2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.1 一元二次方程 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．已知关于x的方程(m-2)x|m|+2x-1=0是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．2 B．±2 C．-2 D．0
2．若关于x的方程(m-1)x2-2x+1=0是一元二次方程，则m满足的条件是（ ）
A．m=1 B．m≠1 C．m>1 D．m<2
3．（2023九上·简阳期中）试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米 若设小道的宽为米，则根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023九上·温岭期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知m为方程x2+3x-2 022=0的根，那么m3+2m2-2 025m+2 022的值为（ ）
A．-2 022 B．0 C．2 022 D．4 044
6．（2023九上·丰南期中） 把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·怀化期中）定义：一元二次方程（）若满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程，若满足，那么我们称这个方程为“友善”方程.已知关于的方程（）既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则下列结论中正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程的两个根互为相反数
C．两根之积为0 D．无实数根
8．（2023九上·泸州期中）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023八下·杭州月考）构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为-1.这个一元二次方程可以是 (写出一个即可).
10．（2024九上·永吉期末）关于的方程的一个根为，那么的值是 .
11．（2023九上·邵东月考） 一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.若两次降价的百分率都为，则根据题意可列方程 .
12．已知 是关于x的方程 的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为 ．
13．（2023八上·闵行期中）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有72人患了流感，若设平均每人每轮传染x人，则可列方程为 ．
三、解答题
14．已知m是方程x2-2x-1=0的一个根，求代数式2m2-4m+19的值
15．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义=ad-bc．上述记法就叫做二阶行列式，那么= 22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式．
四、综合题
16．（2022·岚山模拟）
（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知是关于x的一元二次方程的一个实数根，求方程的另一个根及m的值．
17．（2023·梁山模拟）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”．
（1）判断下列方程是否为“差1方程”？
（2）已知关于x的方程（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程（是常数，）是“差1方程”，设，求t的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： ∵关于x的方程(m-2)x|m|+2x-1=0是一元二次方程 ，
∴=2且m-2≠0，
解得m=-2.
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此解答即可.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： ∵关于x的方程(m-1)x2-2x+1=0是一元二次方程 ，
∴m-1≠0，
解得：m≠1.
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），据此解答即可.
3．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为(15-2x)米、宽为(8-x)米的大矩形，依题意得：．
故答案为：B.
【分析】设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为(15-2x)米、宽为(8- x)米的矩形，利用种植的面积=合成大矩形的长×宽，即可得出关于x的一元二次方程．
4．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：1+x，
第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x），
∵经过两轮传染后共有121人患了流感，
∴1+x+x（1+x）＝121，即（1+x）2＝121.
故答案为：A．
【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，从而得出出第二轮传染后患流感的人数，由经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可．
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=m代入方程x2+3x-2 022=0中，得m2+3m-2 022=0 ，
即m2+3m=2 022，m2=2 022-3m，
原式=m3+2m2-2 025m+2 022=m（2 022-3m）+2（2 022-3m）-2 025m+2 022，
=-3m2-9m+6066=-3（m2+3m）+6066，
=-3×2022+6066=0.
故答案为：B.
【分析】把x=m代入方程x2+3x-2 022=0中，可得m2+3m=2 022，m2=2 022-3m，然后整体代入计算即可.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得 把一元二次方程化成一般形式得，
故答案为：A
【分析】根据题意将一元二次方程化简即可求解。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程（）若满足， 将x=1代入 方程 得 ，
将x=-1代入 方程 得 ，
程程 的两个根分别为1或-1，互为相反数，
故答案为：B.
【分析】根据 一元二次方程（）若满足和 ， 得到方程的两个根分别为1或-1，进而得出结论.
8．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设宽为x步，则长为步，
由题意得：，
故答案为：D.
【分析】基本等量关系：长方形的面积=长乘以宽。用x表示长和宽，列一元二次方程求解。
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】 解：由题意可得，方程可以为：(x+1)(x-1)=0，
即x2-1=0，
故答案为：x2-1=0.
【分析】 直接利用一元二次方程的一般形式进而得出答案。
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】
解：
把x=-1代入方程中得，
整理得，
解得，m=-1
故答案为：-1
【分析】把方程的根代入原方程得到关于m的方程，解这个方程可求出m.
