2023学年第一学期期末调研测试卷
高二数学
注意事项：
1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面上，复数（为虚数单位）对应的点在（ ）
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知数列前n项和为，若，且（），则（ ）
A. 为等比数列 B. 为等差数列 C. 为等比数列 D. 为等差数列
6. 已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 外离 D. 与m的取值有关
7. 已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（ ）．
A. B. 1 C. D.
8. 已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，椭圆上一点P满足，且，则该椭圆的离心率等于（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若在上有最小值，则在上有最大值2
D. 若在上单调递增，则在上单调递减
10. 对于直线l：（，），下列说法正确的是（ ）
A. 直线l的一个方向向量为 B. 直线l恒过定点
C. 当时，直线l的倾斜角为60° D. 当且时，l不经过第二象限
11. 设是公差为的等差数列的前项和，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则数列有最大项
B. 若数列有最大项，则
C. 若数列是递增数列，则对任意，均有
D. 若对任意，均有，则数列是递增数列
12. 在正方体中，点E，F满足，，且x，y，．记EF与所成角为，与平面ABCD所成角为，则（ ）
A. 若，三棱锥E-BCF的体积为定值
B. 若，则
C. ，
D. ，总存在，使得平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为_____________．
14. 已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点，若，则直线的斜率为______.
15. 已知为等差数列的前n项和，若，，则_____________．
16. 在三棱锥中，，，点在上，，为中点，则_____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列是公差不为0的等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前10项和．
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，且边AB上的高等于．
（1）求角A的值；
（2）若的面积为18，求边BC的长．
19 已知圆O：，直线．
（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值；
（2）若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值．
20. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，．
（1）求证：：
（2）当时，求平面与平面所成锐二面角余弦值．
21. 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列满足，数列的前n项和等于．
（1）求数列的前n项和；
（2）求数列的通项公式．
22. 设双曲线C：（，）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线与C的右支相交于A，B两点．
（1）当直线与x轴垂直，且两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率；
（2）若双曲线C的焦距为4，且恒成立，求双曲线C的实轴长的取值范围．2023学年第一学期期末调研测试卷
高二数学
注意事项：
1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合，然后令求出即可.
【详解】，
令，解得，又，
所以，
所以.
故选：D.
2. 在复平面上，复数（为虚数单位）对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】求出复数的代数形式，然后确定其对应的点即可.
【详解】,
其在复平面上对应的点为，在第三象限，
故选：C.
3. 已知向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示结合充分、必要条件分析求解.
【详解】若，则，解得，
显然“”可以推出“”， “”不可以推出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，化简整理即得渐近线方程.
【详解】由双曲线，令，解得，
所以渐近线方程为.
故选：B.
5. 已知数列的前n项和为，若，且（），则（ ）
A. 为等比数列 B. 为等差数列 C. 为等比数列 D. 为等差数列
【答案】A
【解析】
【分析】利用求出的通项公式并求和，然后逐一判断选项即可.
【详解】由得当时，，
两式相减得，即，
又当时，，
所以数列即不是等比数列也不是等差数列，CD错误；
所以，
当时，
所以当时，，符合，
所以，
又时，所以为等比数列，A正确，B错误.
故选：A.
6. 已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 外离 D. 与m的取值有关
【答案】C
【解析】
【分析】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案.
【详解】圆：，
即，圆心，半径，
圆：，
即，圆心，半径，
所以当时，
所以圆与圆的位置关系是外离.
故选：C.
7. 已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（ ）．
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示求出，利用同角三角函数的关系求出，结合计算即可求解.
【详解】空间内三点，，，
所以，，，，
由，所以，
所以点A到直线的距离.
故选：A.
8. 已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，椭圆上一点P满足，且，则该椭圆的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，，然后利用正弦定理求出的关系，再利用关系求出后即可得离心率.
【详解】设，则，又，
则，得，即，
又，
，
由正弦定理得，
设，
则，即，
又，所以，
所以离心率.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若在上有最小值，则在上有最大值2
D. 若在上单调递增，则在上单调递减
【答案】BC
【解析】
【分析】由奇函数的定义和图象的对称性可依次判断各个选项.
【详解】对于A，由奇函数定义可得，若，则不成立，故A错误；
对于B，由奇函数定义可得，得，故B正确；
对于C，由奇函数图象关于原点对称，可知C正确；
对于D，由奇函数图象关于原点对称，可知在上单调递增，故D错误.
故选：BC.
10. 对于直线l：（，），下列说法正确的是（ ）
A. 直线l一个方向向量为 B. 直线l恒过定点
C. 当时，直线l的倾斜角为60° D. 当且时，l不经过第二象限
【答案】ABD
【解析】
【分析】由直线方程的相关性质逐一判断即可.
【详解】对于A：直线l的一个方向向量为，A正确；
对于B：直线l的方程可化为，所以直线l恒过定点，B正确；
对于C：当时，直线l的斜率为，此时倾斜角为，C错误；
对于D：当且时，直线l为，所以l不经过第二象限，D正确.
故选：ABD.
11. 设是公差为的等差数列的前项和，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则数列有最大项
B. 若数列有最大项，则
C. 若数列是递增数列，则对任意，均有
D. 若对任意，均有，则数列是递增数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意，分、分别讨论对应的函数性质可判断A，B；若数列是递增数列，则，若数列是递减数列，则分析可判断C，D.
