2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023·凉州模拟）用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】左边有二次项和一次项，只需要在两边同时补充常数项就可以了。常数项为一次项系数一半的平方。
2．（2022·天津）方程的两个根为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：D．
【分析】利用十字相乘法求出一元二次方程的解即可。
3． 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
故答案为：B.
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算。把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果．
4．（2023九上·大同月考）把配方，需在方程的两边都加上（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵，
∴，
∴方程两边同时加上，
故答案为：D.
【分析】利用配方法的计算方法求解一元二次方程即可。
5．（2020八下·萧山期末）下列用配方法解方程 x2-x-2=0的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-x-2=0
∴x2-2x=4
x2-2x+1=4+1
（x-1）2=5
∴
∴，错在第4步.
故答案为：D.
【分析】观察解答过程可知正数的平方根有两个，它们互为相反数，可得出出现错误的步骤。
6．（2022九上·通榆月考）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A．（x+1）2=3 B．（x+1）2=6 C．（x-1）2=3 D．（x-1）2=6
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-2x=2，
∴x2-2x+1=2+1，
∴（x-1）2=3，
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方1，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案.
7．（2020九上·鄄城期中）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：4x2-2x-1=0，
x2- x= ，
x2- x+（ ）2= +（ ）2，
（x- ）2= ．
故答案为：D．
【分析】根据配方法的方法可对题中的方程配方，从而解答本题。
8．（2023九上·都昌期中）小华仿照探究一元二次方程解的方法，课后尝试探究了一元三次方程的解，列表如下：
x 0 0.5 1 1.5 2
－1 －5.375 －3 6.875 25
据此可知，方程的一个解x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表格得方程的一个解x的取值范围是
故答案为：C.
【分析】根据一元三次方程的解结合表格数据即可求解。
二、填空题
9．（2020九上·武汉月考）方程 的根是 .
【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
∴ ，
故答案为： .
【分析】利用直接开平方法解方程.
10．（2023九上·武昌期中）已知x2-8x+18＝（x-m）2+2，则m＝ ．
【答案】4
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：，
解得，
故答案为：4．
【分析】根据配方法，再对应相等即可得到答案．
11．（2022·荆州）一元二次方程 配方为 ，则k的值是 .
【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：1.
【分析】先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“4”，将左边写成完全平方式，即可求出k值.
12．（2021九上·庆云月考）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为 a*b＝a（a﹣b），根据这个规则，方程（x+2）*5＝0 的解为 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】 a*b＝a（a﹣b），
方程 即为
解得 ．
故答案为： ．
【分析】根据题干中的定义及计算法则将数据代入计算即可。
13．（2022·成都模拟）已知，且，求 ．
【答案】2或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
或，
或，
，
当时，；
当时，．
故答案为：2或.
【分析】将方程左边利用十字相乘法进行因式分解，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程降次为两个二元一次方程，解两个方程，用含y的式子表示出x，据此分别求解即可.
三、解答题
14．若a，b，c表示△ABC的三边，且a2+b2+c2-ac-ab-bc=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】解：△ABC为等边三角形．理由如下：
∵a2+b2+c2 -ac -ab-bc=0，∴2a2+2b2+2c2 -2ac- 2ab-2bc=0，即a2+b2-2ab+b2 +c2 -2bc+a2 +c2 -2ac=0，∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0，∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，∴a=b=c．∴△ABC为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】△ABC为等边三角形．理由：由a2+b2+c2 -ac -ab-bc=0，∴2a2+2b2+2c2 -2ac- 2ab-2bc=0，即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0，根据偶次幂的非负性可得a=b=c，继而得解.
15．（2023九上·南皮期中）
（1）知识背景：利用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式.—般地，对于一元二次方程，当时，它的求根公式是 ，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
（2）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过如下：
∵，，，（第一步）
∴.（第二步）
∴.（第三步）
∴，.（第四步）
小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 .
（3）请你写出此题正确的解答过程.
【答案】（1）解：
（2）一；方程没有化成一般式；
（3）解：方程化成，
∵，，，∴.
∴.∴，.
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当时，
由原方程得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由原方程得：，
，，，
∴小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是方程没有化成一般式．
故答案为：一，方程没有化成一般式；
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求得；
（2）根据公式法解一元二次方程，即可解答；
（3）用公式法解此方程，即可求解。
四、综合题
16．（2023八下·毕节期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式：；
（2）求多项式的最小值
【答案】（1）解：
，
所以
（2）解：
，
，
所以多项式的最小值为
【知识点】因式分解﹣公式法；配方法的应用
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法将代数式变形为，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）参照题干中的计算方法并利用配方法将代数式变形为，再求解即可.
17．（2023七下·青原期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求的最小值．
解：；
因为不论取何值，总是非负数，即；
所以；
所以当时，有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空： ；
（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
（3）如上图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）2；4
（2）解：
．
当时，取最小值，最小值为；
（3）解：．理由如下：
，，
，
，
，
，
．
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】，
故答案为：2；4.
【分析】（1）利用配方法求出答案即可；
（2）利用配方法将代数式变形为，即可得到最小值；
（3）先求出 ，，再利用作差法求出，再求解即可.