11．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设 两次降价的百分率都为， 根据题意得： 。
故答案为： 。
【分析】基本关系：初量（1-降低率）2=末量。据此列方程即可。
12．【答案】14
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系
【解析】【解答】∵2是关于x的方程x2–2mx+3m=0的一个根，∴把x=2代入方程整理得：4–4m+3m=0，∴解得m=4，∴原方程为：x2–8x+12=0，∴方程的两个根分别是2，6，
又∵等腰△ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，∴若2是等腰△ABC的腰长，则2+2=4<6构不成三角形，∴等腰△ABC的腰长为6，底边长为2，∴△ABC的周长为：6+6+2=14，故答案为：14
【分析】根据方程根的概念，将x=2代入原方程，求出m的值，将m的值代入原方程，求解得出方程的两个根，然后分2是等腰△ABC的腰长，4是等腰三角形底边，与4是等腰△ABC的腰长，2是等腰三角形底边，两种情况根据三角形三边的关系作出判断能否围成三角形，能的再利用三角形周长计算方法算出答案。
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵有2个人患了流感，平均每轮传染x人，
∴第一轮传染中有个人被传染，第二轮中有个人被传染，
∴
整理得，，
故答案为：．
【分析】基本关系式：初量（1+ 平均每人每轮传染的人数）2=经过两轮传染后患了流感的总人数，据此列方程。
14．【答案】∵m是方程x2-2x-1=0的一个根，∴m2-2m-1=0，∴m2-2m=1，
∴2m2-4m+19=2(m2- 2m)+19= 2×1+19=21．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】把x=m代入方程中，可得m2-2m=1，再将原式化为2(m2- 2m)+19，然后整体代入计算即可.
15．【答案】解：根据题意得(x+1)·2x-(x+2)(x-2)= 22，整理，得2x2 +2x-x2+4=22，即x2+2x= 18，是一元二次方程，化为一般形式为x2+2x-18= 0．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；定义新运算
【解析】【分析】根据新定义可得(x+1)·2x-(x+2)(x-2)= 22，根据一元二次方程的定义进行判断即可.
16．【答案】（1）解：
当时，原式
（2）解：把代入方程
得
解得m=7
故方程为
解得
故方程的另一个根为
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可；
（2）将代入方程求出m的值，再解一元二次方程即可。
17．【答案】（1）解：，
，
或，
∵
不是“差1方程”；
（2）解：，
，
或，
方程是常数）是“差1方程”，
或，
或；
（3）解：由题可得：
∴解方程得，
关于的方程、是常数，是“差1方程”，
，
，
，
，
，
时，的最大值为9．
【知识点】一元二次方程的根；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据 “差1方程” 的定义求解即可；
（2）先求出x的值，再根据 “差1方程” 的定义求出m的值即可；
（3）先求出，再结合，可得，最后求出最大值即可。
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.1 一元二次方程 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．已知关于x的方程(m-2)x|m|+2x-1=0是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．2 B．±2 C．-2 D．0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： ∵关于x的方程(m-2)x|m|+2x-1=0是一元二次方程 ，
∴=2且m-2≠0，
解得m=-2.
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此解答即可.
2．若关于x的方程(m-1)x2-2x+1=0是一元二次方程，则m满足的条件是（ ）
A．m=1 B．m≠1 C．m>1 D．m<2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： ∵关于x的方程(m-1)x2-2x+1=0是一元二次方程 ，
∴m-1≠0，
解得：m≠1.
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），据此解答即可.
3．（2023九上·简阳期中）试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米 若设小道的宽为米，则根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为(15-2x)米、宽为(8-x)米的大矩形，依题意得：．
故答案为：B.
【分析】设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为(15-2x)米、宽为(8- x)米的矩形，利用种植的面积=合成大矩形的长×宽，即可得出关于x的一元二次方程．
4．（2023九上·温岭期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：1+x，
第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x），
∵经过两轮传染后共有121人患了流感，
∴1+x+x（1+x）＝121，即（1+x）2＝121.
故答案为：A．
【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，从而得出出第二轮传染后患流感的人数，由经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可．
5．已知m为方程x2+3x-2 022=0的根，那么m3+2m2-2 025m+2 022的值为（ ）
A．-2 022 B．0 C．2 022 D．4 044
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=m代入方程x2+3x-2 022=0中，得m2+3m-2 022=0 ，
即m2+3m=2 022，m2=2 022-3m，
原式=m3+2m2-2 025m+2 022=m（2 022-3m）+2（2 022-3m）-2 025m+2 022，
=-3m2-9m+6066=-3（m2+3m）+6066，
=-3×2022+6066=0.
故答案为：B.
【分析】把x=m代入方程x2+3x-2 022=0中，可得m2+3m=2 022，m2=2 022-3m，然后整体代入计算即可.
6．（2023九上·丰南期中） 把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得 把一元二次方程化成一般形式得，
故答案为：A
【分析】根据题意将一元二次方程化简即可求解。
7．（2023九上·怀化期中）定义：一元二次方程（）若满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程，若满足，那么我们称这个方程为“友善”方程.已知关于的方程（）既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则下列结论中正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程的两个根互为相反数
C．两根之积为0 D．无实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程（）若满足， 将x=1代入 方程 得 ，
将x=-1代入 方程 得 ，
程程 的两个根分别为1或-1，互为相反数，
故答案为：B.
