2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 16.2 二次根式的运算 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2020八下·淮滨期末）下列二次根式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】A. ，能与 合并；
B. 不能与 合并；
C. ，不能与 合并；
D. 不能与 合并.
故答案为：A.
【分析】先化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答.
2．（2023八下·青秀期末）定义一种新运算“”，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得．
故答案为：C.
【分析】根据所给的新定义运算先列式，然后再进行二次根式的计算即可解答．
3．（2023八下·承德期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】
∵
∴
∴
故答案为：A.
【分析】本题考查二次根式的化简。
根据二次根式的性质对原式化简，把x值代入求解即可。
4．（2022八下·杭州期中）已知，若a，b为两个连续的整数，且，则（ ）
A．13 B．14 C．12 D．11
【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的乘法法则可得m=，由估算无理数大小的方法可得6<<7，据此可得a、b的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
5．（2023八下·安达期末）计算（3-2）（+）的结果是（ ）
A．6 B．12 C．15 D．30
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：A.
【分析】先将括号里的二次根式化成最简二次根式，再利用平方差公式及二次根式的乘法法则进行计算，可求出结果.
6．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】原式= + - = + - = ，故选B．
【分析】正确进行根式的加减法，迅速运算解答，是解此类单选题的基本途径．
7．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）已知x为实数，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】由原式成立，所以x<0，所以原式= + = ，故选C．
【分析】根据二次根式成立的条件，正确判断字母的正负性，从而判断每一项的正负性，最后进行二次根式的加减法计算．
8．（2023八下·涪陵期末）对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法：
①；②；③．
以上说法中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：①∵18＞2，
∴①，所以①正确；
②∵1＜2，2＜3，3＜4，......99＜100，
∴，所以②正确；
③可分成两种情况：
（1）当a≥b时，
（2）当a＜b时，，
∴=丨a-b丨，所以③正确；
综上，以上说法正确的个数为3个。
故答案为：D.
【分析】根据定义新运算规则把式子转化成二次根式的运算，然后根据二次根式的运算法则分别进行运算，即可求得正确答案。
二、填空题
9．若x2+y2=1，则的值为
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：因为x2 + y2 = 1，所以-1≤x≤1，-1≤y≤1，
其中y-2<0，所以x+1≤0，
又因为-1≤x≤1，
所以x+1=0，x=-1，
所以y = 0，
所以原式
故答案为： 2
【分析】根据x2+y2 = 1，可得-1≤x≤1，-1≤y≤1，再将原式化简后确定x和y的值代入即可求解.
10．（2023八下·楚雄期末）对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ．
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
故答案为：.
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。
11．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第一章二次根式单元检测卷b）若 ， ，则 的值为 ．
【答案】20
【知识点】因式分解﹣公式法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵
∴
=20
【分析】首先根据完全平方公式将代数式分解因式，然后代入x，y的值，再按实数加减法法则化简底数，根据积的乘方法则算出答案。
12．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册16.2.2二次根式的加减运算 同步练习）已知x1= + ，x2= ﹣ ，则x12+x22= ．
【答案】10
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵x1= + ，x2= ﹣ ，
∴x12+x22
=（x1+x2）2﹣2x1x2
=（ + + ﹣ ）2﹣2（ + ）×（ ﹣ ）
=12﹣2
=10．
故答案为：10．
【分析】把x12+x22变形为（x1+x2）2-2x1x2，把x1、x2的值代入，然后利用完全平方公式和平方差公式计算.
13．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册16.2.2二次根式的加减运算 同步练习）计算（ +1）2015（ ﹣1）2014=
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式=[（ +1） （ ﹣1）]2014 （ +1）
=（2﹣1）2014 （ +1）
= +1．
故答案为： +1．
【分析】先把化成，利用积的乘方的逆运算和平方差公式计算可得.
