焦点为，
因为过抛物线的焦点，可得，解得，所以A错误；
联立方程组，整理得，
设，则，，
由抛物线的焦点弦的性质，可得，所以B正确；
又由，解得，
不妨设,根据抛物线的定义，可得，
所以，所以C错误；
设是抛物线上的任意一点，可得，
则点到直线的距离为，
当时，，所以D正确.
故选：BD.
12. 已知圆，下列说法正确的是（ ）
A. 过点作直线与圆O交于A，B两点，则范围为
B. 过直线上任意一点Q作圆O的切线，切点分别为C，D，则直线CD必过定点
C. 圆O与圆有且仅有两条公切线，则实数r的取值范围为
D. 圆O上有2个点到直线的距离等于1
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A：可知点在圆O内，根据圆心O到过点的直线的距离结合弦长公式分析求解；对于B：作以为圆心，为半径的圆，由题意可知：直线CD为圆与圆的公共弦所在的直线，结合两圆方程分析求解；对于D：根据点到直线的距离公式结合圆的性质分析判断.
【详解】因为圆O的圆心为，半径，
对于选项A：因为，可知点在圆O内，
可得圆心O到过点的直线的距离，
所以，故A正确；
对于选项B：设，则，
可得，
以为圆心，为半径的圆的方程为，
整理得，
由题意可知：直线CD为圆与圆的公共弦所在的直线，
可得，整理得，
令，解得，所以直线CD必过定点，故B正确；
对于选项C：圆的圆心，半径为，
则，
若圆O与圆有且仅有两条公切线，则，
即，解得，
所以实数r的取值范围为，故C错误；
对于选项D：因为圆心O到直线的距离，
所以圆O上有4个点到直线的距离等于1，故D错误.
故选：AB.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 双曲线的渐近线方程________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．
【详解】∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上
而双曲线的渐近线方程为y=±
∴双曲线的渐近线方程为y=±
故答案为y=±
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想
14. 某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两辆车，每辆车坐4人.若要求两位老师分别坐在两辆车上，共有________种分配方法.
【答案】40
【解析】
【分析】选一位老师坐第一辆车，再选3名学生坐第一辆车，列式计算即得.
【详解】选一位老师坐第一辆车，共种选法，再选3名学生坐第一辆车，共种选法，
余下的老师和3名学生坐第二辆车，
所以不同的分配方法共有种.
故答案为：40
15. 已知数列的前项和为，则__________．
【答案】16
【解析】
【分析】根据递推公式，可求出，即可求解.
【详解】由题意得，即，
因为，所以为首项为，公比为的等比数列，
所以
所以．
故答案为：.
16. 过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用点差法可求基本量的关系，再结合通径的长可求基本量，故可求焦半径的最大值.我们也可以联立直线方程和椭圆方程，从而可用基本量表示中点，从而得到基本量的一个关系式，同样结合通径长可取基本量，故可求焦半径的最大值.
【详解】法一：将代入椭圆的方程得，所以①，
设，，则，
两式相减得，
又，，所以②，
解①②得，所以，
所以上的点到焦点的距离的最大值为.
法二：将代入椭圆的方程得，所以①，
直线的方程是，即，
代入椭圆的方程并消去整理得，
则，
设，，则，即②，
解①②得，满足，所以，
所以上的点到焦点的距离的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 求下列条件确定的方程：
（1）已知圆M的圆心坐标为，且与直线相切，求圆M的方程；
（2）已知的三个顶点为 D为BC的中点. 求BC边上的垂直平分线DE所在直线的方程.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出圆的半径即可得解.
（2）求出点的坐标及直线的斜率，再结合直线的斜截式方程求解即得.
【小问1详解】
点到直线的距离，
依题意，圆M的半径，
所以圆M的方程为.
【小问2详解】
依题意，线段的中点，而直线的斜率，
因此BC边上的垂直平分线DE所在直线的斜率为2，
所以BC边上的垂直平分线DE所在直线的方程为，即.
18. 已知等差数列中，为数列的前项和，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知列方程求出首项和公差，可得答案；
（2）求出及的通项公式，由裂项相消求和可得答案.
【详解】（1）∵①，②
由①②得，．
∴；
（2）由（1）知，，
；
∴，
∴.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、数列求和，解题关键点是求出数列的首项和公差以及裂项相消求和，考查了学生的基础知识、基本运算.
19. 5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列约束条件下，有多少种站法？
（1）女生不站两端；
（2）女生相邻；
（3）女生不相邻.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先排两端再排中间即可得解.
（2）用捆绑法即可得解.
（3）使用插空法即可得解
【小问1详解】
先考虑两端站的人，再考虑其他位置，满足条件的站法有（种）.
【小问2详解】
将2名女生捆绑，当作一个对象，与其他对象一起全排列，可得满足条件的站法有（种）.
【小问3详解】
分两步：第一步，先排男生，有种站法，
第二步，将2名女生插入男生所形成的6个空（包括两端）中，有种站法，
由分步乘法计数原理知，满足条件的站法有（种）.
20. 在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
已知（），若的展开式中，______.
（1）求n的值；
（2）求的系数；
（3）求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）选择条件①，②，③，利用二项式系数的性质求出.
（2）由（1）的结论，结合二项式定理求出.
（3）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值.
【小问1详解】
选择条件①，只有第6项的二项式系数最大，则的展开式共11项，即，
所以.
选择条件②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，
所以.
选择条件③，所有二项式系数的和为，则，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，的展开式中项为：，
所以.
【小问3详解】
由（1）知，的展开式中，当时，，
当时，，
所以.
21. 已知双曲线中，，虚轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件可得出关于、、方程组，解出这三个量的值，可求得双曲线的标准方程；
（2）将直线的方程与双曲线的方程联立，求出点、的横坐标，即可求得的面积.
【小问1详解】
解：由已知条件可得，解得，
因此，双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
解：由题意可知，直线的方程为，设点、，
联立，可得，解得，，
因此，.
22. 已知椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，（为原点），求直线 的方程；
（3）过原点作直线的垂线，垂足为P，若 ，求 的值.
【答案】（1）；
（2）或者；
（3）
【解析】
【分析】（1）先直接求出，再根据离心率求出即可；
（2）先设出过右焦点的直线，然后联立得到韦达定理，再把转化为进而代入韦达定理即可；
（3）先求出，再由韦达定理求出弦长，最后代入求解即可.
【小问1详解】
因为椭圆焦点在轴上且经过点，所以，
又因为，所以，又，
解得，
所以椭圆方程为；
【小问2详解】
如图所示，
由（1）知，所以直线，设，
联立，可得，
易得，所以，
所以，
而，
解得，所以直线方程为或者；
【小问3详解】
如图所示，
过作交于点，所以为点到直线的距离，
即，所以，
又
，
所以，
所以.
【点睛】关键点睛：熟练应用韦达定理和弦长公式是解析几何的基本功，需要多加训练和熟悉.