【分析】根据 一元二次方程（）若满足和 ， 得到方程的两个根分别为1或-1，进而得出结论.
8．（2023九上·泸州期中）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设宽为x步，则长为步，
由题意得：，
故答案为：D.
【分析】基本等量关系：长方形的面积=长乘以宽。用x表示长和宽，列一元二次方程求解。
二、填空题
9．（2023八下·杭州月考）构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为-1.这个一元二次方程可以是 (写出一个即可).
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】 解：由题意可得，方程可以为：(x+1)(x-1)=0，
即x2-1=0，
故答案为：x2-1=0.
【分析】 直接利用一元二次方程的一般形式进而得出答案。
10．（2024九上·永吉期末）关于的方程的一个根为，那么的值是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】
解：
把x=-1代入方程中得，
整理得，
解得，m=-1
故答案为：-1
【分析】把方程的根代入原方程得到关于m的方程，解这个方程可求出m.
11．（2023九上·邵东月考） 一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.若两次降价的百分率都为，则根据题意可列方程 .
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设 两次降价的百分率都为， 根据题意得： 。
故答案为： 。
【分析】基本关系：初量（1-降低率）2=末量。据此列方程即可。
12．已知 是关于x的方程 的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为 ．
【答案】14
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系
【解析】【解答】∵2是关于x的方程x2–2mx+3m=0的一个根，∴把x=2代入方程整理得：4–4m+3m=0，∴解得m=4，∴原方程为：x2–8x+12=0，∴方程的两个根分别是2，6，
又∵等腰△ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，∴若2是等腰△ABC的腰长，则2+2=4<6构不成三角形，∴等腰△ABC的腰长为6，底边长为2，∴△ABC的周长为：6+6+2=14，故答案为：14
【分析】根据方程根的概念，将x=2代入原方程，求出m的值，将m的值代入原方程，求解得出方程的两个根，然后分2是等腰△ABC的腰长，4是等腰三角形底边，与4是等腰△ABC的腰长，2是等腰三角形底边，两种情况根据三角形三边的关系作出判断能否围成三角形，能的再利用三角形周长计算方法算出答案。
13．（2023八上·闵行期中）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有72人患了流感，若设平均每人每轮传染x人，则可列方程为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵有2个人患了流感，平均每轮传染x人，
∴第一轮传染中有个人被传染，第二轮中有个人被传染，
∴
整理得，，
故答案为：．
【分析】基本关系式：初量（1+ 平均每人每轮传染的人数）2=经过两轮传染后患了流感的总人数，据此列方程。
三、解答题
14．已知m是方程x2-2x-1=0的一个根，求代数式2m2-4m+19的值
【答案】∵m是方程x2-2x-1=0的一个根，∴m2-2m-1=0，∴m2-2m=1，
∴2m2-4m+19=2(m2- 2m)+19= 2×1+19=21．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】把x=m代入方程中，可得m2-2m=1，再将原式化为2(m2- 2m)+19，然后整体代入计算即可.
15．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义=ad-bc．上述记法就叫做二阶行列式，那么= 22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式．
【答案】解：根据题意得(x+1)·2x-(x+2)(x-2)= 22，整理，得2x2 +2x-x2+4=22，即x2+2x= 18，是一元二次方程，化为一般形式为x2+2x-18= 0．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；定义新运算
【解析】【分析】根据新定义可得(x+1)·2x-(x+2)(x-2)= 22，根据一元二次方程的定义进行判断即可.
四、综合题
16．（2022·岚山模拟）
（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知是关于x的一元二次方程的一个实数根，求方程的另一个根及m的值．
【答案】（1）解：
当时，原式
（2）解：把代入方程
得
解得m=7
故方程为
解得
故方程的另一个根为
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可；
（2）将代入方程求出m的值，再解一元二次方程即可。
17．（2023·梁山模拟）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”．
（1）判断下列方程是否为“差1方程”？
（2）已知关于x的方程（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程（是常数，）是“差1方程”，设，求t的最大值．
【答案】（1）解：，
，
或，
∵
不是“差1方程”；
（2）解：，
，
或，
方程是常数）是“差1方程”，
或，
或；
（3）解：由题可得：
∴解方程得，
关于的方程、是常数，是“差1方程”，
，
，
，
，
，
时，的最大值为9．
【知识点】一元二次方程的根；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据 “差1方程” 的定义求解即可；
（2）先求出x的值，再根据 “差1方程” 的定义求出m的值即可；
（3）先求出，再结合，可得，最后求出最大值即可。
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