【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）
黄金卷05·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B B A B B B D D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
AC ACD ACD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13．74 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（13分）
【解】（1）当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，，
又，，.
（2）由题意知：，
设直线与相切于点，
则，消去得：，解得：，
则，解得：.
16．（本小题满分15分）
【解】（1）连接，
因为依次是底面上的两个三等分点，
所以四边形是菱形，设，则为中点，且，
又因为，故是等边三角形，
连接，则，
又因为面，，所以面，
因为面，所以，
因为依次是底面上的两个三等分点，所以，所以，
又因为AB是半球O的直径， P是半球面上一点，所以，
因为面，，所以面，
又因为面，所以
（2）因为点在底面圆上的射影为中点，
所以面，
因为面，所以，
又因为，
所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
所以，
设平面的法向量，
则，令，则，
设直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为
17．（本小题满分15分）
【解】（1）依题意，列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 30 20 50
女生 15 35 50
合计 45 55 100
零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关，
的观测值为，
，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.
（2）依题意，的所有可能取值为，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期.
18．（本小题满分17分）
【解】（1）不妨设，，由得，
所以点P处的切线方程为．
令，得，所以．
所以点Q为线段PR的中点．所以．
（2）设，由法线定义得，所以，
又，
即．
因为，，
所以，．
因为，，
所以．
设，，
则．
令，得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当时，．
故面积的最小值为．
（本小题满分17分）
【解】（1）是数表，
（2）由题可知.
当时，有，
所以.
当时，有，
所以.
所以
所以
或者，
或者，
或，或，
故各数之和，
当时，
各数之和取得最小值.
（3）由于数表中共个数字，
必然存在，使得数表中的个数满足
设第行中的个数为
当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接，
则该行有条有向线段，
所以横向有向线段的起点总数
设第列中的个数为.
当时，将纵向相邻两个用从上到下的有向线段连接，
则该列有条有向线段，
所以纵向有向线段的起点总数
所以,
因为,所以.
所以必存在某个既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，
即存在
使得，
所以，
则命题得证.【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）
黄金卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（ ）
A．93 B．93.5 C．94 D．94.5
2．若，则实数（ ）
A．6 B． C．3 D．
3．各项为正的等比数列中，，则的前4项和（ ）
A．40 B．121 C．27 D．81
4．“函数的图象关于对称”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（ ）
A．48种 B．32种 C．24种 D．16种
6．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
7．已知函数，若，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆：的焦点分别为，，点在上，点在轴上，且满足，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知，为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则或
10．如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ）
A．
B．
C．函数在上单调递减
D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为
11．已知定义在上的函数满足，且是奇函数.则（ ）
A． B．
C．是与的等差中项 D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合，，则
13．已知多项式，则 .
14．在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）已知函数
(1)当时，求在区间上的最值；
(2)若直线是曲线的一条切线，求的值.
16．（15分）如图，AB是半球O的直径，，依次是底面上的两个三等分点，P是半球面上一点，且．
(1)证明：；
(2)若点在底面圆上的射影为中点，求直线与平面所成的角的正弦值．
17．（15分）“村BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风 乡土味 欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.
某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男 女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 20
女生 15
合计 100
附：.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
18．（17分）已知点P（非原点）在抛物线C：上，点P处的切线分别交x，y轴于点Q，R．
(1)若，求实数的值．
(2)定义：过抛物线上一点，且垂直于在该点处切线的直线称为抛物线的法线．若抛物线C在点P处的法线交抛物线C于另一点S，求面积的最小值．
19．（17分）已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质：
①；
②对任意，存在，使得，则称为数表．
(1)判断是否为数表，并求的值；
(2)若数表满足，求中各数之和的最小值；
(3)证明：对任意数表，存在，使得．【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）
黄金卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（ ）
A．93 B．93.5 C．94 D．94.5
【答案】B
【解析】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，
因为，所以这组数据的分位数第8个数与第9个数的平均值，即，故选B.
2．若，则实数（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
即，所以，
即，解得，故选B.
3．各项为正的等比数列中，，则的前4项和（ ）
A．40 B．121 C．27 D．81
【答案】A
【解析】设等比数列公比为,
故选A.
4．“函数的图象关于对称”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当函数的图象关于对称时，
有，，得，，
易知 ，
所以“函数的图象关于对称”是“，”的必要不充分条件．故选B．
5．某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（ ）
A．48种 B．32种 C．24种 D．16种
【答案】B
【解析】当老师从左到右排在第二或第四位时，共有种排法，
当老师从左到右排在第三位时，共有种排法，于是共有种排法.
故选：B.
6．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】B
【解析】
对于A,如上图正方体中，设平面为，
平面为，为，
满足，，此时，故A错误；
对于B，因为，，α、β是不同的平面，则必有，
故B正确；
对于C，如上图正方体中，设平面为，
平面为，为，
满足，，此时，故C错误；
对于D，如上图正方体中，设平面为，
为，为，
则满足，，此时，故D错误.
故选:B.
7．已知函数，若，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
当时，，所以，即，
所以在上单调递减.
