2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.1 一元二次方程 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（一元二次方程的解+++++++ ）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
2．（2020八下·越城期末）若a，b，c满足 ，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（ ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无实数根
3．（2023八下·青秀期末） 年月是第个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八下·合肥期末）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2023九上·浏阳期中）方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．5和4 B．5和 C．5和 D．5和1
6．（2020·石狮模拟）若 是关于方程 的两个实数根，则实数 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·惠州月考）定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
8．（2019九上·江岸月考）下列说法：
若一元二次方程 有一个根是 ，则代数式 的值是 若 ，则 是一元二次方程 的一个根 若 ，则一元二次方程 有不相等的两个实数根 当m取整数 或1时，关于x的一元二次方程 与 的解都是整数.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2020八下·济南期末）已知关于x的方程x2+kx－2＝0的一个根是x＝2，则另外一个根为 ．
10．（2023九上·宁德开学考）若x＝3是关于x的方程ax2-bx＝6的解，则2023-6a+2b的值为 ．
11．（2023九上·贵阳期中）把一元二次方程（x+1）（1-x）=2x化成二次项系数大于零的一般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
12．（2020九上·达拉特旗月考）等腰三角形的三边的长是a 、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是 ．
13．（2021八下·拱墅月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac.
三、解答题
14．已知x=1是关于x的一元二次方程x2+ax-b=0的一个解，求代数式a2+b2-2ab的值
15．（2023九上·宜州期中）已知关于x的方程（m-1）x2+x-2＝0．
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？
四、综合题
16．（2019七上·福田期末）规定： 即称 为 的阶乘.
（1）计算： ；
（2）当 是方程 的一个根时，求 的值。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，
∴a2﹣4=0，
∴a=±2，
∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
∴a=﹣2，
故答案为：B．
【分析】根据方程根的定义把x=0代入即可得出a的值．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：当x＝1时，a+b+c＝0，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为1或﹣1.
故答案为：C.
【分析】分别把x＝1或x＝﹣1代入方程可得到足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则根据一元二次方程的解的定义可判断方程的根.
3．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
故答案为：C.
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据等量关系式：第一个月的进馆人次+第二进馆人次+第三个月的进馆人次=2850，列出方程即可解答．
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴a-b +1=0，
∴a-b=-1，
故答案为：A．
【分析】将x=-1代入原方程，即可求解．
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵将方程整理得：，
∴二次项系数为5，一次项系数为，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的一般形式，、、分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，据此判定．
6．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根，
∴（a-m）（a-n）+1=0，
∴（a-m）（a-n）=-1＜0，
∵m＜n，
∴m＜a＜n，
同理：m＜b＜n，
∵a＜b，
∴m＜a＜b＜n．
故答案为：D．
【分析】利用a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根得到（a-m）（a-n）=-1＜0，进而判断出m＜a＜n，同理判断出m＜b＜n，即可得出结论．
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x2≥0，∴2[x]≥0，即x≥0，
当0 ≤ x＜1时，[x]=0，∴x=0；
当1 ≤ x＜2时，[x]=1，∴x=或 x=-(舍)；
当2 ≤ x＜3时，[x]=2，∴x=2 或 x=-2(舍)；
当 x≥3时，无解.
故答案为：D.
【分析】根据x2≥0得x≥0，再分情况讨论即可.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①若一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是-a（a≠0），则a2+b×（-a）+a=0
整理得出：a（a-b+1）=0，则代数式a-b=-1，正确；
②若a+b+c=0，则x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，不正确；
③若b=2a+3c，那么△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=（2a+2c）2+5c2，
当a≠0，c=-a时，△＞0；当a≠0，c=0时，△＞0；当a≠c≠0时，△＞0，
∴△＞0，正确；
④∵关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，
则m≠0，
∴△≥0
mx2-4x+4=0，
∴△=16-16m≥0，即m≤1；
x2-4mx+4m2-4m-5=0，
△=16m2-16m2+16m+20≥0，
∴4m+5≥0，m≥- ；
∴- ≤m≤1，而m是整数，
所以m=1，m=0（舍去），m=-1（一个为x2-4x+4=0，另一个为x2+4x+3=0，冲突，故舍去），
当m=1时，mx2-4x+4=0即x2-4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；
x2-4mx+4m2-4m-5=0即x2-4x-5=0，方程的解是x1=5，x2=-1；
当m=0时，mx2-4x+4=0时，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去.