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一、选择题
1．（2023·凉州模拟）用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·天津）方程的两个根为（ ）
A． B．
C． D．
3． 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·大同月考）把配方，需在方程的两边都加上（ ）
A． B． C． D．
5．（2020八下·萧山期末）下列用配方法解方程 x2-x-2=0的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（2022九上·通榆月考）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A．（x+1）2=3 B．（x+1）2=6 C．（x-1）2=3 D．（x-1）2=6
7．（2020九上·鄄城期中）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
8．（2023九上·都昌期中）小华仿照探究一元二次方程解的方法，课后尝试探究了一元三次方程的解，列表如下：
x 0 0.5 1 1.5 2
－1 －5.375 －3 6.875 25
据此可知，方程的一个解x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2020九上·武汉月考）方程 的根是 .
10．（2023九上·武昌期中）已知x2-8x+18＝（x-m）2+2，则m＝ ．
11．（2022·荆州）一元二次方程 配方为 ，则k的值是 .
12．（2021九上·庆云月考）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为 a*b＝a（a﹣b），根据这个规则，方程（x+2）*5＝0 的解为 ．
13．（2022·成都模拟）已知，且，求 ．
三、解答题
14．若a，b，c表示△ABC的三边，且a2+b2+c2-ac-ab-bc=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
15．（2023九上·南皮期中）
（1）知识背景：利用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式.—般地，对于一元二次方程，当时，它的求根公式是 ，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
（2）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过如下：
∵，，，（第一步）
∴.（第二步）
∴.（第三步）
∴，.（第四步）
小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 .
（3）请你写出此题正确的解答过程.
四、综合题
16．（2023八下·毕节期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式：；
（2）求多项式的最小值
17．（2023七下·青原期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求的最小值．
解：；
因为不论取何值，总是非负数，即；
所以；
所以当时，有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空： ；
（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
（3）如上图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为，试比较与的大小，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】左边有二次项和一次项，只需要在两边同时补充常数项就可以了。常数项为一次项系数一半的平方。
2．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：D．
【分析】利用十字相乘法求出一元二次方程的解即可。
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
故答案为：B.
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算。把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果．
4．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵，
∴，
∴方程两边同时加上，
故答案为：D.
【分析】利用配方法的计算方法求解一元二次方程即可。
5．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-x-2=0
∴x2-2x=4
x2-2x+1=4+1
（x-1）2=5
∴
∴，错在第4步.
故答案为：D.
【分析】观察解答过程可知正数的平方根有两个，它们互为相反数，可得出出现错误的步骤。
6．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-2x=2，
∴x2-2x+1=2+1，
∴（x-1）2=3，
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方1，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：4x2-2x-1=0，
x2- x= ，
x2- x+（ ）2= +（ ）2，
（x- ）2= ．
故答案为：D．
【分析】根据配方法的方法可对题中的方程配方，从而解答本题。
8．【答案】C
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表格得方程的一个解x的取值范围是
故答案为：C.
【分析】根据一元三次方程的解结合表格数据即可求解。
9．【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
∴ ，
故答案为： .
【分析】利用直接开平方法解方程.
10．【答案】4
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：，
解得，
故答案为：4．
【分析】根据配方法，再对应相等即可得到答案．
11．【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：1.
【分析】先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“4”，将左边写成完全平方式，即可求出k值.
12．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】 a*b＝a（a﹣b），
方程 即为
解得 ．
故答案为： ．
【分析】根据题干中的定义及计算法则将数据代入计算即可。
13．【答案】2或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
或，
或，
，
当时，；
当时，．
故答案为：2或.
【分析】将方程左边利用十字相乘法进行因式分解，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程降次为两个二元一次方程，解两个方程，用含y的式子表示出x，据此分别求解即可.
14．【答案】解：△ABC为等边三角形．理由如下：
∵a2+b2+c2 -ac -ab-bc=0，∴2a2+2b2+2c2 -2ac- 2ab-2bc=0，即a2+b2-2ab+b2 +c2 -2bc+a2 +c2 -2ac=0，∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0，∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，∴a=b=c．∴△ABC为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】△ABC为等边三角形．理由：由a2+b2+c2 -ac -ab-bc=0，∴2a2+2b2+2c2 -2ac- 2ab-2bc=0，即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0，根据偶次幂的非负性可得a=b=c，继而得解.
15．【答案】（1）解：
（2）一；方程没有化成一般式；
（3）解：方程化成，
∵，，，∴.
∴.∴，.
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当时，
由原方程得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由原方程得：，
，，，
∴小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是方程没有化成一般式．
故答案为：一，方程没有化成一般式；
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求得；
（2）根据公式法解一元二次方程，即可解答；
（3）用公式法解此方程，即可求解。
16．【答案】（1）解：
，
所以
（2）解：
，
，
所以多项式的最小值为
【知识点】因式分解﹣公式法；配方法的应用
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法将代数式变形为，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）参照题干中的计算方法并利用配方法将代数式变形为，再求解即可.
17．【答案】（1）2；4
（2）解：
．
当时，取最小值，最小值为；
（3）解：．理由如下：
，，
，
，
，
，
．
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】，
故答案为：2；4.
【分析】（1）利用配方法求出答案即可；
（2）利用配方法将代数式变形为，即可得到最小值；
（3）先求出 ，，再利用作差法求出，再求解即可.
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