三、解答题
14．（2018-2019学年初中数学沪科版八年级下册 16.2.4二次根式的加减 同步练习） 先阅读下面材料，然后再根据要求解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足 ，求 的值？
解： 由题意得： ，
因为a、b都是有理数，
所以a-3、b+2也是有理数，
由于 是无理数，
所以a-3＝0、b+2＝0，
所以a＝3、b＝-2，
所以 ，
问题： 设x、y都是有理数，且满足 ，求x+y的值，
【答案】解：
当 时，
当 ，
即 的值是8或0.
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】根据题目运用的方法，将原式移项构造一个新式子，根据两个项分别为0，求出x和y的值，计算x+y即可。
四、综合题
15．（2023八下·嵩明期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若点 在直线l上，求代数式 的值．
【答案】（1）解：∵y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点B（0，2）．
∴ ，
∴ ，
∴直线解析式为y＝x+2，
（2）解：∵点 在在直线l上，
∴ +2＝t，
∴t1＝1+ ，t2＝1- ．
∵ ＝（t2+ ）2-2，
t2+ ＝（t+ ）2-2
∴ ＝[（t+ ）2-2]2-2，
t＝1+ 时，t+ ＝1+ + ＝1+ + -1＝2 ，
∴ ＝[（t+ ）2-2]2-2＝34．
当t＝1- 时，t+ ＝1- + ＝1- -1- ＝-2 ．
∴ ＝[（t+ ）2-2]2-2＝34．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分母有理化；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）将代入，解析式，解方程得出t1＝1+ ，t2＝1- 进而分类讨，根据完全平方公式，即可求解．
16．（2023八下·赣州期中）阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
解答下面的问题：
（1）计算： ， ；若n为正整数，请你猜想 ．
（2）计算：；
（3）计算：．
【答案】（1）；；
（2）解：
．
（3）解：
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1） ；
；
；
故答案为： ， ， ；
【分析】（1）将各式中分子、分母同乘以有理化因式，再化简整理即可；
（2）将括号内的每一项进行分母有理化，再相加减，最后利用平方差公式计算即可；
（3）将括号内的每一项进行分母有理化，再相加减，最后利用平方差公式计算即可.
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一、选择题
1．（2020八下·淮滨期末）下列二次根式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·青秀期末）定义一种新运算“”，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·承德期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八下·杭州期中）已知，若a，b为两个连续的整数，且，则（ ）
A．13 B．14 C．12 D．11
5．（2023八下·安达期末）计算（3-2）（+）的结果是（ ）
A．6 B．12 C．15 D．30
6．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）已知x为实数，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·涪陵期末）对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法：
①；②；③．
以上说法中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．若x2+y2=1，则的值为
10．（2023八下·楚雄期末）对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ．
11．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第一章二次根式单元检测卷b）若 ， ，则 的值为 ．
12．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册16.2.2二次根式的加减运算 同步练习）已知x1= + ，x2= ﹣ ，则x12+x22= ．
13．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册16.2.2二次根式的加减运算 同步练习）计算（ +1）2015（ ﹣1）2014=
三、解答题
14．（2018-2019学年初中数学沪科版八年级下册 16.2.4二次根式的加减 同步练习） 先阅读下面材料，然后再根据要求解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足 ，求 的值？
解： 由题意得： ，
因为a、b都是有理数，
所以a-3、b+2也是有理数，
由于 是无理数，
所以a-3＝0、b+2＝0，
所以a＝3、b＝-2，
所以 ，
问题： 设x、y都是有理数，且满足 ，求x+y的值，
四、综合题
15．（2023八下·嵩明期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若点 在直线l上，求代数式 的值．
16．（2023八下·赣州期中）阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
解答下面的问题：
（1）计算： ， ；若n为正整数，请你猜想 ．
（2）计算：；
（3）计算：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】A. ，能与 合并；
B. 不能与 合并；
C. ，不能与 合并；
D. 不能与 合并.
故答案为：A.
【分析】先化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得．
故答案为：C.
【分析】根据所给的新定义运算先列式，然后再进行二次根式的计算即可解答．
3．【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】
∵
∴
∴
故答案为：A.