故m=1，故不符合题意；
故正确的有2个，
故答案为：B.
【分析】①根据方程根的定义将x= a代入方程得出a b的值即可；
②利用a＋b＋c＝0，即x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根得出答案，③利用b＝2a＋3c，算出方程根的判别式的值，分析判别式的值得出即可；
④根据关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，得出根与判别式△≥0，且m≠0，从而列出关于m不等式，求解求得m的范围，再根据m是整数，即可得到m的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定m的值，综上所述即可得出答案.
9．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把 代入原方程：
方程的另一根是
故答案为：
【分析】把 x=2 代入原方程求 k ，再解方程求另一根即可．
10．【答案】2019
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x＝3是关于x的方程ax2-bx＝6的解，
∴9a-3b=6即3a-b=2，
∴ 2023-6a+2b= 2023-2（3a-b）=2023-2×2=2019.
故答案为：2019.
【分析】将x=3代入方程，可求出3a-b的值，再将代数式转化为2023-2（3a-b），然后整体代入求值.
11．【答案】x2+2x-1=0；1；2；-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： （x+1）（1-x）=2x
去括号得：x-x2+1-x=2x，
移项、合并同类项得：x2+2x+-1=0，
二次项系数为：1，一次项系数为：2，常数项为：-1，
故答案为： x2+2x-1=0，1，2，-1 .
【分析】根据去括号，移项，合并同类项即可求解，利用一元二次方程的定义即可求解.
12．【答案】2，4，4或3，3，4
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 是方程 的两个根，
，
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（1）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（2）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（3）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；
综上，此三角形的三边长是 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=6，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系求解即可。
13．【答案】②③④
【知识点】一元二次方程的根；定义新运算
【解析】【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣ ，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣ ＝2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝ ，x2＝ ，
若x1＝2x2，则， ＝ ×2，
即， ﹣ ×2＝0，
∴ ＝0，
∴ ＝0，
∴3 ＝﹣b
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac.
若2x1＝x2时，则， ×2＝ ，
即，则， ×2﹣ ＝0，
∴ ＝0，
∴﹣b+3 ＝0，
∴b＝3 ，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac.
故④正确，
故答案为：②③④
【分析】 ①先解一元二次方程，求出方程的解，再判断是否为倍根方程；
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；
③当p，q满足pq=2，则px2+3x+q=（px+1）（x+q）=0，求出两个根，再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；
④用求根公式求出两个根，当x1=2x2，或2x1=x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
14．【答案】解：∵x=1是关于x的一元二次方程x2+ax -b=0的一个解，
∴1+a-b=0，∴a-b=-1，∴a2+b2-2ab=(a-b)2=(-1)2=1．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】把x=1代入方程x2+ax -b=0中，得a-b=-1，将原式化为a2+b2-2ab=(a-b)2，再代入计算即可.
15．【答案】（1）解：∵（m-1）x2+x-2＝0，
∴此方程是一元一次方程，则m-1＝0，
解得m＝1．
即m＝1时，此方程是一元一次方程；
（2）解：∵（m-1）x2+x＝2＝0，
此方程是一元二次方程，则m-1≠0，
解得m≠1．
即m≠1时，此方程是一元一次方程．
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】(1) 当二次项系数为0，一次项系数不为0时，方程为一元一次方程；
(2)当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程.
16．【答案】（1）9900
（2）解：把x=7 代入x2+kx ＝0中，
得72+7k-56=0，
∴7k=7，
∴k=1
【知识点】一元二次方程的根；定义新运算
【解析】【解答】（1）依题意得 = =9900；
【分析】（1）由于n!=n×（n-1）×（n-2）×…×2×1分别求出100!和98!，然后即可求解；（2）首先利用（1）的规律求出8!，6!然后把x=7当然方程计算即可求出k．
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.1 一元二次方程 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（一元二次方程的解+++++++ ）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，
∴a2﹣4=0，
∴a=±2，
∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
∴a=﹣2，
故答案为：B．
【分析】根据方程根的定义把x=0代入即可得出a的值．
2．（2020八下·越城期末）若a，b，c满足 ，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（ ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：当x＝1时，a+b+c＝0，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为1或﹣1.