因为，是锐角的两个内角，所以，则，
因为在上单调递减，
所以，
故，故D正确.
同理可得，C错误；
而的大小不确定，故与，与的大小关系均不确定，
所以与，与的大小关系也均不确定，AB不能判断.
故选：D
8．已知椭圆：的焦点分别为，，点在上，点在轴上，且满足，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，：的图象，则，，其中，
设，，则，
，，，
因，得，
故，得，
由得，
得即，得
由，得，又，，
化简得，又椭圆离心率，
所以，得.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知，为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则或
【答案】AC
【解析】A：根据共轭复数的定义，本选项正确；
B：取，，满足，但，故本选项错误；
C：设，，，由，得，即，，所以，即，故本选项正确；
D：取，，则，，此时且，故D不正确．
故选：AC
10．如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ）
A．
B．
C．函数在上单调递减
D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】令得，或，，
由图可知：，，，
所以，，
所以，所以，故A选项正确，
所以，由得，
所以，，
所以，，
所以，
，故B错误.
当时，，
因为在为减函数，故在上单调递减，故C正确；
将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移），
为偶函数得，，
所以，，则的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
11．已知定义在上的函数满足，且是奇函数.则（ ）
A． B．
C．是与的等差中项 D．
【答案】ACD
【解析】因为，
所以，
两式相减得，
所以的周期为4.
因为是奇函数，
所以，所以，
即，
令，得.
因为，
令，得，
所以，即.
因为，
令，得，
所以，
所以，
所以，故A正确.
因为，
所以，即，所以.
因为，，所以B错误.
因为，，
所以，
所以是与的等差中项，故C正确.
因为，
所以，故D正确.
故选：ACD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合，，则
【答案】
【解析】因为，，
所以.
13．已知多项式，则 .
【答案】74
【解析】对于，
其二项展开式的通项为，
令，得，
故，
对于，
其二项展开式的通项为，
令，得，故，
所以.
14．在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，取BC和的中点分别为P，Q，
上、下底面的中心分别为，，
设，内切球半径为r，因为，棱台的高为2r，
所以，
，同理．
因为内切球与平面相切，切点在上，
所以①，
在等腰梯形中，②，
由①②得．
在梯形中，③，
由②③得，代入得，则棱台的高，
所以棱台的体积为．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（本小题满分13分）已知函数
(1)当时，求在区间上的最值；
(2)若直线是曲线的一条切线，求的值.
【解】（1）当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，，
又，，.
（2）由题意知：，
设直线与相切于点，
则，消去得：，解得：，
则，解得：.
16．（本小题满分15分）如图，AB是半球O的直径，，依次是底面上的两个三等分点，P是半球面上一点，且．
(1)证明：；
(2)若点在底面圆上的射影为中点，求直线与平面所成的角的正弦值．
【解】（1）连接，
因为依次是底面上的两个三等分点，
所以四边形是菱形，设，则为中点，且，
又因为，故是等边三角形，
连接，则，
又因为面，，所以面，
因为面，所以，
因为依次是底面上的两个三等分点，所以，所以，
又因为AB是半球O的直径， P是半球面上一点，所以，
因为面，，所以面，
又因为面，所以
（2）因为点在底面圆上的射影为中点，
所以面，
因为面，所以，
又因为，
所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
所以，
设平面的法向量，
则，令，则，
设直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为
17．（本小题满分15分）“村BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风 乡土味 欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.
某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男 女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 20
女生 15
合计 100
附：.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
【解】（1）依题意，列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 30 20 50
女生 15 35 50
合计 45 55 100
零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关，
的观测值为，
，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.
（2）依题意，的所有可能取值为，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期.
18．（本小题满分17分）已知点P（非原点）在抛物线C：上，点P处的切线分别交x，y轴于点Q，R．
(1)若，求实数的值．
(2)定义：过抛物线上一点，且垂直于在该点处切线的直线称为抛物线的法线．若抛物线C在点P处的法线交抛物线C于另一点S，求面积的最小值．
【解】（1）不妨设，，由得，
所以点P处的切线方程为．
令，得，所以．
所以点Q为线段PR的中点．所以．
（2）设，由法线定义得，所以，
又，
即．
因为，，
所以，．
因为，，
所以．
设，，
则．
令，得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当时，．
故面积的最小值为．
19．（本小题满分17分）已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质：
①；
②对任意，存在，使得，则称为数表．
(1)判断是否为数表，并求的值；
(2)若数表满足，求中各数之和的最小值；
(3)证明：对任意数表，存在，使得．
【解】（1）是数表，
（2）由题可知.
当时，有，
所以.
当时，有，
所以.
所以
所以
或者，
或者，
或，或，
故各数之和，
当时，
各数之和取得最小值.
（3）由于数表中共个数字，
必然存在，使得数表中的个数满足
设第行中的个数为
当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接，
则该行有条有向线段，
所以横向有向线段的起点总数
设第列中的个数为.
当时，将纵向相邻两个用从上到下的有向线段连接，
则该列有条有向线段，
所以纵向有向线段的起点总数
所以,
因为,所以.
所以必存在某个既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，
即存在
使得，
所以，
则命题得证.
