2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 16.1 二次根式 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．若，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≤1 C．1≤x≤2 D．x≥0
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：
由 ,得故x≥ 0;
【分析】解决此类问题,关键要明确二次根式存在条件，然后解相应不等式或不等式组。
2．下列计算正确的是（ ）
A．=2 B．=-2 C．=±2 D．=±2
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A.，故本选项符合题意;
B.，故本选项不符合题意;
C.，故本选项不符合题意;
D.，故本选项不符合题意;
故选: A.
【分析】二次根式的算术平方根为正数，即可得出答案.
3．（2023八上·栾城期中）定义新运算：且，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：B
【分析】根据新运算先进行括号内的计算即可求出答案.
4．（2023八上·全椒期中）函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题知
故答案为：D.
【分析】根据分式不为0，根号下面数不为负数解题即可。
5．（2023八上·岳阳月考）若，则代数式x2-6x-8的值是( )
A．2006 B．2005 C．2004 D．2003
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
故答案为：A.
【分析】先将变形，再两边同时平方整理得从而求解.
6．（2023八上·重庆市期中）若（n为正整数），则下列说法正确的个数是（ ）
①；
②；
③．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】二次根式的定义；探索数与式的规律
【解析】【解答】
当n=1时
当n=2时
当n=3时
① 正确
当n=4时
②正确
根据摸索的规律
即
③正确
故选：D
【分析】根据给定式子分别计算出an和，n=1，2，3，4，根据的求取过程摸索和n的规律，利用裂项相消的办法计算出 ③ ，得出全部正确的结论。
7．（2020八下·龙口期中）设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】代数式求值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由于根号下的数要是非负数，
∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
=0，
所以有x=-y，
即：y=-x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x=-y代入原式得：
原式= ．
故答案为：B．
【分析】根据根号下的数是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案。
8．（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设x= ，易知 > ，故x>0，由x2= = =2，解得x= ，即 。根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5- D．5-3
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=
故答案为：D
【分析】将利用平方再开方的方式化简，进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
二、填空题
9．（2023·永善模拟） 要使有意义，的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：x-8＞0，
解得：x＞8，
故答案为：.
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式x-8＞0，再求解即可.
10．（2020八下·绍兴月考）如果y= ，那么 = ．
【答案】49
【知识点】代数式求值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵7-x≥0，x-7≥0，
∴x≤7且x≥7，
∴x=7，
∴y=2，
∴xy=72=49.
故答案为：49.
【分析】根据二次根式有意义的条件即被开方数大于等于0分别列不等式，用夹逼法求出x的值，则y值可求，代入xy中求值即可.
11．（2022八上·郓城月考）+（b+2）2+|c﹣2022|＝0，则（a+b）c的值为 ．
【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵+（b+2）2+|c﹣2022|＝0
∴，（b+2）2=0，|c﹣2022|=0
∴ a-3=0，b+2=0，c-2022=0
∴ a=3，b=-2，c=2022
∴ （a+b）c =[3+（-2）]2022=12022=1
故答案为1
【分析】本题考查算术平方根、平方、绝对值的非负性。根据 +（b+2）2+|c﹣2022|＝0可得a=3，b=-2，c=2022，则代入计算即可。
12．（2023九上·苍南模拟）函数y=--的最大值为 .
【答案】5
【知识点】二次根式有意义的条件；函数值
【解析】【解答】解：由 y=-- 可知，y是关于x的减函数
∵3-2x≥0，5x+15≥0
∴
∴当x=-3时，y有最大值为5
故答案为：5.
【分析】将函数右边的代数式分成三个部分：， - ， - ，每部分都随x的增大而减小，故y是关于x的减函数；根据二次根式定义，被开方式大于等于0，即3-2x≥0，5x+15≥0，所以-3≤x≤32，当取最小值-3时，y有最大值为5.
13．观察下列各式：
，
，
，
……
请利用你发现的规律，计算：
其结果为
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
......
依此类推，可得：
∴......
=
=
=
=
=
故答案为：.
【分析】根据题意找出规律，利用找出的规律将各个加数化简，再进行有理数的加减法运算即可.
三、解答题
14．（2023·桑植模拟） 我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：．
反之，
．
仿上例，求：
（1）；
（2）计算：；
（3）若，则求的值．
【答案】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质，结合完全平方公式进行化简求值即可；
（2）根据二次根式的性质，结合完全平方公式进行化简求值即可；
（3）各式变形后，代入a的值即可求出答案。
四、综合题
15．（2023八下·曾都期末）观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式：，验证：；
第2个等式：，验证：；
第3个等式：，验证：．
（1）请写出第4个等式，并验证；
（2）按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想．
【答案】（1）解：第4个等式：
验证：
（2）第个等式：
验证：
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据已知等式找出规律直接写出等式并验证即可；
（2）根据已知等式找出规律：第个等式：，再验证即可.