【详解】因为，
若，对应二次函数开口向下，由二次函数的性质可知，数列有最大项，正确；
若，二次函数开口向上，无最大项
故若数列有最大项，有，B正确；
若数列是递增数列，则，若，则，故不一定对任意，均有，C错误；
若数列是递减数列，则，一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有
故若对任意，均有，有数列是递增数列，D正确．
故选：ABD
12. 在正方体中，点E，F满足，，且x，y，．记EF与所成角为，与平面ABCD所成角为，则（ ）
A. 若，三棱锥E-BCF的体积为定值
B. 若，则
C. ，
D. ，总存在，使得平面
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：确定以及点到面距离的取值情况即可判断；对于B：假设，找出矛盾即可判断；对于C：过作交于，连接，找到和即可判断；对于D：作图，然后证明平面即可.
【详解】对于A：若，点在过线段的三等分点（靠近点）并且与平行的线上，
因为点在线段上，且，
所以点到线段的距离为定值，则为定值，
又点到面，即面的距离不变，
所以为定值，A正确；
对于B：若，则点为线段的中点，点为线段的交点，
若，又，且面，，
所以面，又面，
所以，
设正方体的棱长为，
则，
此时，即，与矛盾，
故不正确，B错误；
对于C：，则点在线段上（不含端点），点在正方形内（不含边界），
过作交于，连接，
则为EF与所成角，即，
因为面，，
所以面，则为与平面ABCD所成角，即，
因为为直角三角形，所以，C正确；
对于D：过作交于，过作交于，连接，
此时满足，，，，
接下来只需要证明平面即可，
因为，面，面，
所以面，
又，面，面，
所以面，又，且面，
所以面面，又面，
所以平面，
所以，总存，使得平面，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】求出总的基本事件数，然后求出符合题目要求结果的基本事件数，再利用古典概型的公式求解即可.
【详解】首先从中任取两个小球有共个基本事件，
取出的小球中至少有一个号码为奇数有共个基本事件，
所以取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为.
故答案为：.
14. 已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点，若，则直线的斜率为______.
【答案】
【解析】
【分析】由条件可得，然后求出点的坐标，然后由可得答案.
【详解】因为，，，
所以，所以，，
所以，
故答案为：.
15. 已知为等差数列的前n项和，若，，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据条件列方程组求出首项和公差，再利用等差数列的通项公式求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由得，整理得①
由得，整理得②，
由①②得，
所以.
故答案为：.
16. 在三棱锥中，，，点在上，，为中点，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】将向量用向量表示出来，然后平方求解即可.
【详解】由已知得，
则
，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列是公差不为0的等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前10项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用等差等比数列的通项公式列方程求解即可；
（2）通过分组求和，利用等差等比的求和公式求解.
【小问1详解】
设数列是公差为，等比数列的公比为，
由已知得，，，，
所以，解得（舍去）或，
所以；
【小问2详解】
由（2）的，
所以数列的前10项和为.
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，且边AB上的高等于．
（1）求角A的值；
（2）若的面积为18，求边BC的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意运用正弦定理边化角，即可得结果.
（2）根据面积关系可得，再利用余弦定理运算求解.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得：，
且，则，可得，即，
且，所以.
【小问2详解】
由的面积可得，
即，解得，
由余弦定理可得，即，
所以边BC的长为.
19. 已知圆O：，直线．
（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值；
（2）若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理得圆心到直线距离，再利用点到直线距离公式求解；
（2）将四边形的面积的最小值转化为求的面积最小值，根据求其最小值即可.
【小问1详解】
当时，由垂径定理得圆心到直线的距离为，
则，
解得；
【小问2详解】
当时，直线，即
由已知得
又，
所以的最小值为，
又因为四边形的面积的为，所以其最小值为
20. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，．
（1）求证：：
（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明面可得结论；
（2）通过证明出两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角.
小问1详解】
取线段的中点，连接，
由分别时线段的中点可得
所以四点共面，
在直三棱柱中，侧面为正方形，，
则侧面也为正方形，
且，所以，
则，
所以，又，面，
所以面，又面，
所以；
【小问2详解】
由（1）得面，又面，
所以，又，面，
所以面，又，
所以面，又面，
所哟，故两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
，
则
设平面的一个法向量为，
则，取可得，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为
所以.
21. 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列满足，数列的前n项和等于．
（1）求数列的前n项和；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的通项公式列方程求出首项和公比，然后利用求和公式求和即可；
（2）先利用，求出，然后构造关于数列的常数数列求解即可.
【小问1详解】
由已知①，
又，即②
由①②得，
所以，
所以；
【小问2详解】
因为数列的前n项和等于，
所以当时，，
所以，
又，即，符合，
所以当时，，
即，
所以数列常数数列，
所以，
则.
22. 设双曲线C：（，）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线与C的右支相交于A，B两点．
（1）当直线与x轴垂直，且两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率；
（2）若双曲线C的焦距为4，且恒成立，求双曲线C的实轴长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据通径等于实轴长列式计算即可；
（2）设直线的方程为，与双曲线联立，利用韦达定理计算恒成立即可.
【小问1详解】
当直线l与x轴垂直时,令得，解得，
所以两点的距离为为，
根据题意可得，
所以，
整理得；
【小问2详解】
双曲线C的焦距为4，则，即，
由于直线的斜率不为零，设其方程为，
联立，消去得，
设，
则，，
由于两点均在双曲线的右支上，
所以，
所以，即
所以
，
由恒成立，得时，均有，并且不可能同向，
即，由于，
因为不等式左边是关于的增函数，
所以只需时，成立即可，
解得，又，
所以，
所以双曲线C的实轴长的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题关键点是将恒成立转化为恒成立，从而可以利用韦达定理来解决.