故答案为：C.
【分析】分别把x＝1或x＝﹣1代入方程可得到足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则根据一元二次方程的解的定义可判断方程的根.
3．（2023八下·青秀期末） 年月是第个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
故答案为：C.
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据等量关系式：第一个月的进馆人次+第二进馆人次+第三个月的进馆人次=2850，列出方程即可解答．
4．（2023八下·合肥期末）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴a-b +1=0，
∴a-b=-1，
故答案为：A．
【分析】将x=-1代入原方程，即可求解．
5．（2023九上·浏阳期中）方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．5和4 B．5和 C．5和 D．5和1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵将方程整理得：，
∴二次项系数为5，一次项系数为，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的一般形式，、、分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，据此判定．
6．（2020·石狮模拟）若 是关于方程 的两个实数根，则实数 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根，
∴（a-m）（a-n）+1=0，
∴（a-m）（a-n）=-1＜0，
∵m＜n，
∴m＜a＜n，
同理：m＜b＜n，
∵a＜b，
∴m＜a＜b＜n．
故答案为：D．
【分析】利用a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根得到（a-m）（a-n）=-1＜0，进而判断出m＜a＜n，同理判断出m＜b＜n，即可得出结论．
7．（2023九上·惠州月考）定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x2≥0，∴2[x]≥0，即x≥0，
当0 ≤ x＜1时，[x]=0，∴x=0；
当1 ≤ x＜2时，[x]=1，∴x=或 x=-(舍)；
当2 ≤ x＜3时，[x]=2，∴x=2 或 x=-2(舍)；
当 x≥3时，无解.
故答案为：D.
【分析】根据x2≥0得x≥0，再分情况讨论即可.
8．（2019九上·江岸月考）下列说法：
若一元二次方程 有一个根是 ，则代数式 的值是 若 ，则 是一元二次方程 的一个根 若 ，则一元二次方程 有不相等的两个实数根 当m取整数 或1时，关于x的一元二次方程 与 的解都是整数.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①若一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是-a（a≠0），则a2+b×（-a）+a=0
整理得出：a（a-b+1）=0，则代数式a-b=-1，正确；
②若a+b+c=0，则x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，不正确；
③若b=2a+3c，那么△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=（2a+2c）2+5c2，
当a≠0，c=-a时，△＞0；当a≠0，c=0时，△＞0；当a≠c≠0时，△＞0，
∴△＞0，正确；
④∵关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，
则m≠0，
∴△≥0
mx2-4x+4=0，
∴△=16-16m≥0，即m≤1；
x2-4mx+4m2-4m-5=0，
△=16m2-16m2+16m+20≥0，
∴4m+5≥0，m≥- ；
∴- ≤m≤1，而m是整数，
所以m=1，m=0（舍去），m=-1（一个为x2-4x+4=0，另一个为x2+4x+3=0，冲突，故舍去），
当m=1时，mx2-4x+4=0即x2-4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；
x2-4mx+4m2-4m-5=0即x2-4x-5=0，方程的解是x1=5，x2=-1；
当m=0时，mx2-4x+4=0时，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去.
故m=1，故不符合题意；
故正确的有2个，
故答案为：B.
【分析】①根据方程根的定义将x= a代入方程得出a b的值即可；
②利用a＋b＋c＝0，即x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根得出答案，③利用b＝2a＋3c，算出方程根的判别式的值，分析判别式的值得出即可；
④根据关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，得出根与判别式△≥0，且m≠0，从而列出关于m不等式，求解求得m的范围，再根据m是整数，即可得到m的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定m的值，综上所述即可得出答案.