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一、选择题
1．若，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≤1 C．1≤x≤2 D．x≥0
2．下列计算正确的是（ ）
A．=2 B．=-2 C．=±2 D．=±2
3．（2023八上·栾城期中）定义新运算：且，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2023八上·全椒期中）函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
5．（2023八上·岳阳月考）若，则代数式x2-6x-8的值是( )
A．2006 B．2005 C．2004 D．2003
6．（2023八上·重庆市期中）若（n为正整数），则下列说法正确的个数是（ ）
①；
②；
③．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2020八下·龙口期中）设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
8．（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设x= ，易知 > ，故x>0，由x2= = =2，解得x= ，即 。根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5- D．5-3
二、填空题
9．（2023·永善模拟） 要使有意义，的取值范围是 ．
10．（2020八下·绍兴月考）如果y= ，那么 = ．
11．（2022八上·郓城月考）+（b+2）2+|c﹣2022|＝0，则（a+b）c的值为 ．
12．（2023九上·苍南模拟）函数y=--的最大值为 .
13．观察下列各式：
，
，
，
……
请利用你发现的规律，计算：
其结果为
三、解答题
14．（2023·桑植模拟） 我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：．
反之，
．
仿上例，求：
（1）；
（2）计算：；
（3）若，则求的值．
四、综合题
15．（2023八下·曾都期末）观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式：，验证：；
第2个等式：，验证：；
第3个等式：，验证：．
（1）请写出第4个等式，并验证；
（2）按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：
由 ,得故x≥ 0;
【分析】解决此类问题,关键要明确二次根式存在条件，然后解相应不等式或不等式组。
2．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A.，故本选项符合题意;
B.，故本选项不符合题意;
C.，故本选项不符合题意;
D.，故本选项不符合题意;
故选: A.
【分析】二次根式的算术平方根为正数，即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：B
【分析】根据新运算先进行括号内的计算即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题知
故答案为：D.
【分析】根据分式不为0，根号下面数不为负数解题即可。
5．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
故答案为：A.
【分析】先将变形，再两边同时平方整理得从而求解.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的定义；探索数与式的规律
【解析】【解答】
当n=1时
当n=2时
当n=3时
① 正确
当n=4时
②正确
根据摸索的规律
即
③正确
故选：D
【分析】根据给定式子分别计算出an和，n=1，2，3，4，根据的求取过程摸索和n的规律，利用裂项相消的办法计算出 ③ ，得出全部正确的结论。
7．【答案】B
【知识点】代数式求值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由于根号下的数要是非负数，
∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
=0，
所以有x=-y，
即：y=-x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x=-y代入原式得：
原式= ．
故答案为：B．
【分析】根据根号下的数是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案。
8．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=
故答案为：D
【分析】将利用平方再开方的方式化简，进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
9．【答案】
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：x-8＞0，
解得：x＞8，
故答案为：.
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式x-8＞0，再求解即可.
10．【答案】49
【知识点】代数式求值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵7-x≥0，x-7≥0，
∴x≤7且x≥7，
∴x=7，
∴y=2，
∴xy=72=49.
故答案为：49.
【分析】根据二次根式有意义的条件即被开方数大于等于0分别列不等式，用夹逼法求出x的值，则y值可求，代入xy中求值即可.
11．【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵+（b+2）2+|c﹣2022|＝0
∴，（b+2）2=0，|c﹣2022|=0
∴ a-3=0，b+2=0，c-2022=0
∴ a=3，b=-2，c=2022
∴ （a+b）c =[3+（-2）]2022=12022=1
故答案为1
【分析】本题考查算术平方根、平方、绝对值的非负性。根据 +（b+2）2+|c﹣2022|＝0可得a=3，b=-2，c=2022，则代入计算即可。
12．【答案】5
【知识点】二次根式有意义的条件；函数值
【解析】【解答】解：由 y=-- 可知，y是关于x的减函数
∵3-2x≥0，5x+15≥0
∴
∴当x=-3时，y有最大值为5
故答案为：5.
【分析】将函数右边的代数式分成三个部分：， - ， - ，每部分都随x的增大而减小，故y是关于x的减函数；根据二次根式定义，被开方式大于等于0，即3-2x≥0，5x+15≥0，所以-3≤x≤32，当取最小值-3时，y有最大值为5.
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
......
依此类推，可得：
∴......
=
=
=
=
=
故答案为：.
【分析】根据题意找出规律，利用找出的规律将各个加数化简，再进行有理数的加减法运算即可.
14．【答案】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质，结合完全平方公式进行化简求值即可；
（2）根据二次根式的性质，结合完全平方公式进行化简求值即可；
（3）各式变形后，代入a的值即可求出答案。
15．【答案】（1）解：第4个等式：
验证：
（2）第个等式：
验证：
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据已知等式找出规律直接写出等式并验证即可；
（2）根据已知等式找出规律：第个等式：，再验证即可.
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