【分析】本题考查二次根式的化简。
根据二次根式的性质对原式化简，把x值代入求解即可。
4．【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的乘法法则可得m=，由估算无理数大小的方法可得6<<7，据此可得a、b的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
5．【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：A.
【分析】先将括号里的二次根式化成最简二次根式，再利用平方差公式及二次根式的乘法法则进行计算，可求出结果.
6．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】原式= + - = + - = ，故选B．
【分析】正确进行根式的加减法，迅速运算解答，是解此类单选题的基本途径．
7．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】由原式成立，所以x<0，所以原式= + = ，故选C．
【分析】根据二次根式成立的条件，正确判断字母的正负性，从而判断每一项的正负性，最后进行二次根式的加减法计算．
8．【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：①∵18＞2，
∴①，所以①正确；
②∵1＜2，2＜3，3＜4，......99＜100，
∴，所以②正确；
③可分成两种情况：
（1）当a≥b时，
（2）当a＜b时，，
∴=丨a-b丨，所以③正确；
综上，以上说法正确的个数为3个。
故答案为：D.
【分析】根据定义新运算规则把式子转化成二次根式的运算，然后根据二次根式的运算法则分别进行运算，即可求得正确答案。
9．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：因为x2 + y2 = 1，所以-1≤x≤1，-1≤y≤1，
其中y-2<0，所以x+1≤0，
又因为-1≤x≤1，
所以x+1=0，x=-1，
所以y = 0，
所以原式
故答案为： 2
【分析】根据x2+y2 = 1，可得-1≤x≤1，-1≤y≤1，再将原式化简后确定x和y的值代入即可求解.
10．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
故答案为：.
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。
11．【答案】20
【知识点】因式分解﹣公式法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵
∴
=20
【分析】首先根据完全平方公式将代数式分解因式，然后代入x，y的值，再按实数加减法法则化简底数，根据积的乘方法则算出答案。
12．【答案】10
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵x1= + ，x2= ﹣ ，
∴x12+x22
=（x1+x2）2﹣2x1x2
=（ + + ﹣ ）2﹣2（ + ）×（ ﹣ ）
=12﹣2
=10．
故答案为：10．
【分析】把x12+x22变形为（x1+x2）2-2x1x2，把x1、x2的值代入，然后利用完全平方公式和平方差公式计算.
13．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式=[（ +1） （ ﹣1）]2014 （ +1）
=（2﹣1）2014 （ +1）
= +1．
故答案为： +1．
【分析】先把化成，利用积的乘方的逆运算和平方差公式计算可得.
14．【答案】解：
当 时，
当 ，
即 的值是8或0.
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】根据题目运用的方法，将原式移项构造一个新式子，根据两个项分别为0，求出x和y的值，计算x+y即可。
15．【答案】（1）解：∵y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点B（0，2）．
∴ ，
∴ ，
∴直线解析式为y＝x+2，
（2）解：∵点 在在直线l上，
∴ +2＝t，
∴t1＝1+ ，t2＝1- ．
∵ ＝（t2+ ）2-2，
t2+ ＝（t+ ）2-2
∴ ＝[（t+ ）2-2]2-2，
t＝1+ 时，t+ ＝1+ + ＝1+ + -1＝2 ，
∴ ＝[（t+ ）2-2]2-2＝34．
当t＝1- 时，t+ ＝1- + ＝1- -1- ＝-2 ．
∴ ＝[（t+ ）2-2]2-2＝34．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分母有理化；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）将代入，解析式，解方程得出t1＝1+ ，t2＝1- 进而分类讨，根据完全平方公式，即可求解．
16．【答案】（1）；；
（2）解：
．
（3）解：
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1） ；
；
；
故答案为： ， ， ；
【分析】（1）将各式中分子、分母同乘以有理化因式，再化简整理即可；
（2）将括号内的每一项进行分母有理化，再相加减，最后利用平方差公式计算即可；
（3）将括号内的每一项进行分母有理化，再相加减，最后利用平方差公式计算即可.
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