二、填空题
9．（2020八下·济南期末）已知关于x的方程x2+kx－2＝0的一个根是x＝2，则另外一个根为 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把 代入原方程：
方程的另一根是
故答案为：
【分析】把 x=2 代入原方程求 k ，再解方程求另一根即可．
10．（2023九上·宁德开学考）若x＝3是关于x的方程ax2-bx＝6的解，则2023-6a+2b的值为 ．
【答案】2019
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x＝3是关于x的方程ax2-bx＝6的解，
∴9a-3b=6即3a-b=2，
∴ 2023-6a+2b= 2023-2（3a-b）=2023-2×2=2019.
故答案为：2019.
【分析】将x=3代入方程，可求出3a-b的值，再将代数式转化为2023-2（3a-b），然后整体代入求值.
11．（2023九上·贵阳期中）把一元二次方程（x+1）（1-x）=2x化成二次项系数大于零的一般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
【答案】x2+2x-1=0；1；2；-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： （x+1）（1-x）=2x
去括号得：x-x2+1-x=2x，
移项、合并同类项得：x2+2x+-1=0，
二次项系数为：1，一次项系数为：2，常数项为：-1，
故答案为： x2+2x-1=0，1，2，-1 .
【分析】根据去括号，移项，合并同类项即可求解，利用一元二次方程的定义即可求解.
12．（2020九上·达拉特旗月考）等腰三角形的三边的长是a 、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是 ．
【答案】2，4，4或3，3，4
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 是方程 的两个根，
，
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（1）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（2）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（3）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；
综上，此三角形的三边长是 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=6，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系求解即可。
13．（2021八下·拱墅月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac.
【答案】②③④
【知识点】一元二次方程的根；定义新运算
【解析】【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣ ，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣ ＝2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝ ，x2＝ ，
若x1＝2x2，则， ＝ ×2，
即， ﹣ ×2＝0，
∴ ＝0，
∴ ＝0，
∴3 ＝﹣b
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac.
若2x1＝x2时，则， ×2＝ ，
即，则， ×2﹣ ＝0，
∴ ＝0，
∴﹣b+3 ＝0，
∴b＝3 ，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac.
故④正确，
故答案为：②③④
【分析】 ①先解一元二次方程，求出方程的解，再判断是否为倍根方程；
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；
③当p，q满足pq=2，则px2+3x+q=（px+1）（x+q）=0，求出两个根，再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；
④用求根公式求出两个根，当x1=2x2，或2x1=x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
三、解答题
14．已知x=1是关于x的一元二次方程x2+ax-b=0的一个解，求代数式a2+b2-2ab的值
【答案】解：∵x=1是关于x的一元二次方程x2+ax -b=0的一个解，
∴1+a-b=0，∴a-b=-1，∴a2+b2-2ab=(a-b)2=(-1)2=1．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】把x=1代入方程x2+ax -b=0中，得a-b=-1，将原式化为a2+b2-2ab=(a-b)2，再代入计算即可.
15．（2023九上·宜州期中）已知关于x的方程（m-1）x2+x-2＝0．
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？
【答案】（1）解：∵（m-1）x2+x-2＝0，
∴此方程是一元一次方程，则m-1＝0，
解得m＝1．
即m＝1时，此方程是一元一次方程；
（2）解：∵（m-1）x2+x＝2＝0，
此方程是一元二次方程，则m-1≠0，
解得m≠1．
即m≠1时，此方程是一元一次方程．
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】(1) 当二次项系数为0，一次项系数不为0时，方程为一元一次方程；
(2)当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程.
四、综合题
16．（2019七上·福田期末）规定： 即称 为 的阶乘.
（1）计算： ；
（2）当 是方程 的一个根时，求 的值。
【答案】（1）9900
（2）解：把x=7 代入x2+kx ＝0中，
得72+7k-56=0，
∴7k=7，
∴k=1
【知识点】一元二次方程的根；定义新运算
【解析】【解答】（1）依题意得 = =9900；
【分析】（1）由于n!=n×（n-1）×（n-2）×…×2×1分别求出100!和98!，然后即可求解；（2）首先利用（1）的规律求出8!，6!然后把x=7当然方程计算即可求出k．
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